北京中关村中学高一数学理模拟试题含解析

1、北京中关村中学高一数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是a        b            c        d参考答案：c，是偶函数，是奇函数，排除b,d.又，所以无零点，显然有零点，比如.故选c. 2

2、. （5分）已知为第二象限角，sin+cos=，则sin2=（）abcd参考答案：考点：二倍角的正弦；三角函数的化简求值 专题：计算题；三角函数的求值分析：原式两边平方，由二倍角的正弦公式即可化简求值解答：为第二象限角，sin+cos=，两边平方可解得：1+sin2=，sin2=故选：a点评：本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，属于基本知识的考查3. 函数y=|x1|的图象为(     )abcd参考答案：a【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】由于x1的符号不能确定，故应分x1与x1两种情况求出函数的解析式，取特殊点验证函数图象【解答】

3、解：当x1时，y=x1，为递增的射线；当x1时，y=x+1，为递减的射线；又f（1）=|11|=0，故函数的图象过（1，0）只有a符合，故选：a【点评】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意分类讨论4. 已知f（x）是定义在r上的偶函数，且在（，0上单调递减，若f（12a）f（|a2|），则实数a的取值范围为(    )aa1ba1c1a1da1或a1参考答案：c【考点】函数奇偶性的性质 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用函数的奇偶性的性质将f（12a）f（|a2|）等价为f（|12a|）f（|a2|），然后利用函数的单调性解不

4、等式即可【解答】解：函数f（x）是偶函数，f（12a）f（|a2|）等价为f（|12a|）f（|a2|），偶函数f（x）在区间（，0上单调递减，f（x）在区间0，+）上单调递增，|12a|a2|，解得1a1，故选：c【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数是偶函数将不等式转化为f（|12a|）f（|a2|）是解决本题的关键5. 如图，在正方体中， 分别为， ， ，  的中点，则异面直线与所成的角大小等于（    ）a.45°       b.60°   

5、60;   c. 90°     d.120° 参考答案：b连接， ，易得： ， 与所成角即为所求，连接，易知为等边三角形，异面直线与所成的角大小等于.故选：b6. 设函数f（x）=x2+ax+b，已知不等式f（x）0的解集为x|1x3，（1）若不等式f（x）m的解集为r，求实数m的取值范围；（2）若f（x）mx对任意的实数x2都成立，求实数m的取值范围参考答案：【考点】3w：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法【分析】（1）由不等式f（x）0的解集为x|1x3，可以确定f（x），不等式f（x）m的解集为r，

6、等价于mf（x）min（2）由恒成立问题转化为根的个数以及对称轴和端点值问题【解答】解：（1）函数f（x）=x2+ax+b，且f（x）0的解集为x|1x3，a=4，b=3f（x）=x24x+3，f（x）=（x2）21，f（x）最小值为1不等式f（x）m的解集为r，实数m的取值范围为m1（2）f（x）mx对任意的实数x2都成立，即x24x+3mx对任意的实数x2都成立，两边同时除以x得到：x+4m对任意的实数x2都成立，x2时，x+4，m，综上所述，m7. 已知（    ）abc   d参考答案：a8. 函数/f（x）=（）x+3x的零点所在的区

7、间是（）a（2，1）b（0，1）c（1，0）d（1，2）参考答案：c【考点】函数零点的判定定理【分析】直接利用零点判定定理判定求解即可【解答】解：函数f（x）=（）x+3x，可得f（2）=0，f（1）=0，f（0）=10，f（1）0，故选：c9. 要得到的图象，只要将函数的图象（）a沿轴向左平移个单位       b沿轴向右平移个单位c沿轴向左平移个单位       d沿轴向右平移个单位 参考答案：b略10. 若向量a与b的夹角为，则向量a的模为a.2 &

8、#160;          b4           c.6              d12参考答案：c略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义运算，例如，则函数的最大值为      

9、0; .参考答案：【详解】由；所以，此函数图象如图所示，所以最大值是；12. 在平面几何里,我们知道，正三角形的外接圆和内切圆的面积之比是:. 拓展到空间，研究正四面体(四个面均为全等的正三角形的四面体)的外接球和内切球的体积关系,可以得出的正确结论是:正四面体的外接球和内切球的体积之比是           参考答案：13. 执行图程序中，若输出y的值为2，则输入x的值为 input if theny = x 2else y = x 21end if print end  

10、参考答案：【考点】伪代码【分析】模拟执行程序的运行过程知该程序的功能是输出函数是分段函数，根据输出y的值列方程求出输入x的值【解答】解：模拟执行程序的运行过程知，该程序的功能是输出函数y=；又输出y的值为2，则当x1时，令y=x2=2，解得x=；当x1时，令y=x2+1=2，无解；所以输入x的值为故答案为：14. 如图,货轮在海上以20n mile/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为150°的方向航行.为了确定船位,在点b观察灯塔a的方位角是120°,航行半小时后到达c点,观察灯塔a的方位角是75°,则货轮到达c点时与灯塔a的距离为_

11、n mile参考答案：【分析】通过方位角定义，求出，利用正弦定理即可得到答案.【详解】根据题意，可知,，因此可得，由正弦定理得：，求得，即答案为.【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，难度不大.15. 已知正三棱锥pabc，点p，a，b，c都在表面积为12的球的球面上，若pa，pb，pc两两相互垂直，则球心到截面abc的距离为参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【解答】解：正三棱锥pabc，pa，pb，pc两两垂直，此正三棱锥的外接球即以

12、pa，pb，pc为三边的正方体的外接球o，表面积为12的球的球o的半径为，正方体的边长为2，即pa=pb=pc=2，球心到截面abc的距离即正方体中心到截面abc的距离，设p到截面abc的距离为h，则正三棱锥pabc的体积v=sabc×h=spab×pc=××2×2×2=，abc为边长为2的正三角形，sabc=×（2）2=2，h=，球心（即正方体中心）o到截面abc的距离为=故答案为：16. _参考答案：1【分析】式子中出现和，通过对其进行化简。【详解】原式【点睛】此题非特殊三角函数化简问题，一般先观察数据特点和特殊角联系，

13、另外熟记正切和差公式，属于较易题目。17. 设定义在r上的奇函数f（x）在（0，+）上为增函数，且f（2）=0，则不等式f（x）0的解集为参考答案：（，2）（0，2）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质【分析】利用奇函数的对称性、单调性即可得出【解答】解：如图所示，不等式f（x）0的解集为（，2）（0，2）故答案为：（，2）（0，2）三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=27，定义域为r的函数f（x）=是奇函数（）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（）若h（x）=kxg（x）在（0，1）上有零点

14、，求k的取值范围；（）若对任意的t（1，4），不等式f（2t3）+f（tk）0恒成立，求实数k的取值范围参考答案：【考点】指数函数的图象与性质；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题【专题】综合题；函数思想；函数的性质及应用【分析】（）设g（x）=ax（a0且a1），根据g（3）=27，定义域为r的函数f（x）=是奇函数即可解出；（）h（x）=kxg（x）在（0，1）上有零点，从而h（0）?h（1）0，（）对任意的tr不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，则f（t22t）f（2t2k）=f（k2t2）恒成立，因此t22tk2t2，化为k3t22t在tr上恒成立?k（3t22t）mi

15、n，此函数为二次函数，求出最值即可【解答】解：（）设g（x）=ax（a0且a1），则a3=27，a=3，g（x）=3x，（1分），因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即，（2分），又f（1）=f（1），；（3分）（）由（）知：g（x）=3x，又因h（x）=kxg（x）在（0，1）上有零点，从而h（0）?h（1）0，即（01）?（k3）0，k30，k3，k的取值范围为（3，+）（7分）（）由（）知，（8分）f（x）在r上为减函数（不证明不扣分）（9分）又因f（x）是奇函数，f（2t3）+f（tk）0所以f（2t3）f（tk）=f（kt），10分因f（x）为减函数，由上式得：2t3kt，即对一

16、切t（1，4），有3t3k恒成立，（11分）令m（x）=3t3，t1，4，易知m（x）在1，4上递增，所以ymax=3×43=9，k9，即实数k的取值范围为9，+）（12分）【点评】本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题19. 已知，(0，)，且+，sin=sincos(+)（1）用tan表示tan；（2）求tan的最大值参考答案：【考点】两角和与差的正切函数【分析】（1）把已知等式的左边中的角变为+，利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项整理后，在等式左右两边同时除以cos（+）cos，利

17、用同角三角函数间的基本关系弦化切后，利用两角和的正切函数公式即可得解（2）由（1）及基本不等式即可计算得解【解答】解：（1），（0，），sin=sin（+）=cos（+）sin，即sin（+）coscos（+）sin=cos（+）sin，移项得：sin（+）cos=2cos（+）sin，两边同时除以cos（+）cos，得：tan（+）=2tan，=2tan，可得：tan=（2），由（1）可得tan=即tan的最大值为20. 已知.（1）求在的值域；（2）若，求的值.参考答案：(1) .(2) .【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据的范围得到的范围，结合的图象可求得的范围，代入求

18、得所求值域；（2）利用求得；根据的范围得到的范围，再根据正弦值进一步确定，利用同角三角函数求解出，利用二倍角公式求得结果.【详解】（1）当时，        （2）                【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、同角三角函数值的求解、二倍角公式的应用.求解值域的关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数整理为的形式，利用整体对应的方式求得函数的值域；本题的易错点是在求解同角三角函数值的时候，未准确求解出角所处的范围，造成三角函数值的符号求解错误.21. （16分）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心o距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动5圈，如果当水轮上点p从水中浮现时（图象p0点）开始计算时间，且点p距离水面的高度f（t）（米）与时间t（秒）满足函数：f（t）=asin（+）+b（a0，0，|）（1）求函数f（t