char函数的极限PPT学习教案

1、会计学1char函数的极限函数的极限;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 第1页/共52页定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当1、定义：、定义：第2页/共52页2.几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo第3页/共52页例例2).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 例例3.lim00 xxxx 证明证明第4页/共52页例例3.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任任给给,min00 x

2、x取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明第5页/共52页3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy第6页/共52页v单侧极限 0 0 当x0 xx0 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0limxxf(x)A 或 f(x)

3、A(xx0)。 若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫做函数f(x)当xx0时的左极限 记为 Axfxx)(lim0或f(x0)A . Axfxx)(lim0第7页/共52页Axfxx)(lim0Axfxx)(lim0且Axfxx)(lim0 .)0()0()(lim000AxfxfAxfxx 或或.lim0不存在不存在验证验证xxx例例7yx11 o第8页/共52页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放第9页/共52页定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在着正数总存在着正数X,

4、,使得对于适合不等式使得对于适合不等式Xx 的一切的一切x, ,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim xAxfAxfx当当或或定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim1、定义：、定义：第10页/共52页:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2、另两种情形、另两种情形: Ax

5、fx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且第11页/共52页xxysin 3、几何解释、几何解释: X XA第12页/共52页1.有界性有界性定理定理 若在某个过程下若在某个过程下, ,)(xf有极限有极限, ,则存在则存在过程的一个时刻过程的一个时刻, ,在此时刻以后在此时刻以后)(xf有界有界. .2.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一.第13页/共52页).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理1(1(保号性保号性) ).0(0),0)(0)(,

6、),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若定理定理23.不等式性质不等式性质第14页/共52页推论推论).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设推论推论.),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设 第15页/共52页4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时的子列时的子列当当为函数为函数即即则称数列则称数列时时使得使得有

7、数列有数列中中或或可以是可以是设在过程设在过程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定义定义.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则有则有时的一个子列时的一个子列当当是是数列数列若若定理定理第16页/共52页例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .第17页/共52页xy1sin 例例

8、7.1sinlim0不存在不存在证明证明xx第18页/共52页(1) 定义定义:定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, ,那末那末 称函数称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, ,记作记作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.2.

9、4 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1. 无穷小无穷小第19页/共52页例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.第20页/共52页(2) 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0

10、)(lim0 xxx则有则有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.第21页/共52页(3) 无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .定理定理3 有界函数与无穷

11、小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.第22页/共52页例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与x

12、x不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限型）型）（00第23页/共52页；记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1( o定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;, 0lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 C;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地，低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)(两个重要极限式两个重要极限式第24页/共52页., 0, 0lim)4(无穷小无穷小阶的阶

13、的的的是是就说就说如果如果kkCk ，1sinlim0 xxx).0(sinxxx即即第25页/共52页例例1 1.sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 第26页/共52页例例解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则当则当uuu10)1ln(1lim uu

14、u10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx时，时，即，当即，当第27页/共52页定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设第28页/共52页例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改

15、变原式的极限第29页/共52页不能滥用不能滥用等价无穷小代换等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. .注意注意例例.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求第30页/共52页例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 第31页/共5

16、2页绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.第32页/共52页.tanlim02 xx 例例.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 第33页/共52页 11lim21xx定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .第34页/共52页定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgA

17、xf其中其中则则设设第35页/共52页推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2第36页/共52页例例1 1.531lim232 xxxx求求第37页/共52页Ex:Ex:.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x3323

18、23147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)第38页/共52页1.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .2.6 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限第39页/共52页准则准则 如果当如果当)(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.第40页/共52页x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM第41页/共52页(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(lim等价无穷小等价无穷小第42页/共52页.sin时的变