不定积分的计算实用教案

1、问题问题(wnt)(wnt)cos2xdx 解决解决(jiju)(jiju)方法方法利用利用(lyng)(lyng)复合函数求导的逆运算，复合函数求导的逆运算，设置中间变量设置中间变量. .过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx xCx2cos2sin21 说明结果正确说明结果正确一、第一换元积分法第1页/共47页第一页，共48页。( ( )( )fxx dx ,ux对于形如的积分，设( ( )( )( )fxx dxFxC( ( )( )( )( ( )( )FxCFxxfxx ( )f ux及如果 ( ),f u duF uC

2、+连续，且则该积分法可由下面该积分法可由下面(xi mian)的逆运算证明的逆运算证明这种积分方法也叫做(jiozu)“凑微分法”。第2页/共47页第二页，共48页。定理(dngl)1( ( )( )( )( ( ).fxx dxf u duFxC可导, 则有换元公式(gngsh)设 f (u)具有(jyu)原函数 F (u), u = (x) 连续dxxg)(如何应用上述公式来求不定积分? ? 则使用此公式的关键在于将 ( )( )fxx dx化为的形式，,)(dxxg假设要求所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.第3页/共47页第三页，共48页。例1 求 1.21dxx解 u = 2x +

3、 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则 111112(21)21221221dxdxdxxxx112duu1ln |2uC1ln |21|.2xC想到想到(xin do)公式公式duuln uC注意注意(zh y)换回换回原变量原变量第4页/共47页第四页，共48页。例2 求 2sin.xx dx221sinsin22xx dxxxdx1sin2udu1cos.2uC 解：则2,2uxduxdx21cos.2xC 想到公式想到公式sindu ucosuC 第5页/共47页第五页，共48页。 这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进一个新变量以代替原来(yunli)的变量, 对于变

4、量代换熟练以后, 可以不写出中间变量 u. 例1 求 1.21dxx解法(ji f)二：111(21)21221dxdxxx1ln |21|.2xC第6页/共47页第六页，共48页。例3 求 1sin.xdxx一般(ybn)地, 有 1sinxdxx解解1()2().fx dxfx dxx2cos.xC 12dxdxx2 sinxdx12 sin2xdxx第7页/共47页第七页，共48页。例4 求 tan.xdxsintancosxxdxdxx解解ln cos.xC cot xdx类似(li s)?dcotxxsinsindxxln sin xCcossinxdxx1cos ,cosdxx c

5、ossindxxdx 1sin,cosx dxx 1lnduuCu第8页/共47页第八页，共48页。例5 求 2sincos.xxdx2sincosxxdx解解31sin.3xCsin(cos )(cos ) cos ;x fx dxfx dx cos(sin )(sin ) sin .x fx dxfx dx一般(ybn)地, 有 sincosdxxdx2sinsinxdx323uu duC第9页/共47页第九页，共48页。例例6 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin24sincoscosxxxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsi

6、n2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明(shu(shumng):mng):当被积函数当被积函数(hnsh)(hnsh)是三角函数是三角函数(hnsh)(hnsh)(如正弦函数如正弦函数(hnsh)(hnsh)和余和余弦函数弦函数(hnsh)(hnsh)相乘时，拆开奇次项相乘时，拆开奇次项去凑微分去凑微分. .sincosdxxdx )(sincossin42xxdx第10页/共47页第十页，共48页。例7 求 3sin.xdx3sin xdx解解2(cos1) cosxdx2coscoscosxdxdx31coscos.3xxC2sinsinxxd

7、x2sincosxdx cossindxxdx 323uu duC第11页/共47页第十一页，共48页。例8 求 211xxxxedxdxeee解211 ()xxdeearctan.xeC()().xxxxe f edxf ede1.xxdxee一般(ybn)地, 有 xxdee dx211arctanduuuC第12页/共47页第十二页，共48页。例9 求 一般(ybn)地, 有 .2 lndxxx2 lndxxx解1ln ln.2xC1(ln )(ln ) ln .fx dxfx dxx1(ln )2lndxx1lndxdxx1lnduuCu第13页/共47页第十三页，共48页。),(21

8、2xdxdx ,ln1xddxx),1(12xddxx,21xddxx,xxdedxe,cossinxdxdx第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换(di hun)(di hun)，却没有一般的法则可循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如, 等等，并善于根据这些微分(wi fn)公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分(wi fn)因子第14页/共47页第十四页，共48页。例10 求 221.dxax2222111 ( )dxdxxaxaa解1arctan.xCaa211( )1 ( )xdxaaa211arctanduuuC1xddxa

9、a第15页/共47页第十五页，共48页。例11 求 221(0).dxaax2221111 ( )dxdxaxaxa解21( )1 ( )xdaxaarcsin.xCa211arcsinduuuC1xddxaa第16页/共47页第十六页，共48页。例12 求 .(12ln )dxxx(1 ln )dxxx解1ln 12ln.2xC1(ln )12lndxx11(2ln1)2 12lndxx1lnduuCu1lndxdxx第17页/共47页第十七页，共48页。例13 求 2331.xx dx2331xx dx解3322(1).3xC 1322(1)3xx dx1332(1)1xdx 1332(1

10、)xdx132223u duuC第18页/共47页第十八页，共48页。例14 求 22.dxxa22()()dxdxxaxa xa解解111()2dxa xaxa111()2dxdxaxaxa111()()2d xad xaaxaxa1(lnln)2xaxaCa1ln.2xaCaxa第19页/共47页第十九页，共48页。例15 求 2sin.xdx21 cos2sin2xxdxdx解解1(cos2)2dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin2.24xxC11cos222dxxdx第20页/共47页第二十页，共48页。xxtansec解解xxdsecxxdsecxxtansec )

11、tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln类似类似(li s)可得可得xxdcscCxxcotcscln例例16. 求sec d .x x第21页/共47页第二十一页，共48页。小结小结(xioji)积分常用积分常用(chn(chn yn yn) )技巧技巧: :(1) 分项积分分项积分(jfn):(2) 降低幂次降低幂次:(3) 统一函数统一函数: 利用三角公式利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）凑微分法（陪元方法）(4) 巧妙换元或配元。巧妙换元或配元。等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2

12、cos1 (cos212xx利用积化和差利用积化和差; 分式分项等分式分项等;利用倍角公式利用倍角公式 , 如如第22页/共47页第二十二页，共48页。作业(zuy)P155 1 (1)-(18)第23页/共47页第二十三页，共48页。二、第二(d r)换元积分法 0,xtt且 f x dx设将积分 化为 ( )( )ftdtF tC ,ftdt 1( ),f x dxFxC+若则若对结论作复合函数的求导计算若对结论作复合函数的求导计算(j sun)，则可知其正确性。，则可知其正确性。第24页/共47页第二十四页，共48页。例例1 1 求1.1dxx解解,tx令2,xt2,dxtdt11dxx

13、21tdtt1 121tdtt 121dxdtt2ln 1.ttC则于是(ysh)2ln 1.xxC第25页/共47页第二十五页，共48页。例例2 2 求解解.11dxex xet 1令21,xet则,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 11111ln1ln1ln1tttCCt .11ln2Cxex ,1ln2 tx11ln11xxeCe第26页/共47页第二十六页，共48页。说明说明(shumng)(shumng)当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） lkxx,ntx n例例3 3 求.)1(13dxxx 解解令6tx ,6

14、5dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 第27页/共47页第二十七页，共48页。三、分部三、分部(fn b)(fn b)积分法积分法由导数由导数(do sh)公式公式vuvuuv )(积分积分(jfn)得得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或或uvvuvudd 分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积的不定积分问题的.第28页/共47页第二十八页，共48页。例例1. 求求.dlnxxx解解: 令令,lnxu vx 则则1,dud

15、xx221xv 原式原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21uv dxuvu vdx 分析：被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部(fn b)积分.第29页/共47页第二十九页，共48页。例例2 2 求积分求积分(jfn)(jfn).cos xdxx解（一）解（一）令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然， 选择不当，积分更难进行.vu ,解（二）解（二）令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 分析：被积函数 xcosx 是幂函数

16、与三角函数(snjihnsh)的乘积, 采用分部积分.uv dxuvu vdx第30页/共47页第三十页，共48页。(1) v要容易(rngy)求出; (2)要要比比vduudv容易(rngy)积出. ddudvuvvduuvxuvuv x或分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择, u v, u v一般来说，一般来说， 选取的原则是：选取的原则是：第31页/共47页第三十一页，共48页。 解题技巧： 分部积分法求不定积分的关键是要确定u，由计算(j sun)的经验，可以得出以下顺序：“反（反三角函数）、对（对数函数）、幂（幂函数）、指（指数函数）、三（三角

17、函数）” ，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为u.即即 把被积函数把被积函数(hnsh)视为两个函数视为两个函数(hnsh)之积之积 , 按按 “ 反对反对(fndu)幂指三幂指三” 的顺序的顺序,前者为前者为 后者为后者为u.v第32页/共47页第三十二页，共48页。例例3. 求求.darccosxx解解: 令令,arccos xu 1 v, 则则,211xuxv 原式原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21uv dxuvu vdx第33页/共47页第三十三页，共48页。例4 求 arctan.

18、xxdx解 设 u = arctanx, v= x, 则 21arctanarctan()2xxdxxdx22211arctan22 1xxxdxx22111arctan1221xxdxx211 (1)arctan.22xxxC“ 反对幂指三”前者为前者为 后者为后者为u.vuv dxuvu vdx2211,12dudx vxx第34页/共47页第三十四页，共48页。例5 求 ln.xdx解 设 u = lnx, dv = dx, 则 1,dudx vxxln xdx于于是是“ 反对幂指三”前者为前者为 后者为后者为u.vuv dxuvu vdx11x nxxdxxlnxxxC第35页/共47

19、页第三十五页，共48页。例6 求 2sin.xxdx22sin( cos )xxdxx dx2cos2 cosxxxxdx 2cos2sinxxxdx2cos2( sinsin)xxxxxdx 2cos2 sin2cos.xxxxxC 设 u = x 2, , 则 du = 2xdx, v = - -cosx, 于是(ysh)解：sinvx=uv dxuvu vdx第36页/共47页第三十六页，共48页。例7 求 sin.xexdxsinsinxxexdxxde解解sincosxxexexdxsincosxxexxdesincossin.xxxexexexdx 上式最后一项正好是所求积分(jf

20、n), 移到等式左边然后除以2, 可知 e x sinx 的一个原函数为1(sincos ),2xexx1sin(sincos ).2xxexdxexxC于于是是uv dxuvu vdx第37页/共47页第三十七页，共48页。说明说明(shumng):分部积分分部积分(jfn)题目的主要题目的主要类型类型:1) 直接分部直接分部(fn b)化简化简积分积分 ;2) 分部产生循环式分部产生循环式 , 由此解出积分式由此解出积分式 ;(注意注意: 两次分部选择的两次分部选择的 u , v 函数类型要一致函数类型要一致 , 解出积分后加解出积分后加 C )第38页/共47页第三十八页，共48页。不定

21、积分(b dn j fn)计算练习题51.d.xex12.d.12xx-13.d.lnxxx2114.sind.xxx728.tansecd.xx x()22arctan6.d.1xxx+arcsin2107.d.1xxx-25.d.23xxx-第39页/共47页第三十九页，共48页。19.12dxx+()arctan11.1xdxxx+4110.dxxx+14.arcsin d.x x12.sin d.xx x2ln16.d.xxx15.ln d.x x13.d.xxex-第40页/共47页第四十页，共48页。例例1 求求.231dxx duu 1211ln2uC1ln 32.2xC解解: 令令32 ,ux则则d2d ,ux故故原式原式注意注意(zh y)换回原变量换回原变量想到想到(xin do)公式公式duuln uC第41页/共47页第四十一页，共48页。例2 求 1.21dxx解 u = 2x + 1, du= 2dx, 则 121dxx112duu1ln |2uC1ln |21|.2xC想到想到(xin do)公式公式duuln uC第42页/共47页第四十二页，共48页。例3 求 2sincos.xxdx22sincossinsinxxdxxdx解解31sin.3x