《利用向量法求空间角》教案

1、精品文档§ 立体几何中的向量方法利用空间向量求空间角教学目标1. 使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学过程一、复习引入1用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（ 1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题 ）（ 2）通过向量运算， 研究点、直线、 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角

2、等问题；（进行向量运算）（ 3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）2向量的有关知识：（ 1）两向量数量积的定义：a b| a | b | cosa,b（ 2）两向量夹角公式：cosa,ba b| a | b |a（ 3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析O知识点 1：面直线所成的角 （范围：(0, ）b2（ 1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与 b 的平行线 a与 b，那么直线 a与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与 b 所成的角 .（ 2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线 a、 b 的方向向量分别为a 和 b ，问题 1： 当 a

3、与 b 的夹角不大于 90°时，异面直线a、b 所成aO的角 与 a 和 b的夹角的关系？a,bb问题 2 ： a 与 b 的夹角大于90°时，异面直线 a、 b 所成的角baO与 a 和 b 的夹角的关系？a,b。1欢迎下载精品文档结论：异面直线a、 b 所成的角的余弦值为cos| cosm,n | mn | m | n |思考： 在正方体 ABCDA1 B1C1 D1 中，若 E1 与 F1 分别为 A1 B1 、zF1D1C1C1 D1 的四等分点，求异面直线DF1 与 BE1 的夹角余弦值？A1E1B1（1）方法总结：几何法；向量法DyAC（2） cosDF ,BE

4、与 cos DF, E B相等吗？xB1111（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？例 1 如图，正三棱柱 ABC A BC 的底面边长为a , 侧棱长为2a，求AC1和CB1所成的角.11 1解法步骤：1. 写出异面直线的方向向量的坐标。C1A1B12.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。Z解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则CA(0,0,0), C1 (3a,12a), C (31Aya,a,a,0), B1 (0, a, 2a)2222xDB yAC1 (3a,1,2 )，CB1(31x2aaa,a, 2a)222AC1 CB13 a21即 cosAC1,CB122| AC1

5、 | CB1 |3a2AC1 和 CB1 所成的角为3练习 1：在 RtAOB中， AOB=90°，现将 AOB沿着平面 AOB的法向量方向平移到 A1O1B1 的位置，已知 OA=OB=OO1，取 A1B1 、A1O1 的中点 D1 、F1，求异面直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值。解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1,则 A(1,0,0)，B(0,1,0)111， F (,0,1) ，D(,1)11222AF11,0,1) , BD1 (11(,1)22211AF1BD10cos430AF1 , BD15310| AF1 | BD1 |42所以，异面直线B

6、D1与 AF1所成的角的余弦值为。2欢迎下载精品文档知识点 2、直线与平面所成的角（范围：0, ）2思考：设平面的法向量为 n ，则n, BA与的关系？AnAA（图 1）（图 2）BOBOBOnn, BAn, BA22据图分析可得：结论： sin | cos n, AB|例 2、如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为a , 侧棱长为2a ，求 AC1 和 面 AA1 B1B 所成角的正弦值 .分析： 直线与平面所成的角步骤：uuuur3 a,1 a, 2a)1.求出平面的法向量AC1 (2.求出直线的方向向量223. 求以上两个向量的夹角， ( 锐角 ) 其余角为所求角解：如图建立空

7、间直角坐标系Axyz，则 AA1(0,0, 2a), AB( 0, a,0),AC1(3 a, 1 a, 2a)22设平面 AA1B1 B 的法向量为 n( x, y, z)C1A1B1n AA102az 0y0Z由ay0z0n AB0C取 x1，n (1,0,0)AyxDB yAC1 n3 a 21xcosAC1 , n2| AC1|N|3a 22AC1和 面 AA1B1 B 所成角的正弦值 1 .2练习： 正方体 ABCDA1B1C1 D1 的棱长为1，点 E 、 F 分别为 CD 、 DD1的中点 . 求直线B1C1 与平面 AB1C 所成的角的正弦值 .。3欢迎下载zA1D1精品文档B

8、1C 1AyADBCBx知识点 3：二面角 （范围：0, ）方向向量法： 将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角l的大小为，其中 AB l , AB,CDl ,CD.B结论：cosAB CDcos AB, CD| AB |CD |Al CD例 3 、 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B处 . 从 A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和 BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c , AB 的长为 d . 求库底与水坝所成二面角的余弦值 .解：如图 ACa，BDb ，CDc，AB d.根据向量的加法法则,

9、ABACCD DB.d 2AB2( ACCDDB )22222( AC CDAC DBCD DB)ACCDBDa2c2b22 AC DBa2c2b22CA DB于是，得 2CA DBa2b2c2d 2设向量 CA 与 DB 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角 .因此2ab cosa2b2c2d 2 .所以cosa2b2c 2d 2.2ab库底与水坝所成二面角的余弦值是a 2b2c2d2 .2ab法向量法。4欢迎下载精品文档n1 ,n2n1 ,n2n1,n2,n2n1n1n 2n2n1ll结论：coscosn1 , n2或coscosn1 , n2归纳： 法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量

10、夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 .例 4、如图， ABCD 是一直角梯形，ABC 90，SA面 ABCD ，SAABBC 1，AD1，求面 SCD与面SBA所成二面角的余弦值 .z2解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则S1,0), S(0,0,1)BCA(0,0,0),C( 1,1,0), D(0,2(0, 1 ,0)易知面 SBA的法向量为 n1ADADy1 ,0), SD(0,1,2xCD(1,1)22设面SCD的法向量为(, ,) ，则有n2x y zxy021，取 z 1 ，得 x1, y2 ，n2 (1,1)y2z02n1n26cos n1, n23| n1 | n2

11、|又 n1 方向朝面内，n2 方向朝面外，属于“一进一出 ”的情况，二面角等于法向量夹角即所求二面角的余弦值为6.3练习： 正方体 ABCDA1B1C1 D1 的棱长为 1，点 E 、 F 分别为 CD 、 DD 1 的中点 . 求二面角 F AE D 的余弦值。解：由题意知， F (0,1, 1 ), E( 1,1,0) ，则 AF (0,1, 1 ) , AE(1 ,1,0)2222设平面 AEF 的法向量为n( x, y, z) ，则。5欢迎下载精品文档nAF0y1 z02，取 y1，得 xz2znAE01y0A1D1x2n(2,1, 2)B1C1F又平面 AED 的法向量为 AA1(0,0,1)AyBD