初中数学中的几何最值问题的探究

1、    初中数学中的几何最值问题的探究    汪振方【摘 要】运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到几何中的最值问题.古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短线路问题.从某种意义上说，一笔画问题也属这类问题.看来最短线路问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛.【关键词】最值问题 解决方法 探究唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的a点出发，走到河边饮马后，再到b点宿营.请问

2、怎样走才能使总的路程最短？在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，同样在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件下变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，也是我们要讨论的最值问题。解决问题：如图2所示，从a出发向河岸引垂线，垂足为d，在ad的延长线取a关于河岸的对称点a，连结ab，与河岸线相交于c，则c点就是饮马的地方，将军只要从a出发，沿直线走到c，饮马之后，再由c沿直线走到b，走的路程就是最短的.如

3、果将军在河边的另外任一点c饮马，所走的路程就是ac+cb，但是，ac'+c'b=a'c'+c'b>a'b=a'c+cb=ac+cb. 可见，在c点外任何一点c'饮马，所走的路程都要远一些.这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段aa'的中垂线，所以ad=ad。（2）由上一条知：将军走的路程就是ac+bc，就等于ac+bc，而两点确定一条直线，所以c点即为所求。变式题：（请同学们自己画图）若a、b两点分别在河流l的两侧，在河流l上取一点p使|papb|的值最大。解决问题：作点a关于直线l的对称点a，连结a

4、b并延长交直线l于p，则pa=pa，因而|papb|=|papb|，则当a，b、p在同一条直线上时，|papb|的值最大.如果在河边的另外任取一点异于点p的点p，则pa=pa，因而|papb|=|papb| a'b=|papb|=|papb|，可见，在p点外任何一点p'，都有|papb|papb|，也就是|papb|的值最大。最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点间线段最短；连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；定圆中的所有弦中，直径最长。（2）运用代数证法：运用配方法求二次函数或二次三项式

5、的最值；运用一元二次方程根的判别式。例如：在平面直角坐标系中，矩形oacb的顶点o在坐标原点，顶点a、b分别在x轴、y轴的正半轴上，oa=3，ob=4，d为边ob的中点.（1）若e为边oa上的一个动点，当cde的周长最小时，求点e的坐标；（2）若e、f为边oa上的两个动点，且ef=2，当四边形cdef的周长最小时，求点e、f的坐标.分析：（1）由于c、d是定点，则cd是定值，如果cde的周长最小，即de+ce有最小值.为此，作点d关于x轴的对称点d'，当点e在线段cd上时，cde的周长最小；（2）由于dc、ef的长为定值，如果四边形cdef的周长最小，即de+fc有最小值.为此，作点d

6、关于x轴的对称点d'，在cb边上截取cg=2，当点e在线段dg上时，四边形cdef的周长最小.解：（1）如图1，作点d关于x轴的对称点d'，连结cd'与x轴交于点e，连结de.若在边oa上任取点e'与点e不重合（如图2），连结ce'、de'、d'e'.由de'+ce'=d'e'+ce'>cd'=d'e+ce=de+ce，可知cde的周长最小.在矩形oacb中，oa=3，ob=4，d为ob的中点，bc=3，d'o=do=2，d'b=6，oebc，点e的坐标为（1，0）；（2）如圖3，作点d关于x轴的对称点d'，在cb边上截取cg=2，连结d'g与x轴交于点e，在ea上截取ef=2，gcef，gc=ef，四边形gefc为平行四边形，有ge=cf，又dc、ef的长为定值，此时得到的点e、f使四边形cdef的周长最小.oebc，点评：此题是2010年天津市中考数学试卷第25题，主要考查轴对称最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之