高等数学第三章综合测试题

1、学习资料收集于网络，仅供参考第三章综合测试题A 卷一、填空题 （每小题4 分 ,共 20 分）1、函数 yln( x1) 在 0,1上满足拉格朗日定理的=.、函数f (x)133x29 x在闭区间 0,4上的最大值点为x =.23x3、函数 yx4的单调减少区间是.xf ( ah)f (a)4、若函数 f (x) 在 xa 二阶可导 ,则 limhf (a)h=.h 05、曲线 yx3的铅直渐近线为.x2二、选择题 （每小题4 分 ,共 20 分）1、下列函数在 1,1上满足罗尔定理条件的是（ A）yex（ B）yln x（C） y1 x2（ D） y11x22、曲线 y(x1)3 的拐点是（

2、A） (1,8)（ B） (1,0)（C）(0,1)（D ）(2,1)3、已知函数f (x)( x 1)(x2)( x3)( x4),则 f(x)0 的实根个数为（A） 一个(B) 两个(C)三个(D)四个4、设函数 f (x) 在 ( a, b) 内可导 ,则在 ( a, b) 内 f (x)0 是函数 f (x) 在 ( a, b) 内单调增的(A) 必要非充分条件(B) 充分非必要条件(C) 充要条件 (D ) 无关条件5、如果 f ( x0 )0, f ( x0 )0 ,则（ A ） f ( x0 ) 是函数f ( x) 的极大值(B)f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极小值学

3、习资料学习资料收集于网络，仅供参考(C) f (x0 ) 不是函数 f (x) 的极值(D) 不能判定 f ( x0 ) 是否为函数f ( x) 的极值三、解答题1、（ 711) .分）计算 lim(exx 0 x12、（ 7分）计算 limx ln x .x 013、（ 7 分）计算 lim( sin x) x .x0x4、（ 7 分）计算 lim( ax1b xcx ) x .x035、（ 10分）设函数f ( x), g( x) 在 a,b 上连续 ,在 ( a,b) 内可导 ,且 f (a)f (b) 0 ,证明 :存在(a, b) ,使得 f ( )f ( ) g ( ) 0 .x2

4、6、（ 10 分）证明：当x0 时 , xln(1x)x .27（ 12 分）设函数 f(x) 在 x0的邻域内具有三阶导数,且lim(1 xf ( x) ) x1e3 .x0x(1)求f (0),f (0), f(0).(2)求 lim(1f ( x) )1x .x 0x学习资料学习资料收集于网络，仅供参考第三章综合测试题A 卷答案一、填空题112、 43、 ( 2,0) U (0,2)1(a) 5、 x 21、4、 fln 22二、选择题1、 C2、 B3、 C4、 B5、B三、解答题1、12、 03、14、 3 abc5、设 F ( x)f ( x)eg ( x) ,由罗尔定理即得 .2

5、6、由单调性证明即可.1ln(1xf ( x) )7、解 （ 1）因为lim(1xf ( x) ) xe3,所以 limxx3x 0xx 0由于分母极限为 0,所以limln(1f ( x)0 ,即 lim( xf ( x)0x)x 0xx0xf (x)lim0,又因为f ( x) 在 x0 连续 ,则 limf ( x)f (0)0xx 0x0f ( x)f (0)ln(1xf ( x)f (0)lim0 ,由 limxx3得x 0x0x0ln(1xf (x)xf ( x)f ( x)limxlimxlim(13,所以xxx2 )x 0x0x0limf (x)2,即 limf( x)2,由此

6、得f (0)limf (x)f(0)42xx 0x 0 x2x 0x 01ln(1f( x) )f ( x)lim f ( x)（ 2） lim(1limxlimxf (x) ) xex 0xex0xex0 x2e2x0x学习资料学习资料收集于网络，仅供参考第三章综合测试题B 卷一、填空题 （ 25 分）1、 f (x)x2 , F ( x)x 在 1,2 上满足柯西中值定理的.2、曲线 y3x55x3 有个拐点 .3、曲线 yx4sin x的水平渐近线方程为.5x2cos x1 , 则 lim lnn 2na 1n4、 (02,数三 )设常数 a.2nn(12a)5y3在点 (1,1) 处的

7、曲率为.x、曲线二、选择题 （ 25 分）1 、 设 f ( x) 在 xx0 的 附 近 二 阶 可 导 , f (x0) 0, f (x0 )0, 则 f (x) 在 xx0 处 有(A) 极大值(B)极小值 (C)拐点(D)既非极值点有非拐点2、（ 02,数三）设函数f (x) 在闭区间 a,b 上有定义 , 在开区间(a, b) 内可导 , 则(A)当 f (a) f (b)0 时 , 存在( a,b), 使 f ( )0.(B)对任何( a, b), 有 lim f (x)f ()0.x(C)当 f (a)f (b) 时 , 存在(a,b), 使 f( )0.(D)存在( a, b)

8、, 使 f (a)f (b)f( )(ba).3、已知 f (x) 在 x 0的某邻域内有定义, 且 f (0)0, limf (x)则在 x0 处 f (x)2,x0 1cos x学习资料学习资料收集于网络，仅供参考(A)不可导(B)可导 , 且 f(0) 0 (C)取极大值 (D)取极小值4、设 k0, 函数 f (x)ln x x k 在 (0,) 内的零点个数为e(A) 3(B) 2(C) 1(D) 05 、（ 2003, 数二）设函数f ( x ) 在 (,) 内连续 ,其导数的图形如图所示, 则 f ( x) 有(A) 一个极小值点和两个极大值点f ( x)(B) 两个极小值点和一

9、个极大值点(C) 两个极小值点和两个极大值点(D) 三个极小值点和一个极大值点三、（ 7分）求 lim(x1) .1ln xx 1 x四、（ 8分）已知 lim1f (x)sin 2x 1f ( x).3 x2, 求 limx 0e1x 0五、（ 9分）设 f (x) 在 x0处二阶可导 , 且 limsin xxf ( x)x3x0六、（ 9分）证明：当x0时x(1 x)ln 1xx 1.xox0, 求 f (0), f (0), f (0).七、（7 分）已知点 (1,3) 是曲线 yx3ax2bxc 的拐点 , 并且曲线在x2 处有极值 ,求 a, b,c.八、（ 10 分）设函数f (

10、x) 在 0,3 上连续 , 在 (0,3) 内可导 , f (0)f (1)f (2)3,f (3)1. 试证必存在(0,3), 使得 f ( )0.（ 03, 数三）学习资料学习资料收集于网络，仅供参考第三章综合测试题B 卷答案一、填空题1、 32、 33、 y14、15、3102512a5二、选择题1、 B2、 B3、 B4、B5、 C三、解 : lim(x1)lim x ln xx 1lim1 ln x1limln xx 1 x 1 ln xx 1 ( x 1)ln xx 1x 1ln xx 11x1ln xxlim 111 .x1x 1x12x2x1f ( x)sin 2x13 x1

11、0,四、解 : 因为 lim3x2, 又 lim ex0e1x0故 lim 1f ( x)sin 2x10. limf ( x)sin 2x0.x 0x 01f (x)sin 2x 1limf (x)sin 2 xlimxf ( x)故 lim f (x) 6.从而 lim3 x3x2,x 0e1x 0e1x 03xx 0五、解 :由于 f (x) 二阶可导 , 故xx3o1 (x3 ) x f (0) f (0) xf (0)o2 ( x2 )limsin x3xf ( x)lim3!32!x 0xx 0x学习资料学习资料收集于网络，仅供参考1 f (0) x f (0) x2f (0)1

12、x3o(x3 )lim2!3!0x3x 0要使上述极限存在, 只有 x, x2 , x3的系数均为零 .所以f (0)1, f (0)0, f(0)1.3六、证明 :原不等式等价于 ln 1x110.所以设x1 xx(1x)f ( x)ln1 x11x1xx (1x)f( x)113x13x12x(1x)22xx (1x)22xx (1x) 2x(1 x)f (x) 分母大于零 , 设分子为( x)3x12x3(x1)222.333所以 f (x) 0,(x 0) ,f (x) 单调增 . 又 limf ( x)0, 故 f (x)0结论成立 .x七、证明 : y3x22axb, y6x2a; 又 (1,3) 是曲线的拐点 , 故 y(1) 0 从而a3. 又曲线在 x2 取得极值 ,所以 y (2)b0,yx33x2c (1,3) 在曲线上 , 所以 y(1)1 3c 0, c5.八、证明 : 因为 f (x) 在 0,3上连续 , 所以 f (x) 在 0,2上连续 , 且