几种特殊类型函数的积分2实用教案

1、1一、一、 有理函数有理函数(yu l hn sh)的积分的积分有理函数(yu l hn sh):时,为假分式(fnsh);时,)(xR为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和第1页/共27页第一页，共28页。2例例1. 将下列将下列(xili)真分式分解为部真分式分解为部分分式分分式 :解解: (1) 用拼凑(pncu)法2) 1(1x2) 1(1x) 1( xx第2页/共27页第二页，共28页。3(2) 用赋值法用赋值法故第3页/共27页第三页，共28页。4(3) 混合法混合法原式 =第4页/共27页第四页，共28页。5四种四种(s zhn)典型部分

2、分式典型部分分式的积分的积分: 变分子(fnz)为 再分项积分(jfn) 第5页/共27页第五页，共28页。6例例2. 求求解解: 已知第6页/共27页第六页，共28页。7例例3. 求求解解: 原式思考思考(sko): 如如何求何求提示提示(tsh):变形(bin xng)方法同例3, 并利用 P209 例9 . 第7页/共27页第七页，共28页。8例例4. 求求解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分将有理函数分解为部分分式进行积分(jfn)虽虽可行可行,但不一定(ydng)简便 , 因此要注意根据被积函数的结构(jigu)寻求简便的方法. 第8页/共27页第八页，共28页。9例例

3、5. 求求解解: 原式第9页/共27页第九页，共28页。10例例6. 求求解解: 原式(见P283公式(gngsh)21)C注意本题注意本题(bnt)技巧技巧按常规按常规(chnggu)方法较繁方法较繁第10页/共27页第十页，共28页。11按常规按常规(chnggu)方方法解法解:1d4xx第一步 令比较(bjio)系数定 a , b , c , d . 得第二步 化为部分分式(fnsh) . 即令比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !第11页/共27页第十一页，共28页。12二二 、可化为有理函数、可化为有理函数(yu l hn sh)的积分举例的积分

4、举例设表示(biosh)三角函数有理式 ,令万能(wnnng)代换t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则第12页/共27页第十二页，共28页。13例例7. 求求解解: 令则第13页/共27页第十三页，共28页。14第14页/共27页第十四页，共28页。15例例8. 求求解解: C说明说明(shumng): 通常求含通常求含的积分(jfn)时,往往(wngwng)更方便 .的有理式用代换第15页/共27页第十五页，共28页。16例例9. 求求解法解法(ji f) 1 令原式第16页/共27页第十六页，共28页。17例例9. 求求解法解法(ji f) 2 令sinco

5、s原式第17页/共27页第十七页，共28页。18例例10. 求求解解: 因被积函数因被积函数(hnsh)关于关于 cos x 为奇函为奇函数数(hnsh), 可令可令原式第18页/共27页第十八页，共28页。192. 简单简单(jindn)无理函无理函数的积分数的积分令令被积函数(hnsh)为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数(yu l hn sh)的积分. 例如:令第19页/共27页第十九页，共28页。20例例11. 求求解解: 令则原式第20页/共27页第二十页，共28页。21例例12. 求求解解: 为去掉被积函数为去掉被积函数(hnsh)分母中的根式分母中的根式 , 取根

6、指数取根指数 2 , 3 的的最小公倍数 6 ,则有原式C令第21页/共27页第二十一页，共28页。22例例13. 求求解解: 令则原式原式C第22页/共27页第二十二页，共28页。23内容内容(nirng)小结小结1. 可积函数可积函数(hnsh)的特的特殊类型殊类型有理函数(yu l hn sh)分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .简便 , 第23页/共27页第二十三页，共28页。24思考思考(sko)与练习与练习如何(rh)求下列积分更简便 ?解解: 1.C

7、axaxa33333ln612. 原式第24页/共27页第二十四页，共28页。25例题例题(lt) 1.求不定积分(b dn j fn)解：解：令则, 故分母次数(csh)较高,宜使用倒代换.第25页/共27页第二十五页，共28页。262.求不定积求不定积分分(b dn j fn)解：解：原式 =前式令; 后式配元Cx cos3ln第26页/共27页第二十六页，共28页。27感谢您的观看(gunkn)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结1。例1. 将下列真分式分解为部分分式 :。解: 原式。说明: 将有理函数(hnsh)分解为部分分式进行积分虽可行,。解: 原式。第一步 令。比较系数定 a , b , c , d . 得。第二步 化为部分分式 . 即令。第三步 分项积分 .。t 的有理函数(hnsh)