概率习题解答4-4

1、、选择题:1、 设X、Y为随机变量，那么等式 D X+Y =D X +D Y 成立的充要条件是|BA E X+Y=E X+E Y B E XY=E XE YC X、Y 独立D D XY=D XD Y2、 对于任意2个随机变量X与Y，假设E XY =E X E Y ，那么以下式中错误的选项是C 。A CovX,Y=0 ;B DX + Y = DX+DY;C X和Y相互独立；D X和Y不相关。3、下面的数学期望与方差都存在，当随机变量、相互独立时，以下关系式中错误的是C。(A ) E () = E( ) E()(B ) D () = D ( )+ D ()(C ) D () = D( ) D()(

2、D ) cov ( ,) = 04、两个随机变量的协方差为Cov,)=(D )。2 2(A) EE 2E 2(B) EE EE(C) E2 E E 2(D) EE E5、以下各式中哪个是错的 回(A )xy|1(B )0 fx(x)1(C )Cov(X,Y) Jd(X) Jd(Y)(D ) 0 Fx (x)1解：密度函数只要大于等于零即可！6、设随机变量 X N( 1,2), Y N(1,2)，而X与Y不相关令U aX 丫和V X bY，且U与V也不相关，那么有(|C)(A)a b 0,(B) a b 0( C ) a b 0(D) ab 0解：由 X N( 1,2) , Y N(1,2)得：

3、E(X) 1, E(Y) 1, D(X) 2, D(Y) 2,E(X2) D(X) E(X)23, E(Y2) D(Y) E(Y)23,而 X 与 Y 不相关 XY 0 E(XY) E(X)E(Y) 1 U 与 V 也不相关， E(UV ) E(U)E(V),E(UV) E(aX Y)(X bY) aE(X2) (ab 1)E(XY) bE(Y2) E(U)E(V) 3a (ab 1) 3b ( a 1)( 1 b) a b 0二、填空题：1. 设 X, Y 相互独立，且 E (X) =E (Y) =0 , D (X) =D (Y) =1 ,那么 E(X Y)2=2 。解：E(X2) D(X)

4、 E(X )2 E(Y2)1,(Y) =18。4E(X Y)2 E(X2) 2E(X)E(Y) E(Y2)22. X服从参数为2的泊松分布，Y=3X 2，那么E (Y) =4 ;解：E(X) D(X) 2 , E(Y) E(3X 2)3E(X)2X E(X)D(Y) D(3X 2)9D(X)18vD(X)3 .随机变量 X的E (X) , D (X)均存在，且 D (X) >0 ,贝U的 E (Y) =0 ; D (Y) =1|1)E(X)E(X)vD(X)D(X) 12 1解: E(Y) E(X一E(X)/DX)D(Y) D(XE(X)u/X)X 2，那么 |y N(0 , 1)24

5、X N(2,32)，且 Y,E(3X)3E(X)6 ,D(3X)9D(X)81解：X N(2,32) E(X)2,D(X) 95.X服从泊松分布，且 D (X)2222 e2!解： PX6.假设随机变量X的概率密度为=2 ,2e 2(X)=2 , PX=2= 2e 2。x22x1 那么 E(X) 1,D(X)解：由x2 2x 1 e(x 1)22 -21 1X N(1,-)E(X) 1,D(X)-7.设 X，Y相互独立，且X服从均值为1,标准差为"2的正态分布，而Y服从标准正态分布，那么随机变量Z 2XY 3的概率密度函数为彳 (z 5)21 f z2 93-2解：X N(1,2),

6、Y N(0,1) E(X) 1, D(X) 2, E(Y) 0, D(Y) 1，Z 2X Y3N(2E(X) E(Y) 3,4D(X) D(Y) N(5,9) E(Z) 5,D(Z) 9彳 (z 5)2一1e 2 93“ e8现有10张奖券，其中8张面值为贰元，张，那么此人得奖金额的数学期望为|7.8。2张为伍元，某人从中随机地无放回地抽取3解：设抽取2元面值的张数为 X,那么此人得奖金额为:Y 2X 5(3 X)又设Xi i 1,2,3为第i次抽取2元面值的张数，那么3X Xi X1 X2 X3i 1Xi01Xi1,0,第i次抽到面值2元；第i次没有抽到面值 2元P0.20.8E(XJ 0.

7、8 E(X) 3 0.82.4E(Y)E2X 5(3X)153E(X)153 2.4157.27.8三、解答题:1、设是离散型随机变量，P(3xj -,P(5X2)25 '且X1X2 '又的分布律。327解E()一 X_ X2J555E(2)张D()55327_X1_ X25 55即：32 2 26/7、25X15X225¥E()的分布律为:X1解出1)，求25E(X)225X1X212P3/52/5x22、设X表示10次独立重复射击中命中目标的次数954(不合题意，舍去)，每次射中目标的概率为04求数学期望为E(X2)。解：设Xi为第i次射击中命中目标的次数10,那

8、么 XXi , X1,X2, ,X10相互独立,i 1Xi01P0.60.410E(Xi)0.4, E(Xi2)0.4 D(Xi)0.40.4 20.24 , E(X) E(Xi)4i 1D(X)10D(Xi)2.4, E(X2)D(X) E(X)22.4 4218.43.随机变量X的分布函数为F(x)a3_3x，求 E( X)，D( X )。解：f(x)F (x) 3a03x-4E(X)xf (x )dx3a3x3dx3a3E(X1 2)x2f(x)dx3a3x 2dx 3a33aD(X)3a24。二维随机变量(的联合密度函数为f(x,y)2 1x 3xy,0,x 1,0其他解:( 1)由数

9、学期望的运算性质有E(Z)(x 2y) f (x, y)dxdy1dx0E(Z2)(x22y)2f(x,y)dxdyD(Z)10.01531821.35、随机变量X与Y分别服从正态分布2；2Y求 E(Z), D(Z)。20(X22y)(x1 xy )dy353181dx 2(x 2y)2(0 o'2 1x xy3)dy 10.01N(1,32)和N(0,42)，且X与Y的相关系数为解:( 1)X N(1,32)E(Z)E(X) E(Y)D(Z)DG ?)X YX Yd(e)Dy曲三)iiD(X) D(Y)941 12 Cov(X,Y)3 2XY 、d(xLd(y)丄 Cov(X,X)丄

10、 Cov(X ,Y)32X y(2)因为 Cov(X,Z) Cov(X,)3 23D(X) 2 XY、耐"耐XZ 01 1 1391(34330，所以(3)因X,Y均为正态，故X,Y的线性组合Z也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所以由XZ 0知，X与Z相互独立.四、证明题：1、设随机变量 X、Y相互独立，求证：D(XY) D(X)D(Y) E(X)2D(X) E(Y)2D(Y)【证】：D(X)D(Y) E(X )2D(X) E(Y)2D(Y)E(X2)E(X)2E(Y2)E(Y)2E(X)2E(Y2) E(Y)2E(Y)2E(X2)E(X)2E(X2)E(Y2

11、) E(X)2E(Y)2 E(X 2Y2) E(XY)2 D(XY),证毕。2、 设X与Y的相关系数为p,求证;X a bX与Yc dY的相关系数为土 p ； 其中a,b,c,d均为常数，且b,d不为零。【证】：Cov(X*,Y*)= Ea+bX-E(a+bX)c+dY-E(c+dY)=EbX-bEX dY-dEY二 E b(X-EX) d(Y-EY)=bdE(X-EX) (Y-EY)= bd Cov(X，丫)又因为 D(X ) b2D(X), D(Y ) d2D(Y)所以,Cov(X*, Y*)iD(X )Jd(Y )bdCov(X,Y)b|d |JD(X)Jd(Y)XY3证明：E(X2) 0的充分必要条件是 PX 0 1提示：利用方差的性质2 2【证】：|E(X )0 D(X) E(x) 0 D(X) 0且E(X) 0| P(X 0) 1D(X) 0P(X c) 1 E(X) cX11X,P X a a f X dx a f X dxxf x dx EXaaaa【证】：4.设X为