距离的计算用

1、课前准备1两点间的距离的求法设 a(a1，a2，a3)，则|a|a21a22a23，若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 dAB|AB| （x1x2）2（y1y2）2（z1z2）22.向量 a 在向量 b 上的投影怎么求？忆一忆忆一忆 七种距离七种距离（1）点与点的距离（2）点到直线距离（3）点到平面的距离（4）两平行直线间的距离（5）两条异面直线间的距离（6）直线与平面的距离（7）两平行平面间的距离 温故知新温故知新 说明：说明：其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离. 忆一忆忆一忆点到直线的距离(1)定义：因为直线和直线外一点确定

2、一个平面，所以空间中点A到直线l的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离.新知探究新知探究探究一：点到直线的距离探究一：点到直线的距离0,=_(lllAlPslssldAA 如图，已知直线 和直线 外一点A,AA垂足为在 上取一点 ，其中 是直线 的方向向量， 是 的单位向量，则点A到直线 的距离用向量表达)AlPsA,.PAAA PAAs 即已知、 、 直角三角形求论一论论一论0|PA sPA sPA 向量在 上的投影的大小等于线段的长度22220|PA sdPAPA sPAs Al所以根据勾股定理得点 到直线 的距离新知探究新知探究说明：说明：求平行线之间的距离通常转化为求点到直线

3、的距离。AlPsA空间一点A到直线l的距离的算法框图如下在直线l上任取一点P确定直线l的方向向量s计算向量PA计算向量PA在向量s上的投影PAs0计算点A到直线l的距离d新知探究新知探究点到平面的距离 过平面外一点做这个平面的垂线，这点与垂足之间的距离叫做这一点到这个平面的距离探究二探究二:点到平面的距离点到平面的距离APA1n作AA1,垂足为A1 ,则点A到平面的距离d 等于AA1的长度，则d=_.新知探究新知探究P,A.n设 是过点 且垂直于向量 的平面是平面 外一定点论一论论一论APA1n0.PA ndPA nn 新知探究新知探究00|(PAnPA nnn 向量在 上的投影的大小其中 表

4、示 方1)AA向上的单位向量 等于线段的长度，面 的距离为A所以点 到平空间一点A到平面的距离的算法框图如下在平面上任取一点P找到平面的法向量 n计算向量PA计算向量PA在向量n上的投影PAn0计算点A到平面的距离d新知探究新知探究新知探究新知探究较一较较一较例1、如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求点C1到平面A1BD的距离.例题探究例题探究ABCDOA1B1C1D12221136133AB ACABAC 例题探究例题探究ABCDOxyzA1B1C1D1解: 根据题意有A(0,0,0), B(1,0,0),C1(1,1,1)

5、=11ACAC 则直线的方向向量（1,1,1）(1,0,0)AB 又，1BACd故点 到直线的距离 为1133AB ACAC （1）求点B到AC1的距离1,1,1,xyz取则1100,00n ABxzyzn AD 所以即1( , , ),ABDnx y z解：设平面的法向量例题探究例题探究11(1,0, 1),(0,1, 1)ABAD 因为(2)求点C1到平面A1BD的距离.ABCDOxyzA1B1C1D1（0,0,1）（1,0,0）（0,1,0）11122 3|33|CABDBCnn 所以点到平面的距离为1(0,1,1),BC 又因例题探究例题探究(1,1,1)n故可得ABCDOxyzA1B

6、1C1D1（0,0,1）（1,0,0）（0,1,0）小试牛刀小试牛刀( 3, 2,1),( 1,0,2)ABAC 解：（1）由已知22 5|.15|45ndMAn所以点M到平面的距离n= x,y,z 设平面 的一个法向量（）=032020=0n ABxyzxzn AC 则，即(4, 5,2),n可解得平面 的一个法向量为(2,0, 3)MA又练一练练一练.MABC(3)求三棱锥的体积;dABCd(1)求点M到平面 的距离 (2)求 点到直线的距离已知点M(-1,2,3),平面 经过点A(1,2,0),B(-2,0,1),C(0,2,2)小试牛刀小试牛刀(2)(2,2,1),(3,2, 1)BC

7、BA 225BA BCABCdBABC 点到直线的距离 为113 5(3)35222ABCSBC d 113 52 51332153MABCABCVSd.MABC(3)求三棱锥的体积;dABCd(1)求点M到平面 的距离 (2)求 点到直线的距离已知点M(-1,2,3),平面 经过点A(1,2,0),B(-2,0,1),C(0,2,2)lPAsA1.点到直线的距离22|PA sdPAs 课堂小结课堂小结A1APn2.点到平面的距离.PA ndn 本节收获本节收获在例1的条件下求以下距离：111BCDABD（2）平面到平面的距离；ABCDOxyzA1B1C1D1EF1EFBCCDEFA BD（1）若 、 分别为、的中点， 求直线与平面之间的距离；思考交流思考交流 思维点拨思维点拨：直线与平面之间的直线与平面之间的距离、平面与平面之间的距离、距离、平面与