《三角函数的诱导公式》教学设计

1、精品文档1.3 三角函数的诱导公式（名师：杨峻峰）一、教学目标（一）核心素养从对称性出发，获得一些三角函数的性质. 会选择合适的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.（二）学习目标1. 牢固掌握五组诱导公式 .2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明 .3. 通过诱导公式的推导，培养学生的观察能力、分析归纳能力.4. 渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想 .（三）学习重点熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明.（四）学习难点相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识，诱导公式的推导、记忆及符号判断 .二、教学设计（一）课

2、前设计1. 阅读教材第 23 页至第 27 页，填空：（ 1）如图，的终边与角的终边关于 原点 对称；（ 2）如图，的终边与角的终边关于 x 轴 对称；（ ）如图，的终边与角的终边关于y 轴 对称；3（ 4）如图，的终边与角的终边关于 直线 yx对称；2。1 欢迎下载精品文档（ 5）诱导公式：公式二： sinsin， coscos， tantan；公式三： sinsin， coscos， tantan；公式四： sinsin， coscos， tantan；公式五： sincos， cossin；22公式六： sincos， cossin222预习自测1. 下列选项错误的是（）A. 利用诱导公

3、式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数.B. 利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.C.sincos.2D. 若为第四象限角，则sincos.2答案： C.（二）课堂设计1知识回顾。2 欢迎下载精品文档（ 1）任意角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？在角的终边上任取一点 P x, y ，则 sinx2y， cosx， tany .y2x2y2x当P为角的终边和单位圆的交点时，有=y，cos=x， tany.sin x（ 2）诱导公式一：sink2sin ;cosk 2cos ;tank2tan , kZ（ 3）终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一 . 利用公式一

4、可以把绝对值较大的角的三角函数转化为 0°到 360°(0 到 2 ) 内的角的三角函数值 .对于任何一个 0,2 内的角 ，以下四种情况有且只有一种成立：，当0,2，当,2（其中 为锐角）, 3，当22，当3,22所以，我们研究， 2与的同名三角函数即可 .2问题探究探究一角与角之间的关系活动结合图象，探究角与角终边之间的关系结合图象思考：锐角的终边与角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？。3 欢迎下载精品文档任意角与呢？引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论：无论为锐角还是任意角，的终边都是的终边的反向延长线；角的终边与单位圆的交点关于原点对称.活动

5、结合定义，辨析角与角三角函数之间的关系设任意角的终边与单位圆的交点坐标为P1 x, y ，由对称可知， 角的终边与单位圆的交点坐标为P2x,y . 由三角函数的定义得：siny ，cosx ，tany ；xsiny ，cosx ，tany .x从而，我们得到诱导公式二：sinsin，coscos，tantan.探究二角、与角之间的关系活动结合图象，探究角、与角终边之间的关系结合图象思考：任意角、的终边与角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论：任意角的终边与任意角的终边关于 x 轴对称，与单位圆的交点也关于x 轴对称；任意角角的终边与角的

6、终边关于 y 轴对称，与单位圆的交点也关于y 轴对。4 欢迎下载精品文档称 .活动类比探究一，辨析角、与角三角函数之间的关系引导学生类比探究一的方法，得到：公式三：sinsin，coscos，tantan.公式四：sinsin ，coscos，tantan.探究三理解公式的内涵及结构特征活动互动交流、初步实践引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途： 可将求角的三角函数值转化为求角的三角函数值 .让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆. 我们可以用下面一段话来概括公式一 四：k 2k Z ，、的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号 .进一步简

7、记为： “函数名不变，符号看象限 ”.点拨、引导学生注意公式中的是任意角 .活动 巩固基础，理解升华例 1 利用公式求下列三角函数值 .（ 1） cos225；（2） sin11；316；（4） cos2040.（ 3） sin3【知识点】公式一 四【数学思想】化归思想。5 欢迎下载精品文档【解题过程】解：（ 1） cos225cos 180 +45cos452 ；2（ 2） sin11sin 4sin3 3332（ 3） sin16sin 16sin 53sin3 ；3332（ 4） cos2040cos2040cos120cos 18060cos601 2【思路点拨】利用公式一四把任意角的

8、三角函数转化为锐角三角函数【答案】（1）2；（）3；（3）3 ；（4）122222通过例 1 运用讲解，引导学生归纳，任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤：变式训练化简：1+2sin 290 cos430sin 250cos790【知识点】公式一 四【数学思想】【解题过程】解： 1+2sin 290cos430sin 250cos7901+2sin36070cos 36070sin 18070cos 720701 2sin 70cos70sin 70cos70cos70sin 70cos70sin 701 。6 欢迎下载精品文档【思路点拨】利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角三角函

9、数【答案】1探究四角与角之间的关系2活动探究角与角之间的关系2设任意角的终边与单位圆的交点坐标为P1 x, y 由于角的终边与角的终边2关于直线 yx 对称，角的终边与单位圆的交点P与点P关于直线yx对称，221因此点 P2y, x ，从而有：cosx ，siny ；cosy ，sinx 22所以得到公式五：sincos 2cossin 2，活动 探究角与角之间的关系2我们可以类比探究2与角 三角函数之间的关系，进行角与角之间2关系的探究另一方面，由于，是否可以结合公式四及公式五推22导出角与角三角函数之间关系呢？请学生进行推导2可以得到公式六：sincos，2。7 欢迎下载精品文档cossi

10、n2我们可以用下面一段话来概括公式五、六：正弦( 余弦 ) 函数值，分别等于的余弦 ( 正弦 ) 函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限活动 探究角 3与角之间的关系2例 2 证明：（1） sin3cos；2（ 2） cos3sin2【知识点】诱导公式四、五【数学思想】【解题过程】证明：（1） sin3sinsincos；222（2） cos3cos2cossin22【思路点拨】将 3变形为2利用公式四、五进行转化2【答案】（1） cos；(2)sin学了六组诱导公式及上例的结果后, 能否进一步归纳概括诱导公式诱导公式一 四，函数名称不改变，这些

11、公式左边的角分别是2kk Z ，（可看作 0）其中 2k，0 是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角，函数名称不改变而公式五、六及上面的例2，这些公式左边的角分别是， 3，其中， 3 是纵坐标轴上的角，因此这些公式可归2222结为纵坐标上的角，函数名称要改变两类诱导公式的符号的考查是一致的，故而所有的诱导公式可用十个字来概括：纵变横不变，符号看象限活动灵活应用，融会贯通例3 化简。8 欢迎下载精品文档sin 2cosa coscos 11229cosa sin 3sinsin2【知识点】诱导公式一六【数学思想】【解题过程】sin2cosacos11cos解：229cosa si

12、n3sinsin2sincossincos 52cossinsinsin422sincoscos2cossinsinsin2sintancos【思路点拨】合理利用诱导公式，抓住“负化正，大化小，化到锐角终了”的原则【答案】tan变式训练已知 cosm m1 ，求 sin2的值63【知识点】诱导公式六【数学思想】【解题过程】解： 262， 226332= sin=cosm sin6632【思路点拨】当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公2式联系起来【答案】 m。9 欢迎下载精品文档3. 课堂总结有关角的终边对称性1) 的终边与角 的终边关于原点对称；2) 的终边与角 的终边关

13、于 y 轴对称；3) 的终边与角 的终边关于 x 轴对称；4)的终边与角的终边关于直线yx 对称2利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数其化简方向仍为： “负化正，大化小，化到锐角终了”纵变横不变，符号看象限（三）课后作业基础型自主突破1 sin 210 （）A 3B 1C31222D2【知识点】诱导公式【数学思想】化归思想【解题过程】 sin 210 sin(180 30 )sin 301 2【思路点拨】根据诱导公式求值【答案】 D2 cos( 240 ) （）A 3B 1C31222D2【知识点】诱导公式【数学思想】化归思想【解题过程】 cos(240 ) cos24

14、0cos(180 60 )cos601 2【思路点拨】根据诱导公式求值【答案】 D。10 欢迎下载精品文档7（）3 cos6A 3B 1C31222D2【知识点】诱导公式【数学思想】化归思想【解题过程】 cos 7cos()cos63 662【思路点拨】根据诱导公式求值【答案】 C4 tan( 11 ) （）4A 2B1C22D 12【知识点】诱导公式【数学思想】化归思想【解题过程】 tan(11tan(4115tan() tan1 )tan44444【思路点拨】根据诱导公式求值【答案】 B5若 sin()3 , 则 sin() _252【知识点】诱导公式【数学思想】化归思想【解题过程】因为

15、sin() cos3 所以 sin() cos3 2525【思路点拨】根据诱导公式求值【答案】 3 56已知角终边上的一点 P( 1,2) ，则 sin(450)_ 【知识点】任意角的三角函数定义、诱导公式【数学思想】化归思想。11 欢迎下载精品文档【解题过程】 sin(450) sin(90) cos15 55【思路点拨】根据诱导公式求值【答案】5 5能力型师生共研7已知 cos()5 ，则 sin()_ _ 213【知识点】同角三角函数关系、诱导公式【数学思想】化归思想【解题过程】方法一：由 cos()sin5 ，得 sin5，所以 sin()sin5 ；213135 ；13方法二： si

16、n()sin(22)cos()213【思路点拨】根据诱导公式求值【答案】5 132 ，则 sin(8已知 cos()_ 336【知识点】同角三角函数关系、诱导公式【数学思想】化归思想【解题过程】 sin(6)sin2()cos()2 ；333【思路点拨】观察与关系，根据诱导公式求值36【答案】 2 3探究型多维突破9现有下列三角函数： sin( n4 ) n N ； sin( 2n) n N ； sin (2n 1)n N ；336。12 欢迎下载精品文档nn N.其中函数值与sin的值相同的序号是 _sin (2 1)33【知识点】诱导公式【数学思想】化归思想【解题过程】43, n为偶数32

17、 sin( n； sin( 2n)sin)3；3， n为奇数3322 sin (2n1)sin 51 ； sin (2n 1)3sin23 66232【思路点拨】奇变偶不变，符号看象限【答案】10已知角 是第三象限角，且 f (a)sin() cos(2) tan() .tan() sin()(1) 化简 f ( ) ；(2)若 sin()1 ，求 f ()的值;175(3)若，求 f ()的值;6【知识点】同角三角函数关系、诱导公式【数学思想】化归思想【解题过程】（1） f ()sin costancos；tansin（2）因为 sin()sin1 ，所以 sin1 ，因为角是第三象限角，5

18、5所以 f ()cos1sin22 6；5（3） f ()coscos( 17) cos53662【思路点拨】先化简，再求值。13 欢迎下载精品文档【答案】（1） f ( )cosa ；（2） 26；（3） 352自助餐1 sin2 () cos(2) cos( ) 1 的值为（）A 1B 2 sin2C 0D 2【知识点】诱导公式、同角三角函数关系【数学思想】化归思想【解题过程】 sin 2 ()cos(2) cos( ) 1sin 2cos21 2 sin2【思路点拨】化简【答案】 B2已知 tan()2，则1（）cos21A 3B 1C 2D 526【知识点】诱导公式、同角三角函数关系【数学思想】化归思想【解题过程】因为 tan()tan2，所以 tan2 ，1sin 2 acos2tan 215cos2sin 2 a2 cos2tan 2261【思路点拨】 1 与 sin 2cos2转化【答案】 D3 s