概率论与数理统计 2.3 几种常用的连续型分布

1、一一. .均匀分布均匀分布如果连续型随机变量如果连续型随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为1,()0,axbp xbaothers 则称则称X X服从服从a,ba,b上的均匀分布，记作上的均匀分布，记作 , XU a b 2.3 几种常用的连续型分布几种常用的连续型分布 , XU a b若若则对任意则对任意, , a b 1()PXdxbaba 该式说明该式说明 X 取值于取值于a, b 中任一小区间的概率与该小区间中任一小区间的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的具体位置无关。的长度成正比，而与该小区间的具体位置无关。 , XU a b例例1 1 设设 , , 求它的分布函数

2、。求它的分布函数。解解 X X的密度函数为的密度函数为1,()0,axbp xbaothers xa 当时，( )( )0 xF xp t dt 1( )( )xxaxaF xp t dtdtbaba axb当时,bx 当时,1( )( )001xbaF xp t dtdtba 0,(),1,xaxaF xaxbbaxb 例例2 2 长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于每时的1010分、分、2525分、分、5555分发车分发车, ,设乘客不知发车时间设乘客不知发车时间, ,于每小时的任意时刻随机地到达车于每小时的任意时刻随机地到达车站站, ,求乘客候车时间超过求乘客候车时间超过1010分钟的

3、概率分钟的概率.( )1015P APX 1545解解 设 A =“乘客候车时间超过乘客候车时间超过1010分钟分钟”5 20 51602 X X表示乘客于某时过表示乘客于某时过X X分钟到达分钟到达, ,则则X X U(0,60)U(0,60)2545PX 5560PXx()px0二二. . 指数分布指数分布如果连续型随机变量如果连续型随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为,0()0,xexp xothers 其中其中 为常数，则称为常数，则称X X服从参数为服从参数为 的指数分布。记为的指数分布。记为0 X 的分布函数为的分布函数为1,0()0,xexF xothers ( ).X

4、Exp 指数分布是关于寿命和随机服务系统中的等候时间一类指数分布是关于寿命和随机服务系统中的等候时间一类随机变量的概率模型随机变量的概率模型. .它具有无记忆性它具有无记忆性. .即即 |p XstXs (0,0)p Xtst证明证明(,)|()P Xst Xsp XstXsP Xs ()1()()1( )P XstF stP XsF s ()()sttseeP Xte 例例3 3 电子元件的寿命电子元件的寿命X(X(年）年）服从参数为服从参数为3的指数分布的指数分布 (1) 求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2年的概率。年的概率。 (2) 已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1

5、.5年，求它还能使用两年的概率年，求它还能使用两年的概率为多少？为多少？解解330( )00,xexp xx (1) 2p X 6(2)P Xe 3623.xedx e (2) 3.5|1.5P XX三三. .正态分布正态分布如果连续型随机变量如果连续型随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为22()21( ), 2xp xex 的正态分布的正态分布, ,记作记作2( ,)XN 其中其中 ,(0) , ( 0) 为常数，则称为常数，则称 X 服从参数为服从参数为22()21( )2xp xe 具有以下性质：具有以下性质：3( )yp xx（ ）的图形在处有拐点，(1) 当时取得最大值x

6、1( )2p 2( )yp xx （ ）的图形关于直线对称；x且且以以 轴轴为为渐渐近近线线。 若固定若固定 ，改变，改变 值，将改变密度曲线的平缓陡峭度。注意值，将改变密度曲线的平缓陡峭度。注意密度函数的最大值为密度函数的最大值为1( )2p 22()21( ) ()2txF xedtx 正态分布正态分布 的分布函数为：的分布函数为： 2( ,)XN 特别特别地，地， 称为标准正态分布，称为标准正态分布，其概率密度函其概率密度函(0,1)XN数记为数记为221( )2xxex ， 221( ) 2() txxxedt 分布函数记为分布函数记为( )x 有以下重要性质有以下重要性质:(1) (

7、0 )0 .5 (2) ()1( )xx ，(3) |2( )1 (0)PXccc 无论是无论是正态分布正态分布还是还是标准正态分布标准正态分布, ,分布函数的积分结果分布函数的积分结果都没有办法用初等函数表示出来都没有办法用初等函数表示出来. .那怎样来计算他们呢那怎样来计算他们呢? 例如例如：若若YN(0,1),查表得查表得 (0.5)=0.6915;P1.5Y2.65= (2.65) (1. 5)=0.9960 0.9332=0.0328 一般的正态分布，总可以转化为标准正态分布，一般的正态分布，总可以转化为标准正态分布，进行概率的计算进行概率的计算.可以证明可以证明: : 若若XN(

8、, 2), 则则 ()().XxFxP Xx 事实上事实上:22()21()2txXFxedt 令，得ty 22()()2xyXxFxedy 例例4 4 设随机变量设随机变量 XN(1,22), 求求 P(3X1.6)解解-31.6 (1.6)( 3)1.6( 1)3( 1) ()()22 (1.3)( 1)(1.3)1(1) 0.903210.84130.7445PXFF 本题结果称为本题结果称为“3 原则原则”. .在应用中在应用中, ,通常认为通常认为X只取只取( 3 , +3 )中的值中的值. .使用这一性质所引起的偏差概率还使用这一性质所引起的偏差概率还不超过千分之三不超过千分之三.

9、 . 如在质量控制中如在质量控制中,常用标准指标值常用标准指标值3 作两条线作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报警报.表明生产出现异常表明生产出现异常.例例5 5 若若 X N( , 2), 求求 P(| X | 3 ). 解解 P(| X | 3 )= P( 3 Xh)183.98(cm).(2) 该问题是该问题是100重贝努利试验中的概率计算问题重贝努利试验中的概率计算问题. .=1- (2)=0.0228 设设Y为为100个男子中身高超过个男子中身高超过182cm的人数的人数, ,故故Y B(100, P),所求概率为所求概率为(

10、2)(0)(1)(2)P YP YP YP Y (182)令 pP X1(182)182-1701- ()6P X02.282.2822.282.282.282.28(2)0.60130!1!2!eeeP Y 由于由于n =100较大较大,p=0.0228较小较小,从而可利用泊松分布作近从而可利用泊松分布作近似计算似计算例例7 设生产某种零件的电源电压为随机变量设生产某种零件的电源电压为随机变量2(220,25 )XN且 ，在在200X “”,三种状态下，生产出的零件为次品的概率分别为三种状态下，生产出的零件为次品的概率分别为0.1，0.01X，0.2. 现用此设备生产了现用此设备生产了3个零

11、件，求其中恰有一个为次品个零件，求其中恰有一个为次品的概率的概率. 解解 先求出一个零件为次品的概率，设先求出一个零件为次品的概率，设 A=“生产的一个生产的一个零件为次品零件为次品”，则利用全概率公式，有，则利用全概率公式，有( )(200)(|200)(200240)(|200240)+ (240)(|240)pP AP XP A XPXP AXP XP A X240X 和“”240X“200”4444() 0.1+ ( )() 0.01 1( ) 0.25555 0.2119 0.1 2 0.7881 1 0.01 0.2119 0.2 0.069p 又设又设Y表示表示3个零件中的次品数，则个零件中的次品数，则(3, )YBp故所求为故所求为223(1)(1)P YC pp又设又设Y表示表示3个零件中的次品数，则个零件中的次品数，则(3, )YBp所求为所求为223(1)(1)P YC pp四四. 伽玛分布伽玛分布（一）伽玛函数（一）伽玛函数10( ) 0 xxe dx（）伽玛函数具有如下性质：伽玛函数具有如下性质：11(1)1,2（）（2）2(1)( )（ ） 对自然数对自然数n有有(1)( )!nnnn （二）伽玛分布伽玛分布若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为1, 0( )( )