两角和差正余弦公式的证明复习进程

1、两角和差正余弦公式的证明两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。由角比,尸的三角函数值表示 "E的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公 式的功能。 换言之，要推导两角和差的正余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程，将或现与盘,戸的三角函数联系起来。根据诱导公式，由角 旧的三角函数可以得到日的三角函数。 因此，由和角公式容 易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为 an（ 二2，即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到。（一）

2、在单位圆的框架下推导和差角余弦公式注意到单位圆比较容易表示°，Q和口±P，而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系皿在士Q与口，/的三角函数值的等式。1.和角余弦公式4 rb- B °V0（方法1）如图所示，在直角坐标系 Q中作单位圆°，并作角c，尸和一尸，使 角C的始边为°，交口°于点A，终边交口 °于点B ;角幻始边为，终边交口。于点C;角一始边为Off ,终边交DO于点。从而点A, B, C和D的坐标分别为XLO) (cos adii刀厂血 Q), , , 。由两点间距离公式

3、得曲低晋血一»了 +弘(a+/D = 2-2cos&z*/9 ；JJD3 =cos/f-cos(E)2 +(-sm/Jsinz)? = 2-2(casCEtjOfi/f-品么血历。 注意到 血=刼，因此叭伍+何=皿住£»5#_血啦sinQ。注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段,从而得到我们所要的等式。注意,公式中的 C和©为任意角。2.差角余弦公式仍然在单位圆的框架下，用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段，也可以得到我们希望的三角等式。这就是(方法2)如图所示，在坐标系心中作单位圆&

4、#176;，并作角和尸，使角比和卩 的始边均为皿,交口。于点C,角比终边交口 °于点A,角力终边交口 °于点。从而点A, B的坐标为施西心血毋股g且血Q。由两点间距离公式得AR1ros;/?sin/93 = 22(co5<ZcjosH sin <Zsin)由余弦定理得沏f 二必 + OB1 -TOjCDBokZMB二场 f °衣 -同= 2-2cos(fl-fi)从而有 皿在1 45处3 五盘沁戸注记：方法2中用到了余弦定理 ，它依赖于二是三角形的内角。因此，还需要补充讨论角 和川的终边共线,以及大于招的情形。容易验证,公式在以上 情形中依然成立。在上

5、边的证明中，用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。L'O> y?+则()A由向秋数ht枳的定乙有 (fli- CJtA * ()ti | tx)s( a 汁> = COK(a 小由向h；澈t枳的坐标衣示,<J(JlA sin ) 4 (cos sin jOcos aa)s 沽 mu a>ti /rns oeos«sih（二）在三角形的框架下推导和差角正弦公式除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式,还可以在三角形中构造和角或差角来1.和角正弦公式（一）（方法3）如图所示,劝为 3C的&边上的高，CE为血边上的高。设八

6、恥"，则。从而有/£二 bcOSd CE = hsn aBC=CEcscP=bncscflo因此 zMJ AK I BK 吒rmc I “n ltg丿。BD = AB sin a 二 Moo£<e-I sin acat fl) an a'o注意到 ED BCI口I 丄。从而有:整理可得(cos a 4 sia a cot/F) an a =£ncsc#0ii*Q血1(住1闻=&n 在 casQ* cosasnfio注记：在方法 3中，用丄忙 和与底角。，"相关的三角函数，从两个角度来表示M边上高ED,从而得到所希望的等式关

7、系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的,对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的（方法4）如图所示,ED为 '仞C的AC边上的高，CE为血边上的高。设ZdB = a, 43/二力，则如山=血+0。AE AD注意到MB匚皿D，则有他占卫，即。ADCJE BDREAB RCl AS 迟c = ok在血"rdaaoKQ利用正弦定理和射影定理，将得到下面这个非常简洁的证法。注意证明利用的图形框架与方法3,4所用的图形框架是相同的。（方法5）如图所示，8为厘盹的"边上的高。设厶a/屮，则有圧（口丨旳，。由正弦

8、定理可得JC £CJan/T sma oMLA-fl）5其中d为的外接圆直径。由 M = ACos-VBCcxts ff 得 ”口十血=皿血 “lbis<E*l疗或ndthos咼从而有Qnkz 4-/A =sm aujfi-kcosZsui Q。2.和角正弦公式（二）方法3,4和5利用的图形框架是将角,丿*放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角，将会有下面的几种证法（方法611）。（方法6）如图所示，作曲丄恥于D,交必外接圆于E,连肚和心。设ZJtAE=a WCA£ = p 则a ZJCSKP Z£ACm"设 sc的外接圆直

9、径为d,则有,BE=d an aBD = BEcxrsfi=dauK fl CE=dsnff CD = CEooga = dsincosa所以有 f>C fiB I显(sin mis/门 mscrsin /)注意到 DC = d从而血® *0)二 siiimcosQT cnsasim0(方法7)如图所示,初为山肚的必边上的高,皿为俪边上的高。设AJCE=a, ZBCE=fi,则厶设 CE= h ,则AK=hn rr BE = htan fi BC = hsa.fi AH = j4JT+hftaurr-I tan/f)555又 5D = 5Cani(ff + /9 = scc /

10、?sin(a*/9从而(tan<l 4 tan/9= sec/?sin(a +整理可得 血(a+网二血在cos强+0圧血0。(方法8)如图所示，作妙丄OC于D,过D作Q打丄场于f, 7X7丄砲于g。设ZAOC = a,3C詡,则 3雄二U",设血二r,从而ED = rsin /? 6M) =rcxts/3 BG= BD casa =rsinflcGsa555GE = BF = OZ)sukz =rcosfiwi a。所以该超二BGl-GE = rm/?co£4Z-l-cos/7suia)。注意到R2现+网，则有sn(<Z + £T) =sm 口 cfi

11、sE + cosa 血 fi。注记：我们用两种不同的方法计算朋，得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方法来计算(M,则可以得到和角的余弦公式。由上图可得OF = ODaK<L=rcQ<sffGGsa5= =：iEDsuia = rsm/Jsiij£r5从而有 OE = OF-EF=r(cosccsp-tijLadxkfi)。注意到 Qff = rcos(a+ff), 从而可得 心比鲁厉二亦么口厅-血盘血尸。方法6,7和8都是用角。,Q的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段,从而构造出我们所希望的等式关系。（方法9 ）如图所示，设切为的曲边上的高。设£CBA=f

12、$ ac =b5SC = a,从而有AD b cos oc RD 二 i? cos 01CD = 6sina = drsin p因此=dcosctjjsin Q十acos/3Z&sin a=di fsin a cos /?+ cos a sin /3)又因为 从而可得S.jcp = ACZBC sin XJCff = sin(ff+ )sin(iX + /?) = sin cos 0+cos ff sin /?方法9利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。AB = dcosp BC = tfsin/?RD = d sin(cr+ f3)由托勒密定理知ACTBI>

13、; = ABZd> + ADZBC艮卩dU十 Q = dcosjSS/Tn ce十 dcosoG/siti 0整理即彳导silver 十向二 sin Gtcos+cosasin p（方法10）如图所示,设 为的外接圆直径d,长度为d。设“则° 1,从而AB = d cos /B BC = dCD = dsinaA = dcaBD =d sin(墮+ p)由托勒密定理知ACSBD = ABirDADC艮卩d)/或口(氓十 Q二日cosjKH Tn tr+dcosoG/siti 0整理即得sin(a 十炉二sin tzcosB+costrsin p注记：这一证明用到了托勒密定理：若

14、必和丑。是圆内接四边形的对角线 ，贝U有dU/sio(a+Q =孑 ssstaff-K deus（方法ii）如图所示,CQ为汕蝕£的血边上的高。设以切二血，ZBCD = fi,则 ZACB=a-ifl。设切“，则AB = AD 4 BD = ft(tana + tan p)由正聽定理可徐AB _ AC _ BC_ sin(iX + sin sin 4即从而即整理即得_ AC月Gsin(cr + JJ) cos P cos a朋 _ M + ECsin(«+cas/?+ec«ffXtan ff + tan 0) _ /j(seca±sec/?)sin(tr

15、+j0) cos fi +gsizsi n(oc + /5) - sin a cos 0 十 cos a sin P方法10和11将某一线段作为基本量 ，利用与角 a ,尸相关的三角函数表示其它 线段，再通过联系这些线段的几何定理(托勒密定理或正弦定理 ),构造出我们希望的等式关系。3.差角正弦公式仍然还是在三角形中，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法12和13便是用这种想法来证明的。（方法12）如图所示设伍,BSC-p ,记肋=b ,作DE.LAB 于 E,贝U=a ,从而有CD = J sin /? DE b sin(tz j3)DA = DEs&c a =b dn(a P

16、)sec a因此有AC = CD +D4 = &(eiii Q+py see ci)B（方法13）如图所示,血为的外接圆直径长度为d。设注意到BC bcos/? AC - BCtana = ft eosQtan 空 F从而sin S+5in(GE sect7 = cosp tan a整理可得sin(cr 一R = gin a cos p- cosasin Q从而Z<LW = /?则 ZCBD = ft ACAB = -fi.40 =d ccsa； BD = t/sin crBC d sin（£ /?） AC d cos（a - p）fDE = AD tan/?cos a

17、 tan/?BE = 5Csec/? = rfsin（a-/7）sec/7所以RD = RE + DE = c/（stn（fZ /7） sec >5 + cos CL tan 闻注意到ED = £sin业从而sir a = sin（a-/7） sec/? + cos ar tan P整理可得sin（£K p） - sin ffcos/?- cos<xsin p方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段，借此来构造等式关系。很显然，在这十二种证法中，方法1和2更具普遍性。换言之，这两种方法中出现的角 ,刃是任意角。而其余方法中,角皿和尸则有一定的限制

18、,它们都是三角形的内角（甚至都是锐角）。因此，对于方法313,我们需要将我们的结果推广到角伍和BS亡碍刀是任意角的情形。具体而言，我们要证明：如果公式对任意2成立，则对任意角也成立。容易验证，角比和中至少有一个是轴上角（即终边在坐标轴上的角）,我们的公式是成立的。下面证明,角抚和 庐都是象限角（即终边在坐标系的某一象限中的角）时,我们的公式也成立。不妨设°为第二象限角,"为第三象限角,从而有a 三 2酬兀 +扌21 2?meZ；B因此有&ina = eosa c?oe二一虹口 空< sin = -sin co$0 二-uo昭从而sin(af -I- 0；： =sin(2m,T +斗的)+O+”+a)=sin(2j« + 2ti +亠 g+a)j=_匚05(碍 + B)=coso cos 加 十sm=cos (-cos /) + (- sin X-sin :gin。cosp + cos a 珀口 /?同理可证，公式对于象限角