湖北武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学试卷（含答案）

武汉市2027届高中毕业生九月调研考试

数学试卷

武汉市教育科学研究院命制2026.9.16

本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码

粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合A={xl-2<x<2},B={xlx²-2x-3<0},则AUB=

A.(-2,3)B.(-2,-1)C.(-1,2)D.(-1,3)

2.平面向量a,b的夹角为60°,若lal=2,Ibl=1,则b·(a-b)=

A.-1B.0C.1D.2

3.某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球。已知该

地某芯片企业近9个月的月产量构成等比数列，其中前3个月总产量为50万片，前6

个月总产量为110万片，则该企业这9个月的总产量为

A.170万片B.178万片C.182万片D.188万片

4.若函数为奇函数，则a=

A.-1B.1CD

高三九月数学试卷第1页(共4页)

5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b(tanA+tanB)+2ctanB=0,则角A的

大小是

ABCD

6.某单位有5名员工，需要在小长假三天安排人员值班，每天只需一人值班，不能出现同

一人连续两天值班情况，则所有的安排方法种数为

A.60B.70C.80D.100

7.已知A,B为两个相互独立的随机事件，若,且P(AB)=P(AB),则P(A)=

C

ABD

8.已知a>1,若函数的最大值相等，则a的值所在区间为

C

ABD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。

9.已知z₁,z₂为复数，则下列说法中正确的有

A.若lz₁I=lz₂I,则2=z₂B.若Iz₁l+Iz₂I=0,则z₁=z₂=0

C.若lz₁-11=Iz₂-11=1,则Iz₁-z₂I≤2D.若Iz₁+z₂I=lz₁-z₂1,则z₁z=0

10.记双曲线E:的左右焦点分别为F₁,F₂,过F₁的直线l与双曲线E交于A,B

两点，则下列说法中正确的有

A.双曲线E的离心率是·

B.若IAF₂I=2IAF₁1,则△AF₁F₂的周长为18

C.存在四条不同直线1使得IABI=5

D.线段AB的中点坐标可能是(1,√5)

11.在空间中，从同一个顶点发出多条射线围成一个“锥”,张开的空间范围就叫“立体

角”.如图，以锥的顶点为球心，作半径为1的单位球面，这个锥会在球面截取一块曲

面，该曲面的面积就是立体角的大小.现有底面半径为2的圆锥，设母线长为l,记其顶

点锥口的立体角为Ω.另有四棱锥P-ABCD,其底面是边长为2的正方形，记其顶点锥

口的立体角为Ω₂.则下列说法中正确的有

A.对任意l>0,2₁<2π

B.若l=2√2,则

C.当PA⊥平面ABCD时，若,则PA=2

D.当四棱锥P-ABCD是正四棱锥时，若,则PA=√3

高三九月数学试卷第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数w

的最小值为

13.记公差不为零的等差数列{a}前n项和为S。,若S₁₅=5(a₂+a₇+ak),则正整数k的值

为

14.记椭圆T:(a>b>0)的左右焦点分别为F₁,F₂,已知椭圆『上的点P满足

,记∠F₁PF₂的平分线与椭圆T交于另外的点Q,若∠F₁QF₂=90°,

;椭圆T的离心率e=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开

展综合能力测评。现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分

(满分100分),分别得到如图所示的两个频率分布直方图。

频率/组距频率/组距

a

0.03

0.0250.025

0.020.02

0.015

0.010.01

0.005

05060708090100评分/分O5060708090100评分/分

男生女生

(1)求a的值，并估计女生评分的平均数；

(2)若评分不低于70分定为“合格”,评分低于70分定为“不合格”。完成下列2×2

列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否

有关联。

评分等级

性别合计

合格不合格

男生

女生

合计

α0.050.010.001

xα3.8416.63510.828

高三九月数学试卷第3页(共4页)

16.(15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2,BC=4,∠ABC=60°,E

为PB中点.

(1)证明：直线PD//平面ACE;

(2)若直线PA⊥平面ABCD,异面直线AE与PD所

成的角为45°,求直线PD与平面PAC所成角的正弦值.

17.(15分)

已知函数f(x)=(x+a)²-4a²lnx,其中a≠0.

(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调区间；

(3)若f(x)>0,求a的取值范围.

18.(17分)

已知圆M:(x-1)²+y²=1与抛物线E:y²=2px(p>0)的三个公共点恰好构成等腰直

角三角形.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)过抛物线上一点A引射线，该射线与圆M相切且与抛物线E交于另一点B,记该

射线与x轴的交点为N.

(i)若∠AMB=60°,求AB所在直线的斜率；

(ii)若|AMI²=|AN|·|AB|,求|AM|·|BM|.

19.(17分)

已知n个正整数a₁,a₂,…,an满足：a₁<a₂<…<a,这n个数两两成对可组成

对数，这m对数中每对的两个数求和后形成一个数列：S₁≤S₂≤…≤S..例

如1,2,4求和后形成3,5,6.

(1)当n=4时，形成6对求和数列：S₁=8,S₂=14,S₃=16,S₄=20,S₅=22,S₆=28.试写

出a₁,a₂,a₃,a₄可能的两组值.

(2)当n=5时，对于形成的S₁,S₂,…,S₁₀,证明：a₁,a₂,a₃,a₄,as的解是唯一的.

(3)当n=16时，证明：存在两个不同的数列a₁,a₂,…,a₁₆和b₁,b₂,…,b₁₆对应同一

个求和数列S₁,S₂,…,S120·

高三九月数学试卷第4页(共4页)

武汉市2027届高中毕业生九月调研考试

数学参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

12345678

ABCDDCBB

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011

BCABDACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

121314

815

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题共13分)

(1)由女生直方图各矩形面积之和为1,得

10(0.01+0.02+a+0.025+0.005)=1,

解得a=0.04。

以各组中值作为该组评分的代表值，女生平均分估计为

X=55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.25+95×0.05=74.5.

所以a=0.04,女生评分的平均数约为74.5分。6分

(2)男生合格频率为10(0.03+0.02+0.01)=0.6,女生合格频率为10(0.04+0.025+0.005)=0.7,故

列联表为：

性别合格不合格合计

男生12080200

女生21090300

合计330170500

提出零假设：评分等级与性别相互独立。由列联表计算得

因为5.348<6.635,所以在小概率值α=0.01的检验标准下，不能拒绝零假设，即没有充分证据

认为评分等级与该校报名者的性别有关联。13分

湖北省武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学参考答案第1页/共5页

16.(本小题共15分)

(1)连接BD,交AC于0。因为ABCD为平行四边形，所以0是BD的中点。在△PBD中，E、

0分别为PB、BD的中点，故EO//PD。又EOc平面ACE,PD女平面ACE,所以PD//

平面ACE。6分

(2)以A为原点，AD方向为x轴正方向，底面内垂直于AD且指向B所在一侧的方向为y轴正方

向，AP方向为z轴正方向建系。设PA=h>0。

由∠BAD=120°,可取

A(0,0,0),D(4,0,0),B(-1,√3,0),C(3,√3,0),P(0,0,h).

则

直线AE、PD的方向向量可分别取

u=(−1,√3̅,h),ν=(4,0,−h).

由两直线所成角为45°,得⃗⃗

平方整理得2(h²+4)=h²+16,所以h²=8,h=2√2。

平面PAC内有AP=(0,0,2√2),AC=(3,√3,0)。

取法向量π=(1,-√3,0),可验π·AP=π·AC=0。

设直线PD与平面PAC所成角为θ,则

15分

湖北省武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学参考答案第2页/共5页

17.(本小题共15分)

函数定义域为(0,+∞),且

(1)当a=-1时，f(1)=0,f'(1)=-4。故切线方程为y=-4(x-1),即y=-4x+4。4分

(2)因为x>0,导数的符号由(x+2a)(x-a)决定。

当a>0时，x+2a>0。于是f在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增。

当a<0时，x-a>0。于是f在(0,-2a)上单调递减，在(-2a,+∞)上单调递增。9分

(3)要使定义域内恒有f(x)>0,只需且必须使其最小值大于0。

当a>0时，最小值为f(a)=4a²(1-Ina)。

所以f(a)>0等价于Ina<1,得到0<a<e。

当a<0时，最小值为f(-2a)=a²[1-41n(-2a)]。

所以f(-2a)>0等价于得到

综上，15分

18.(本小题共17分)

(1)联立

→(x-1)²+2px=1=x²+(2p-2)x=0,

所以x=0或x=2-2p。

圆M与抛物线E的三个公共点分别为(0,0),(2-2p,±2√p(1-p)。

这三点恰好构成等腰直角三角形，所以

故E的标准方程为y²=x。4分

(2)设直线AB方程为x=my+t,A(y²,y₁),B(y2,y2),M(1,0)。

联立

(i)因为LAMB=60°,M到AB距离即m²=t²-2t。

而(y²-1)(y²-1)=(y1y2)²-[(y1+y2)²-2y1y2]+1=t²-(m²+2r)+1=1,

且|y₁-y₂|=√m²+4t=Vi²+2t。

所以

湖北省武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学参考答案第3页/共5页

但t=1时，m²=-1<0舍去。

故t=-3,m=±√15,直线AB的斜率10分

(ii)由|AM|²=|AN|·|AB|,得而LANM=∠AMB。

由(i)知|tan∠AMB|=Vr

所以

又由

=V1+m2·Vr²+2r·|t-1|=t²-1=1+√5.

17分

19.(本小题共17分)

(1)每个原数在两两和中出现3次，所以

最小的两个和分别是a₁+a₂=8,a₁+a₃=14。

设a₁=x,则a₂=8-x,a₃=14-x,a₄=14+x。

尚未确定的两个中间和为a₁+a₄=14+2x,a₂+a₃=22-2x,它们应分别取16,20。故x=1或

x=3。

得到两组值：

(a₁,a₂,a₃,a₄)=(1,7,13,15)或(3,5,11,17).

逐对相加，两组均得到8,14,16,20,22,28。6分

(2)设T=a₁+a₂+a₃+a₄+as。每个原数出现4次，所以

由所给和数列唯一确定。

利用递增关系，可确定四个极端和：

S₁=a₁+a2,S₂=a₁+a₃,Sg=a₃+as,S₁0=an+a₅.

于是中间项首先被唯一确定：aʒ=T-S₁-S10。再依次得到

a₁=S₂-a₃,a₂=S₁-a₁,a₆=Sg-a₃,an=S₁0-a₅.

右端均由已知的和数列唯一确定，因此a₁,a₂,a3,a₄,a₆的