《函数的基本性质》培优训练题(教师版)

1、.函数的基本性质培优训练题1（ 2016?义乌市模拟）已知a 为实数，函数 f （x） =x2 |x2 ax2|在区间（ ， 1）和（ 2， +）上单调递增，则 a 的取值范围为（）A 1， 8B 3， 8 C 1， 3D 1， 8【解答】 解：令函数22g（ x） =x ax 2，由于 g（ x）的判别式 =a +8 0，故函数 g（ x）一定有两个零点，设为 x1 和 x2，且 x1 x2函数 f （ x） =x2 |x2 ax 2|=，故当 x（ ，x1）、（ x2， +）时，函数 f（ x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，2 ax 2 下凹的一部分，且各段连在一起当 x（ x1，

2、x2）时，函数 f（ x）的图象是抛物线y=2x由于 f（ x）在区间（ ， 1）和（ 2，+）上单调递增， a 0 且函数 g（ x）较小的零点 x1= 1，即 a+2222，平方得 a+4a+4 a +8 ，得 a1，同时由 y=2x ax 2 的对称轴为 x= ，若且 1 2，可得 4a8综上可得， 1a8，故实 a 的取值范围为1， 8 ，故选： A2（ 2016?江西校级模拟）已知定义域为R 的函数 f（ x）在（ 2， +）上单调递减，且y=f （ x+2）为偶函数，则关于 x 的不等式f（ 2x 1） f（ x+1） 0 的解集为（）A（ ，）（ 2， +） B（， 2） C（

3、，）（ 2， +） D （， 2）【解答】 解：定义域为R 的函数 f（ x）在（ 2， +）上单调递减，且y=f（ x+2）为偶函数， y=f（ x+2）关于 x=0 对称，即函数f （ x+2）在（ 0， +）上为减函数，由f（ 2x 1） f（ x+1） 0 得 f（ 2x 1） f（ x+1），即 f（ 2x 3+2） f（ x 1+2），即 |2x 3| |x 1|，平方整理得3x2 10x+8 0，即 x 2，即不等式的解集为（，2），故选： D3（ 2016?四川模拟）设f（ x）满足： 任意 xR，有 f（ x） +f（ 2x） =0 ； 当 x1 时， f（ x）=|x a|

4、 1，（ a 0），若 xR，恒有 f（ x） f（ x m），则 m 的取值范围是（）A（ 0， +） B（ 4， +） C（ 3， +） D（ 5， +）【解答】 解：任意xR，有 f（ x） +f（ 2 x） =0， f （ 2 x） = f（ x），则函数关于（1， 0）点对称，当 x=1 时， f（ 1） +f（ 2 1）=0，即 2f（ 1） =0，则 f（ 1）=0 ，当 x1 时， f（ x） =|x a| 1， f（ 1）=|1 a|1=0，则 |a 1|=1，则 a 1=1 或 a 1= 1，则 a=2 或 a=0， a 0， a=2，即当 x1 时， f（ x） =|x

5、2| 1当 x1 时， x1， 2 x1，即 f（ x） = f（ 2 x） =（ |2 x 2| 1）=1 |x|， x1，作出函数 f （x）的图象如图：若f（ x） f（ x m），则由图象知，将函数f（ x）向右平移m 个单位即可，;.由图象知， m 4，故选： B4（ 2016?广安模拟）已知 f（ x）=32x（ k+1） 3x+2，当 xR 时， f（ x）恒为正值，则k 的取值范围是（）A（ ， 1） B（ ， 2 1）C （ 1， 2 1） D（ 21，2 1）x2（ k+1） t+2 ，若 xR 时， f（ x）恒为正值，【解答】 解：令 3 =t （ t 0），则 g（

6、t） =t则 g（ t） =t2（ k+1） t+2 0 对 t0 恒成立 或解 得： 1 k 1+；解 得： k 1综上，实数 k 的取值范围是（ ， 2 1）故选： B5（ 2016?通州区一模）若定义域均为D 的三个函数 f（ x）， g（ x）， h（ x）满足条件： ? xD，点（ x， g（ x） 与点（ x， h（ x）都关于点（ x，f（ x）对称，则称h（ x）是 g（ x）关于 f（ x）的 “对称函数 ”已知 g（ x）=，f（ x） =3x+b ， h（ x）是 g（ x）关于 f（ x）的 “对称函数 ”，且 h（ x）g（ x）恒成立，则实数 b 的取值范围是（）A

7、（ ，B，C3，D， +）【解答】 解：作出 g（ x）和 f（ x）的图象，若 h（ x） g（ x）恒成立，则h（ x）在直线 f（ x）的上方，即 g（ x）在直线 f（ x）的下方，则直线f（ x）的截距 b 0，且原点到直线y=3x+b 的距离 d1，即 d=1，即 |b|，则 b或 b（舍），即实数 b 的取值范围是 ， +），故选： D6（ 2016 春 ?普宁市校级月考）定义在R 上的函数f（ x）满足 f（ x）=f（ x 2），当 x（ 1，3）时， f（ x） =1+（ x 2）2，则（） A f（ sin） f（ sin）B f（ sin） f（ cos）;.C f（

8、cos） f（ cos） D f（ tan） f（ tan）【解答】 解：由 f（ x）=f （ x 2）得函数的周期是2， x（ 1， 3）时， f （x） =1+ （ x 2） 2，则函数关于 x=2 对称，当 x（ 1， 2）时，函数单调递减，则x（ 2， 3）时，函数单调递增，即当 x（ 0， 1）时，函数单调递增，由f（ x） =f（ x+2） =f（ 2 x） =f（ x），即函数 f（ x）同时也是偶函数，A f（ sin） f（ sin）等价为f（） f（），当 x（ 0， 1）时，函数单调递增，不等式f（） f（ ），成立，故A 正确， Bf（ sin） f（ cos）等价为

9、 f（） f（ ） =f（ ），当 x（ 0， 1）时，函数单调递增，不等式f（） f（），不成立，故B 错误，Cf（ cos） f（ cos）等价为 f（） f（），当 x（ 0，1）时，函数单调递增， 不等式 f（） f（），不成立，故 C 错误， D f（ tan） f（ tan）等价为 f（） f（）=f（），则不等式不成立，故D错误，故选： Ax7（ 2015?南昌校级二模）设 xR，若函数f（ x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有 ff （ x） e =e+1（ e 是自然对数的底数） ，则 f（ ln2）的值等于（） A 1B e+lC 3D e+3【解答】 解：设 t=f（

10、 x） ex，xt，则 f（ x） =e +t，则条件等价为 f（ t） =e+1，令 x=t ，则 f（ t） =e +t=e+1函数 f （ x）为单调递增函数，函数为一对一函数，解得x+1，即 f（ ln2） =eln2t=1， f（ x） =e+1=2+1=3 ，故选： C8（ 2016 春 ?温州期中）已知函数f（ x）在 R 上满足 f（ x） +f（ x）=0 ，且 x0 时， f（ x）=（ |x+sin|+|x+2sin|）+ sin（ ）对任意的 xR ，都有 f（ x 3） f（ x）恒成立，则实数 的取值范围为（）A 0， B ，C，D，【解答】 解：设 t=sin，则

11、 t 1， 1；当 x 0时， f（ x） =（ |x+t|+|x+2t| ） + t，若 t0，则当 x 0 时， f （x） =x+3t ，当 x 0 时， f（ x） = f（ x） =（ x+3t） =x 3t，由 f（ x 3） f（ x）恒成立，可得y=f（ x）的图象恒在y=f （ x 3）的图象上方，则 sin0；当 t 0 时，当 x0 时， f（ x） =，由 f（ x） =x+3t ，x 2t，得 f（ x）t；当 t x 2t 时， f（ x） =t；由 f（ x） = x， 0x t，得 f（ x） t当 x 0 时， f（ x） minx 0 时， f （ x）ma

12、x） f=t 函数 f（ x）为奇函数，当= t对 xR，都有 f（ x 3（ x）， 3t 3t3，解得 t，综上可得 sin，解得+2k2k+， kZ 又 ， ， ，故选： D ;.9（ 2015?衡水校级模拟）已知函数f（ x）和 g（ x）是两个定义在区间 M 上的函数，若对任意的xM ，存在常数 ，使得f（ ）（），g（ x） g（ x ），且 f（x） =g（ x ，则称 f（ x）与 g（ x）在区间 M 上是 “相似函数 ”，若 f0 Mx fx000x（ x） =2x2+ax+b 与 g（ x） =x+ 在 1， 上是 “相似函数 ”，则函数 f（ x）在区间 1， 上的最大

13、值为（）A 4B C 6D【解答】 解：利用导数可知 g（x） =x+在 1， 上的最小值为 4，最大值为 5，对任意的 xM ，存在常数 x0M ，使得 g（ x） g（ x0），则 g（ x0） =g（ x） min=4，此时 x0 =2根据题意知 f（ x） min=f（ 2） =4，二次函数2f（ x） =2x +ax+b 的顶点坐标为（ 2， 4）， a= 8， b=122 上的最大值为 f（x） max=f（ 1） =6 故选 C f（ x） =2（ x 2） +4， f（ x）在 1，10（ 2015?莆田校级模拟）设函数 f（ x）的定义域为 A ，若存在非零实数（ x+l）

14、f（ x），则称 f（x）为 I 上的 l 高调函数，如果定义域为 R 的函数 a2，且函数f（ x）为 R 上的 1 高调函数，那么实数a 的取值范围为（l 使得对于任意xI（ I ? A），有 x+l A，且 f2f（ x）是奇函数，当x0 时， f（x） =|x a |）A 0 a 1Ba C 1a1D 2a2【解答】 解：定义域为R 的函数 f（ x）是奇函数，当 x0 时， f（ x）22图象如图，=|x a | a = f（ x）为 R 上的 1 高调函数，当x 0 时，函数的最大值为a2，要满足 f（ x+l） f（ x），1 大于等于区间长度3a2（ a2）， 13a2（ a2

15、）， a 故选 B11（ 2014?湖北）已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f （x） =x2 3x，则函数 g（ x） =f（ x） x+3 的零点的集合为（）A 1， 3B 3， 1， 1， 3C 2， 1，3D2，1，3【解答】 解： f（ x）是定义在R 上的奇函数，当x0 时， f（ x） =x2 3x，;.22 3x，令 x 0，则 x 0， f（ x）=x +3x= f（ x） f （ x） = x g（ x） =f（ x） x+3 g（ x） =令 g（ x） =0 ，当 x0 时， x2 4x+3=0，解得 x=1，或 x=3，当 x 0 时， x2

16、4x+3=0 ，解得 x= 2，函数 g（ x） =f（ x） x+3 的零点的集合为 2， 1， 3故选： D12（ 2014?安徽模拟） 已知 f（ x）是偶函数， 且 f（ x）在 0，+）上是增函数， 如果 f（ ax+1）f（ x2）在上恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A2，1 B 5，0C5，1D 2，0【解答】 解：由题意可得 |ax+1|x 2|对恒成立，得 x 2ax+12 x 对恒成立，从而且对恒成立， a 2 且 a0，即 a 2， 0，故选 D13（ 2014?濮阳二模）已知函数 f（ x+1）是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、 x2，不等式（

17、 x1 x2） f（ x1） f （x2） 0 恒成立，则不等式 f（ 1x） 0 的解集为（）A（ 1， +） B（ 0， +） C（ ， 0） D（ ， 1）【解答】 解：由不等式（ x1 x2） f（ x1） f（ x2） 0恒成立得，函数f（ x）是定义在 R 上的减函数 又因为函数 f（ x+1）是定义在 R 上的奇函数，所以有函数f（ x+1）过点（ 0， 0）；故函数 f（x）过点（ 1，0） 相结合得： x 1 时， f（ x） 0故不等式 f（ 1 x） 0 转化为1 x 1? x 0故选 C14（ 2014?渭南二模）已知函数 g（ x）是 R 上的奇函数， 且当 x 0

18、时 g（ x）= ln（ 1 x），函数若 f（ 2 x2） f（ x），则实数 x 的取值范围是（） A（ 2， 1）BC（ 1， 2） D 【解答】 解：奇函数g（ x）满足当 x 0 时， g（ x） = ln（ 1 x），当 x 0 时， g（ x） = ln（ 1+x） = g（ x），得当 x 0 时， g（ x） = g（ x） =ln（ 1+x） f（ x）的表达式为， y=x3 是（ ， 0）上的增函数， y=ln （ 1+x）是（ 0， +）上的增函数， f（ x）在其定义域上是增函数，由此可得：f（ 2 x2） f（ x）等价于2 x2 x，解之得2 x 1 故选 A15

19、（ 2014?张掖模拟）已知函数 y=f（ x）的周期为2，当 x0， 2 时， f（x）=（ x 1）2，如果 g（ x）=f（ x） log5|x 1|，则函数 y=g（ x）的所有零点的个数是（）A2B 4C6D8;.【解答】 解：由题意可得g（ x） =f（ x） log5|x 1|，根据周期性画出函数f（ x）=（ x 1）2 的图象以及 y=log5|x 1|的图象，根据 y=log5|x 1|在（ 1， +）上单调递增函数，当x=6 时， log5|x 1|=1，当 x 6 时， y=log5|x 1|1，此时与函数y=f （ x）无交点再根据 y=log5|x 1|的图象和 f

20、（ x）的图象都关于直线x=1 对称，结合图象可知有8个交点，则函数g（ x） =f（ x） log5|x 1|的零点个数为 8，故选 D16（ 2014?山东模拟）已知函数f（ x）是定义在R 上的奇函数，且满足f（ x+2） = f（ x），当 0x1 时，则使的 x 的值是（） A 2n（ nZ） B 2n 1（ nZ ）C 4n+1（ nZ ） D 4n 1（ nZ ）【解答】 解： f（ x）是奇函数且f（ x+2） = f（ x）， f（ x+4） = f（ x+2） =f （ x）函数f（ x）的周期T=4 当 0x1 时， f（ x） =x，又 f （ x）是奇函数，当 1x0

21、 时， f （x） =x，令x= 解得： x= 1 而函数 f（ x）是以 4 为周期的周期函数，方程 f （ x） =的 x 的值是： x=4k 1， kZ 故选 D17（ 2013?屯溪区校级模拟）已知函数f（ x） =lg（ ax bx） +x 中，常数a、 b 满足 a 1 b 0，且 a=b+1 ，那么 f（ x） 1 的解集为（） A（ 0， 1） B（ 1， +） C（ 1， 10） D（ 10， +）【解答】 解：由 ax bx 0 即 1 解得 x 0，所以函数f（ x）的定义域为（0， +），因为 a 1 b 0，所以 ax 递增， bx 递增，所以t=ax bx 递增，又

22、y=lgt 递增，所以f（ x） =lg（ ax bx） +x 为增函数，而 f（ 1） =lg（ a b） +1=lg1+1=1 ，所以 x 1 时 f（ x） 1，故 f（ x） 1 的解集为（ 1， +）故选 B18（ 2013?北京校级一模）定义在R 上的函数f（ x）满足 f（ x） =f（ x+2），当 x1， 3 时， f（ x） =2 |x 2|，则（）AB f（ sin1） f（ cos1） C f （ tan3） f（ tan6）D f（ sin2） f（ cos2）【解答】 解：设 x 1， 1，则 x+21， 3 f（x） =f（ x+2） =2 |x+2 2|=2 |

23、x|即 f（ x） =f（） f（） =2 2+=0，排除 A 1 sin1 cos1 0，f（ x）在 0，1上单调减 f（ sin1） f（ cos1），排除 B 1 tan6 tan3 0，f（ x）在 1， 0上单调增 f（ tan3） f （ tan6），排除 C 故选 D19（ 2013?泰安一模） 设奇函数 f（ x）在 1，1 上是增函数， f（ 1）= 1若函数 f（ x）t2 2at+1 对所有的 x1， 1 都成立，则当a1， 1时， t 的取值范围是（） A 2t2BC t 2 或 t=0 或 t2D ;.【解答】 解：奇函数f（ x）在 1， 1 上是增函数， f（

24、1） = 1 x=1 时，函数有最大值f（ 1）=1若函数 f （ x） t2 2at+1 对所有的 x 1， 1 都成立， 1t2 2at+1 2at t20，设 g（ a） =2at t2（ 1a1），欲使 2at t20 恒成立，则 t 2 或 t=0 或 t2故选 C222x， y 恒成立，则实数a 的最小值为（20（ 2013?梅州一模）若不等式 x +2xya（ x +y ）对于一切正数A 2BC D 22222 2× +a0，【解答】 解： x0， y 0， x+2xya（ x +y ） ? 2xy（ a 1） x+ay ? （ a 1）.）令 t=（ t 0）， f（

25、 t） =（ a 1） t2 2t+a，依题意，即，解得 a实数a的最小值为故选 D21（ 2012?南溪县校级一模）已知函数是（ ，+）上的增函数，那么实数a 的取值范围是（） A 1a2B a1 或 a2C 1 a 2D a 1 或 a 2【解答】 解：根据题意，当 x0 时， f（ x） =x2，易得 f（ x）为增函数，当 x 0 时， f（ x） =x3+a2 3a+2，也为增函数，若 f（ x）在（ ， +）上的增函数，必有23220 0 +a 3a+2，即 0a 3a+2，解可得 1a2，故选 A22（ 2012?沙坪坝区校级模拟）已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x）+f（ 2 x）=2f（ 1），当 x1 时，且 x 2， 2时， nf（ x） m 恒成立，则m n 的最小值是（） A B C 1D2【解答】 解：当 x1 时， f（ 1） =1+4=5 ， f（ x） +f（ 2 x） =2f（ 1） =1