几种特殊类型的函数的积分PPT学习教案

1、会计学1几种特殊类型的函数的积分几种特殊类型的函数的积分积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分主要内容第1页/共21页1. 直接积分法直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .2. 换元积分法换元积分法xxfd)( 第一类换元法第一类换元法tttfd)()( 第二类换元法(注意常见的换元积分类型) (代换: )(tx第2页/共21页3. 分部积分法分部积分法vuxvud使用原则:

2、1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为.v计算格式: 列表计算xvud第3页/共21页例例1. 求.d4932xxxxx解解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32第4页/共21页dxxax 662计算计算32323)()(131dxax例例2解解:原式Caxaxa33333ln61xxxxdsin)sin(例例3 3 dxxxxsincos1计计算算Cxx|sin|ln解解:原式例例

3、4 4dxxxcos1sin1解解:原式dxxxdxxcos1sincos11xxddxxcos1)cos1 (2csc212Cxx|cos1 |ln2cot21第5页/共21页例例5. 求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (212221dxx325)1ln(2xxC23分析分析: 5)1ln(d2xx第6页/共21页例例6. 求.dcos1sinxxxx解解 :原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan例例7. 求.d23xexx原式)(2122xedx解解 :22222121

4、dxeexxxCeexxx2221212第7页/共21页例例8. 求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1 (222xxeearctanxCex)1 (ln221第8页/共21页.d122xxx例例9. 求解解: (一) 令 x=tant原式ttttdsecsectan22tttdsectan2tttdsec) 1(sec2ttttdsecdsec3Ctttt|tansec|ln21tansec211x12xtCxxx| 11|ln2112122第9页/共21页.d122xxx例例9. 求解解

5、: (二) xxxd12221dxxdxxxx2211而dxx21dxxx2211dxxxdxx222111即xxxd12221xxdxxxdxx222111所以xxxd12222111ln |1|22xxxxC第10页/共21页例例1010解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代换倒代换)第11页/共21页例例11. 设,dsecxxInn证证:证明递推公式:)2(12tansec1122nInnxxnInnnxInn2secxn

6、2secxxxnntansecsec)2(3xxdtanxxntansec2xxxnnd) 1(secsec)2(22xxntansec2nIn)2( 2)2(nInxxdsec2xtan)2(12tansec1122nInnxxnInnn第12页/共21页例例12. 求.d1xx解解:设1)(xxF1x,1x1x,1x则)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF连续 , , ) 1 ()1 ()1 (FFF得21211121CC221121CC记作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,) 1(221Cx,) 1(221Cx利用 第13页/共21页二

7、、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1. 一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换第14页/共21页2. 需要注意的问题需要注意的问题(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一定都能积出.例如例如 , ,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk第15页/共21页例例13. 求.1d632xxxeeex解解: 令,6xet 则,ln

8、6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3) 1ln() 1ln(323第16页/共21页例例14.求不定积分.dsin)cos2(1xxx解解: )cos(xu 令令原式 uuud) 1)(2(12) 1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx) 1ln(cos21xxxxdsin)cos2(sin2第17页/共21页例例1515解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx 第18页/共21页例例1616解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxx