二章函数的求导法则PPT学习教案

1、会计学1二章函数的求导法则二章函数的求导法则xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义 )求导法则其它基本初等函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容第1页/共27页定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、积、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(x

2、v第2页/共27页此法则可推广到任意有限项的情形.设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,第3页/共27页vuvuvu )(证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论: )

3、() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C为常数 )第4页/共27页解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx第5页/共27页)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2vvuvuvu证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xv

4、xu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论:2vvCvC( C为常数 )第6页/共27页 )(csc xxsin1x2sin)(sinxx2sin,sec)(tan2xx证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx第7页/共27页 )( xf定理2. y 的某邻域内单调可导,

5、 证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11第8页/共27页1解: 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 则第9页/共27页, )1,

6、0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结:第10页/共27页在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证:)(ufy 在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0(

7、)(xxuxuufxy第11页/共27页例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.第12页/共27页. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch说明: 类似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax第13页/共27页,)cos(lnxey 求.ddxy

8、解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同练习: 设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中第14页/共27页, )1(ln2xxy.y求解: y112xx11212xx2112x记, )1(lnarsh2xxx则 )(arsh x112x(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见 P94例16. 2shxxeex的反函数第15页/共27页1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )(x1x )(sin

9、 xxcos )(cos xxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(sec xxxtansec )(csc xxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccos x211x )(arctan x211x )cot(arcx211x第16页/共27页 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(ln

10、 xx1由定义证 ,说明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数第17页/共27页求解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例8.设),0( aaaxyxaaaxa解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln第18页/共27页求解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导第19页/共27页

11、求,1111ln411arctan21222xxxy.y解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx第20页/共27页求导公式及求导法则 (见 P94)注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x 思考与练习对吗?2114341xx第21页/共27页, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limx

12、ax)(a阅读 L.P 51 例1 正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,第22页/共27页解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln第23页/共27页),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解: 方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法2 利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f第24页/共27页P 96 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ;8 (4