勾股定理典型例题归类总结

1、9已知RtAABC的周长为- ',其中斜边-，求这个三角形的面积。10如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广（1）如图，以RtA ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积Si、S2、S3之间有何关系？并说明理由。（2） 如图，以Rt ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有何关系？（3） 如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）题型二：利用勾股定理测量长度例1如

2、果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?跟踪练习：1如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处,B1 ,57BCT勺长是丄05米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池的深度 AC.2一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12 米B、13 米 C、14 米 D、15 米3如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高4米，两树相距8米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的 树梢，问小鸟至少飞行（）A、8 米 B、10 米 C、12 米 D、14 米 题型三：勾股定理和逆定理并

3、用一一1例3.如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB AB那么 DEF是直4角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1.如图，正方形 ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且 DF=3CF，求证：/ AEF=90°题型四：利用勾股定理求线段长度一一例1.如图4,已知长方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将厶ADE折叠使点 D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.跟踪练习：1如图，将一个有 45度角的三角板顶点 C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另边沿上，

4、测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边 AB的长.2如图，在 ABC 中，AB=BC，/ ABC=90° , D 为 AC 的中点，DE 丄 DF，交 AB 于 E,交 BC 于 F, (1) 求证：BE=CF; (2)若 AE=3 , CF=1，求 EF 的长.BD=3，求CD的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直一一例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1如图，每个小正方形的边长都是， ABC的三个顶点分别在正

5、方形网格的格点上，试判断厶ABC的形状，并说明理由.(1)求证：/ ABD=90 ; (2)求'四腼CD的值2下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是()_ _ 1 £ 1 A、9, 12, 15 B、7,24,25 C、甘宀匕 D、,3在 ABC 中，下列说法/ B= / C-/ A ;- ' -" 一；/ A: / B: / C=3: 4: 5;a:b:c=5:4:3 ;：=1:2:3，其中能判断 ABC为直角三角形的条件有（）A、2个B、3个 C、4个D、5个4在 ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角

6、三角形？并判断哪一个 是直角？（1） a=26, b=10, c=24; （2） a=5, b=7, c=9; （3） a=2, A =,：=.产A、2个 B、3个C、4个 D、5个5已知 ABC的三边长为a、b、c,且满足- ll，: - J -I - "-t：,则此时三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、锐角三角形2 26在 ABC 中，若 a=n -1 , b=2n , c= n 1，则 ABC 是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7如图，正方形网格中的 ABC是（）a.1r、fcA、直角三角形 B、锐角三角形C、钝角三

7、角形D、锐角三角形或钝角三角形8已知在厶ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是 a、b、c,下列说法中，错误的是（）A、如果/ C- Z B= / A,那么/ C=90° B、如果/ C=90°,那么疋一沖=沪C、如果（a+b） （a-b）=，那么Z A=90 °D、如果Z A=30° ,那么 AC=2BC9已知 ABC的三边分别为a, b, c,且a+b=3, ab=1,= *，求 '的值，试判断厶 ABC的形状,并说明理由10.观察下列各式：阶+护=*沪+辭=1/ 1沪+护=1存戈$ + 12 26? 根据其中规律写出下一个式子为 11

8、.已知，m> n, m、n为正整数，以订护一卅，2mn,十孑广为边的三角形是 三角形.12.个直角三角形的三边分别为n+1 , n-1 ,8，其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形?题型六：旋转问题：例题6.如图，P是等边三角形 ABC内一点,PA=2,PB= 2.3 ,PC=4,求厶 ABC 的边长.跟踪练习1.如图， ABC 为等腰直角三角形，Z BAC=90 ° , E、F是BC上的点，且Z EAF=45 °，试探究题型七：关于翻折问题例题7.如图，矩形纸片 ABCD的边AB=10cm , BC=6cm , E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，

9、点B 恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.跟踪练习，把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C'的位置，BC=4,1如图，AD是厶ABC 的中线，/ ADC=45 求BC '的长A（一）折叠直角三角形1如图，在厶ABC中，/ A = 90，。点D为AB上一点，沿CD折叠 ABC，点A恰好落在 BC边上的A处,AB=4 , AC=3，求 BD 的长。2.如图，Rt ABC中，/ B=90° AB=3 , AC=5 .将 ABC折叠使 C与A重合，折痕为 DE,求BE的长.（二）折叠长方形1如图，长方形 ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕 AF折

10、叠，点D恰好落在BC 上的点E处，求CF的长。2.如图，长方形 ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折叠，使点 D与点B重合，点C与C'重合 （ 1） 求DE的长；（2）求折痕EF的长.3. （2013?常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边 CD落在对角线 AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D'处.若AB=3，AD=4，则ED的长为（）BC4.如图，长方形 ABCD中，AB=6 , AD=8 ,沿BD折叠使A到A'处DA'交BC于F点.（1）求证：FB=FE（2）求证：CA / BD(3)求厶DBF的面积7.如图，正方形 ABCD中，点E在边C

11、D上，将 ADE沿AE对折至 AFE，延长EF交边BC于点G,GDE为BC的中点，连结 AG、CF. ( 1)求证：AG / CF; (2)求 .的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路 MN和公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距 离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响， 那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行 驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2.一辆装满货物高为 1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，

12、它能顺利通过吗？跟踪练习：1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东 60°方向移动，距风暴中心 200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。2辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如下图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？3.有一个边长为 50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整 数）4.如图，铁路上A ,B两点相距25km ,C,D为两村庄，DA丄AB于A ,CB丄AB于B ,已知

13、DA=15km,CB=10km , 现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E,使得C, D两村到E站的距离相等，则 E站应建在离A站 多少km处？题型九：关于最短性问题例1、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正 上方油罐上边缘的 B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而 是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）ffi 1-19例2.跟踪练习：1如图为一棱长为

14、 3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟？A2如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台 阶面爬到B点，最短线路是多少？3个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，6cm，12cm, 只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能4如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中,能全部放进去吗？题型十

15、：勾股定理与特殊角（一）直接运用30°或45°的直角三角形C = 90，/ B = 30 ° AD是厶ABC的角平分线，若AC= 2 3，求AD的长。2如图，在 ABC 中，/ ACB = 90 °, AD 是厶 ABC 的角平分线， CD丄 AB于 D,Z A= 30 °, CD=2，求 AB 的长。3如图，在 ABC 中，AD丄 BC于 D,Z B= 60 ° / ,C= 45° AC=2，求BD的长。（二）作垂线构造30°或45°的直角三角形（1） 将105°转化为45°和60&

16、#176;1如图，在 ABC 中，/ B= 45 ° / A=105 ° , AC=2，求 BC 的长。2.如图，在四边形ABCD 中，/ A= / C= 45° / ADB= / ABC=105，若 AD=2,求AB的长；若AB+CD= 2、3+2,求 AB的长。(2)将75°转化为30°和45°3.如图，在 ABC 中，/ B= 45 °, / BAC=75 ° , AB= J6 ，求 BC 的长。A题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1.如图，在 ABC 中，/ C= 90 ° A

17、D 平分/ CAB 交 CB 于 D , CD=3,BD=5，求 AD 的长。2.如图，在 ABC 中，AD丄 BC于 D,且/ CAD=2 / BAD,若 BD=3 , CD=8，求 AB 的长。（二）巧用“连环勾”列方程1.如图，在 ABC中,AB=5 , BC=7, AC=4 '、2，求 S Abc,CD丄 AB于 D, AC=3 BC=4,求 AD 的长。3.如图， ABC 中，/ ACB=90° , CD丄AB 于 D, AD=1 , BD=4，求 AC 的长4如图， ABC 中，/ ACB=90° , CD 丄 AB 于 D , CD=3 , BD=4，

18、求 AD 的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一） 锐角与钝角不明时需分类讨论1.在厶 ABC 中，AB=AC=5，：-1，求 BC 的长2.在厶 ABC 中，AB=15，AC=13，AD ABC 的高，且 AD=12，求 ABC 的面积。（二）腰和底不明时需分类讨论3如图1 , ABC中，/ ACB=90° , AC=6 , BC=8，点D为射线 AC上一点，且 ABD是等腰三角形，求 ABD的周长（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为 2在 ABC中，/ ACB=90° , AC=4 , BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形

19、 ABD，求CD的长3如图，D（2,1）,以0D为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.题型十三：打十 A込或牯込问题的证明1如图1 , ABC中，CA=CB，/ ACB=90° , D为AB的中点，M、N分别为 AC、BC上一点，且 DM丄DN. (1)求证：CM+CN= BD(2)如图2，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究 CM、CN、BD之间的数量关系式。EH 2.已知/ BCD=a，/ BAD=3 , CB=CD. (1)如图 1,若 a =3 =90 求 证：AB+AD= AC ; (2)如图 2,若 a =

20、 3 =90° 求证：AB-AD= VAC; (3)如图 3，若 a =120； 3 =60；求证：AB=AD= VAC ; (4)如图3,若 a =3 =120 求证：AB-AD= AC ;阳I题型十四：宵一门问题的证明1如图，OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=90 , M、N 分别为 AC、BD 的中点，连 MN、ON.求证：MN=ON.2.已知 ABC 中，AB=AC，/ BAC=90° , D 为 BC 的中点，AE=CF，连 DE、EF. (1)如图 1,若 E、F分别在AB、AC上，求证：EF= DE ；( 2)如图2，若E、F分别在BA

21、、AC的延长线上，则 中的结 论是否仍成立？请说明理由.3如图， ABD中，0为AB的中点，C为DO延长线上一点，/ACO=135，/ ODB=45探究0D、OC、AC之间相等的数量关系.4如图， ABD 是等腰直角，/ BAD=90° , BC / AD , BC=2AB , CE 平分/ BCD，交 AB 于 E,交 BD 于H .求证：B 卅MC(1) DC= DA ; (2) BE= DH题型十五：勾股定理（逆定理）与网格画图1如图，每个小正方形的边长为1, A、B、C是小正方形的顶点，则/ ABC的度数为.C2如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形，使它的三边长

22、分别是3,2 一， 一，且三角形 的三个顶点都在格点上.3如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上.4在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个.L ；”“I8 "F1L.JK91. 二 *> r81141| TH | « « « 8114I8_ _j|4个三角形中,5如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这与众不同的是中的三角形，图4中最长边上的高为 阳1图2同3图46如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：(1 )C2)(1)画一条线段 MN，使 MN= ; ( 2)画厶ABC，三边长分别为 3，-，2。7如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.(1) 图1中以AB为腰的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边长.(2) 图2中，以AB为底边的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高.题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1如图，在 ABC中，点 D为BC边上一点，且 AB=10 , BD=6 , AD=8 , AC=7，其求CD的长.3如图，在 ABC中，AD为BC边上的中线,AB=5,AC=1