积分变换第1讲

1、1傅立叶积分变换傅立叶积分变换 （傅氏变换）（傅氏变换）拉普拉斯积分变换拉普拉斯积分变换 （拉氏变换）（拉氏变换）21、何为积分变换？、何为积分变换？).()(),(Fdttftkba记记为为 所谓积分变换，实际上就是通过积分算子，把所谓积分变换，实际上就是通过积分算子，把一个函数变成另一个函数的一种变换一个函数变成另一个函数的一种变换. .：变变量量，具具体体形形式式可可写写为为这这类类积积分分一一般般要要含含有有参参原原像像函函数数；是是要要变变换换的的函函数数，这这里里 )(tf像像函函数数；是是变变换换后后的的函函数数， )(F.),(积积分分变变换换核核是是一一个个二二元元函函数数，

2、 tK32、积分变换的产生、积分变换的产生 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解到原问题的解. .原原 问问 题题直接求解困难直接求解困难变换变换较简单问题较简单问题变换后问题的解变换后问题的解求求 解解逆变换逆变换原问题的解原问题的解4 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐

3、标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况思路都属于这种情况. . 基于这种思想，便产生了积分变换基于这种思想，便产生了积分变换. .其主要体现在：其主要体现在： 数学上：数学上：求解方程的重要工具；求解方程的重要工具； 能实现卷能实现卷积与普通乘积之间的互相转化积与普通乘积之间的互相转化. . 工程上：工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具分析的重要工具. .51. 傅立叶级数与傅立叶积分傅立叶级数与傅立叶积分第七章第七章 傅立叶积分变换傅立叶积分变换2. 傅傅 立立 叶叶 积积 分分

4、变变 换换 3. 单单 位位 脉脉 冲冲 函函 数数 4.傅立叶积分变换的性质傅立叶积分变换的性质,卷积卷积61 1 傅立叶级数与积分傅立叶级数与积分1 1、傅立叶级数的指数形式、傅立叶级数的指数形式在在高等数学高等数学中有下列定理：中有下列定理：定理定理1 1一一个个周周期期上上满满足足：上上满满足足狄狄氏氏条条件件，即即在在为为周周期期的的实实函函数数，且且在在是是以以设设2,2)(TTTtfT （1 1）连续或只有有限个第一类间断点；）连续或只有有限个第一类间断点；（2 2）只有有限个极值点）只有有限个极值点. . 则在则在连续点连续点处，有处，有7)1(. )sincos(2)(10

5、nnnTtnbtnaatf).,2,1(sin)(2),2,1(cos)(2,2,d)(22222220 ndttntfTbndttntfTaTttfTaTTTTTTTnTnT其其中中).0()0(21)1(000 tftftTT式式右右端端级级数数收收敛敛于于处处，在在间间断断点点8注意：注意：.2sin,2cosiiiieeiee )(”写写为为“也也有有的的课课本本上上把把“ji于是于是.222222)(1010 ntninntninnntnitnintnitninTeibaeibaaeeibeeaatf9,3,2,1,2,2,200 nbiacbiacacnnnnnn令令则则（2 2）

6、式称为傅立叶级数的）式称为傅立叶级数的复指数形式，复指数形式，具有明显具有明显的物理意义的物理意义( (书上书上P117).P117).)3().,2,1,0()(122 ndtetfTccTTtinTnn可可以以合合写写成成一一个个式式子子容容易易证证明明)2()( ntinnTectf 102 2、傅立叶积分、傅立叶积分 任何一个非周期函数任何一个非周期函数 f (t), 都可看成是由某个周都可看成是由某个周期函数期函数 fT (t) 当当T T+时转化而来的时转化而来的. .).()(limtftfTT .)(1lim)(,)(1)()3()2(2222 ntinniTTntininTT

7、edefTtfedefTtfTTTT可可知知，得得、由由公公式式11.,2),(,1nnnnnTTn 或或则则令令 nntiiTntiiTTnTTnnnTTneefedefTtf2222d)(21lim)(1lim)(0T2O 1 2 3 n-1nT2T2T2于是于是12.)(21)(22tiiTnTnTTnedef 令令)4(.)(lim)(0 nnnTntf故故.)(21)()(,0tiinnTnnnedefT 时时即即注注意意到到当当从而按照积分的定义，（从而按照积分的定义，（4 4）可以写为：）可以写为：,)()( dtf或者或者13)5(.)(21)( dedeftftii公式（公式

8、（5 5）称为函数）称为函数 f(t) 的的傅氏积分公式傅氏积分公式. .定理定理2 2 若若 f(t) 在在(-(- , +, + ) )上满足条件上满足条件: : (1) f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件在任一有限区间上满足狄氏条件; ; (2) f(t)在无限区间在无限区间(-(- , +, + ) )上绝对可积上绝对可积, ,即即.|)(|收收敛敛 dttf则（则（5 5）在）在 f(t) 的的连续点连续点成立成立. .2)0()0(,)(000来来代代替替应应以以处处的的间间断断点点而而在在 tftfttf上述定理称为上述定理称为傅氏积分定理傅氏积分定理. .14可可以以写写为为

9、三三角角形形式式，即即公公式式时时，满满足足傅傅氏氏积积分分定定理理条条件件可可以以证证明明，当当)5()(tf)6(.2)0()0()(),()(cos)(10 其其它它，连连续续点点处处，在在tftftftfddtf事实上事实上, ,根据欧拉公式根据欧拉公式, ,有有12172()( )( )( ) cos()( )( ) sin().itftfeddftdiftdd 15.)(sin)()(cos)(的的偶偶函函数数和和奇奇函函数数分分别别是是和和因因为为 dtfdtf所以由所以由(7),(7),得到得到 0.)(cos)(1)(ddtftf于是于是(6)成立成立.162 2 傅立叶积分

10、变换傅立叶积分变换1、傅立叶变换的概念傅立叶变换的概念 上一节介绍了：当上一节介绍了：当 f(t) 满足一定条件时，在满足一定条件时，在 f(t) 的连续点处有：的连续点处有：.)(21)( dedeftftii)2(.)(21)()1(,)()( deFtfdtetfFtiti则则从从上上式式出出发发，设设17的的傅傅立立叶叶变变换换为为式式，即即称称)()()()1(tfdtetfFti 简称简称傅氏变换傅氏变换, ,记为记为F F )(F);(tf为为傅傅立立叶叶逆逆变变换换式式，即即称称 deFtfti)(21)()2(简称简称傅氏逆变换傅氏逆变换, ,记为记为F F )(tf).(1

11、 F ).()()2()1(tfF和和式式，定定义义了了一一个个变变换换对对式式和和.)()()()(的的原原像像函函数数为为的的像像函函数数；为为也也称称FtftfF还可以将还可以将 f (t) 和和 F( )用箭头连接用箭头连接: : f (t) F( ) .18.0,0,0,0)(1 其其中中其其积积分分表表达达式式的的傅傅氏氏变变换换及及求求函函数数例例tettfttf (t)o这个函数称为指数衰减函数这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到在工程中常遇到.19解解: :根据定义根据定义, , 有有 0)()(tdeetdetfFtitti这就是指数衰减函数的这就是指数衰减函数的傅氏变

12、换傅氏变换. 0)(tdeti.122 ii20 deideFtftiti2221)(21)(根据积分表达式的定义根据积分表达式的定义,有有注意到注意到.sincostiteti 2212( )(cossin)if ttit d 化简化简整理整理2201cossin.ttd 为所求积分表达式为所求积分表达式21 .0,0,2,0,0sincos022tettdttt 因因此此.0,e)(22 AAtft其其中中的的傅傅氏氏变变换换求求例例-钟形脉冲函数钟形脉冲函数. tdeAetdetfFtitti2)()(解解: :根据定义根据定义, , 有有22.)(4242222 AetdeAetdeA

13、eFittit化简化简整理整理如何如何计算？计算？这里利用了以下这里利用了以下 结果：结果：).0(2 dxex232 2、傅立叶变换的物理意义、傅立叶变换的物理意义 如果仔细分析如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式表达式,)( ntinnTectf,)(21)( deFtfti的的表表达达式式和和以以及及)(Fcn,)(122 TTtdetfTctinTn.)()( tdetfFti24由此引出以下术语：由此引出以下术语： 在频谱分析中在频谱分析中, , 傅氏变换傅氏变换F( )又称为又称为 f (t) 的的频谱频谱函函数数, , 而它的模而它的模|

14、F( )|称为称为f (t)的的振幅频谱振幅频谱( (亦简称为谱亦简称为谱).). 由于由于 是连续变化的是连续变化的, , 我们称之为连续频谱我们称之为连续频谱, , 对一个对一个时间函数作傅氏变换时间函数作傅氏变换, , 就是求这个时间函数的频谱就是求这个时间函数的频谱. .可证，振幅函数可证，振幅函数|F(w)|是角频率是角频率w的的偶函数偶函数, 即即. | )(| )(| FF,sin)(cos)(e)()( ttdtfittdtftdtfFti这这是是因因为为25. | )(| )(|,sin)(cos)(| )(|22 FFtdttftdttfF显显然然有有所所以以.)()(arg)(相相角角频频谱谱称称为为的的辐辐角角tfFF显然显然,dcos)(dsin)(arct)(arg tttftttfanF 相角频谱相角频谱argF( )是是 的的奇函数奇函数.26 ,2| , 0,2| ,)(atatEtf例例3 3 求单个矩形脉冲函数求单个矩形脉冲函数的频谱图的频谱图. .2sin2)()(2222aEeiEdtEedtetfFaatititiaa 解：解：27请画出其