第4章控制工程ppt根轨迹法-V11

1、 反馈控制系统的基本性能，主要由系统的极点反馈控制系统的基本性能，主要由系统的极点（即特征方程的根）的分布所决定，因此分析（即特征方程的根）的分布所决定，因此分析系统必须求解特征方程的根。但求解高阶系统系统必须求解特征方程的根。但求解高阶系统特征方程异常困难，这就限制了时域分析法在特征方程异常困难，这就限制了时域分析法在二阶以上系统中的应用。二阶以上系统中的应用。 19481948年，伊文思根据反馈系统开、闭环传递函年，伊文思根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数确定闭环特征根（即闭环极点）的新方法，数确定闭环特征根（即闭环

2、极点）的新方法，并且建立了一套法则，这就是在工程上获得广并且建立了一套法则，这就是在工程上获得广泛应用的根轨迹法。泛应用的根轨迹法。 第4章 根轨迹法根轨迹法一种由系统开环零极点确定闭环极点的图解方法4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 广义根轨迹广义根轨迹4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.1.1 根轨迹(Root Locus) 所谓根轨迹，是指当系统开环传递函数中的某个参数（如开环增益K）由零到无穷大变化时，闭环特征根在S S平面上移动的轨迹。 15.0 ssKsG

3、例例 222 ssKssK KKssKssKsXsXio211s 022 222 1,222闭环特征根为特征方程为闭环传递函数为S-2 0KKK=0.5分析系统：1、K由0变化至无穷，闭环特征根始终在S的左半平面移动，所以系统稳定；2、K=0.5时，系统处于临界阻尼状态；K0.5时，系统处于欠阻尼状态；根轨迹根轨迹快速入门快速入门 sHsGsGsXsXio 1 环传递函数为环传递函数为典型反馈控制系统的闭典型反馈控制系统的闭 1 01 sHsGsHsG或写作或写作其特征方程为其特征方程为4.1.2 根轨迹方程及幅角、幅值条件 满足上式的满足上式的s s值，都是特征方程的根，值，都是特征方程的根

4、，都必定是根轨迹上的点都必定是根轨迹上的点故称上式为根轨迹方程。故称上式为根轨迹方程。 1 : 2 , 1 , 0 12180 : 1 sHsGkksHsGsHsG幅值条件幅值条件幅角条件幅角条件因此得到：因此得到：幅角、幅值分别相等。幅角、幅值分别相等。两个向量相等的条件是两个向量相等的条件是是复数向量。是复数向量。由于由于 KKKmzzznppppspspszszszsKsHsGmnnm 21212121益益为系统的开环根轨迹增为系统的开环根轨迹增个开环零点个开环零点为系统的为系统的、个开环极点个开环极点为系统的为系统的、式中式中其中其中 nmpspspszszszsKsHsG 2121

5、njpspsAmizszsAeAeAeAeAKsHsGjpjjpjiiizipnjpnjpjzmjzpzmz, 2 , 1 , 2 , 1 z1111 其中其中其向量表达为其向量表达为 1 , 2, 1 , 0 12180 111z1 pjnjzimipjnjimiAAKkk幅值条件幅值条件因此有：幅角条件因此有：幅角条件 构成的轨迹即根轨迹。构成的轨迹即根轨迹。变化时，这些点所变化时，这些点所由由特征方程的根，当特征方程的根，当点都是点都是上所有满足幅角条件的上所有满足幅角条件的因此，复平面因此，复平面。由由有关，且有关，且而幅值条件与而幅值条件与无关无关可见，幅角条件与可见，幅角条件与 0

6、 0 ;KSKKK下面利用幅角、幅值条件画根轨迹 15.0 ssKsG例例S-2 0 02 ,011 ss12MN 121802 kss幅角条件：幅角条件： 02 ,18022 ss 1802 ,18033 ss 24142 , ss 222 ssKssK点点试试探探法法确确定定满满足足上上式式的的 s 上。上。的中垂线的中垂线，一定在一定在，幅角条件，即幅角条件，即足足位于根轨迹上，则必满位于根轨迹上，则必满若若MNss02180 4214 1s2s3s4s利用幅值条件可算出各根轨迹上的 值。K点点如如：js 1 22215.0 ssKssKssKsG例例 1222211 211 212 K

7、KjjjjssKssKS-2 0MNs1K 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则根轨迹的分支数；根轨迹的分支数；根轨迹的对称性；根轨迹的对称性；根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹根轨迹的渐进线根轨迹的渐进线根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角分离点的坐标分离点的坐标根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点实轴上的分离点的分离角恒为实轴上的分离点的分离角恒为90实轴上的会合点的会合角恒为实轴上的会合点的会合角恒为9034S-3 -2 -1 01p4p3p2p1z一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数根轨迹在根轨迹在SS平面上的分支数平面上的分支数= =

8、 闭环特征方程的阶数闭环特征方程的阶数n n 这是因为n阶特征方程对应n个特征根，当开环增益K由 变化时，这n个特征根随K变化必然会出现n条根轨迹。 0二、根轨迹的对称性二、根轨迹的对称性 因为开环极点、零点或闭环极点都因为开环极点、零点或闭环极点都是实数或共轭复数，它们在是实数或共轭复数，它们在SS平面上的平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。实轴。S三、根轨迹的起点与终点三、根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点零点 如果开环零点数如果开环零点数m m小于开环极点数小于开环极点数n ,n ,则有则

9、有( (n-mn-m) )条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。S处处条根轨迹终止于条根轨迹终止于有有 2 2 2 4 mnmn证明： nnppppspspsK,0 02121为：为：由此求得根轨迹的起点由此求得根轨迹的起点时，即有时，即有当当 Kpspspszszszsnm12121 mmzzzzszszsK,0 2121为：为：由此求得根轨迹的终点由此求得根轨迹的终点时，即有时，即有当当 ？条根轨迹趋向于何处呢条根轨迹趋向于何处呢零点，另外零点，另外条根轨迹趋向于开环条根轨迹趋向于开环时，只有时，只有但当但当 mnmmn 。条根轨迹趋于无穷远处条根轨迹趋于无穷远处时，有时，有当当

10、即即时，上式可写为：时，上式可写为：只有当只有当mnKsssssmnnm 01 0 01 ,2121 KpspspszszszsKmnnm且且四、实轴上的根轨迹四、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、极点数目之和应为奇数。极点数目之和应为奇数。 这个结论可由幅角条件证明。S , 2, 1 , 0 12180 1z1 kkpjnjimi 五、根轨迹的渐进线五、根轨迹的渐进线 进线决定。进线决定。处根轨迹的方位可由渐处根轨迹的方位可由渐条趋于条趋于处，这处，这趋于趋于条根轨迹条根轨迹时，要有时，要有，则当，则当若若 mnmnKnm mnkmnzpai

11、mijnja 12 11角为：角为：渐进线与实轴正向的夹渐进线与实轴正向的夹标为：标为：渐进线与实轴交点的坐渐进线与实轴交点的坐极点之和减去极点之和减去零点之和。零点之和。 个倾角为止。个倾角为止。到获得到获得一直一直，依次取依次取mnk 210例1、某单位反馈系统的开环传递函数为 21 sssKsGS-2 -1 0a开环无零点开环无零点开环有三个极点开环有三个极点2, 1, 0 321 ppp 180 ,60318012130210, 0, 3 kmnaa 角为角为渐进线与实轴正向的夹渐进线与实轴正向的夹标为标为渐进线与实轴交点的坐渐进线与实轴交点的坐处。处。故三条根轨迹趋向故三条根轨迹趋向

12、六、根轨迹的起始角与终止角六、根轨迹的起始角与终止角 起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线正方向的夹角。处的切线与水平线正方向的夹角。 终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角。处的切线与水平线正方向的夹角。S1z2z121p2p3p1z12S ，为为点，距复极点点，距复极点在根轨迹上选择在根轨迹上选择 113211 pspspspszsKsG S1p2p3p1z121s 即即起起始始角角（出出射射角角）时时，则则当当,0111 ps起始角：起始于开环起始角：起始于开环极点的根轨迹在

13、起点极点的根轨迹在起点处的切线与水平线正处的切线与水平线正方向的夹角。方向的夹角。 12180 12180 111111 kpszskjnjimipjnjzimi 根据幅角条件根据幅角条件 jnjimippzpk 1211112180 12180 1211111 kppzppsjnjimi jijanajjiamiappzpk 1112180 推广：推广： imbiijnjbjnajjimiakk 11111218012180入射角：入射角：出射角：出射角：所有零点到所有零点到 的向量夹角的向量夹角ap其它零点到其它零点到 的向量夹角的向量夹角bz所有极点到所有极点到 的向量夹角的向量夹角bz

14、起始于起始于 的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角ap终止于终止于 的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角bz其它极点到其它极点到 的向量夹角的向量夹角ap七、分离点的坐标七、分离点的坐标几条根轨迹在几条根轨迹在SS平面上相遇后又分开的点，称平面上相遇后又分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。为根轨迹的分离点（或会合点）。 dzdpdsdsdKdssHsGdimijnj解出解出令：由根轨迹方程分离点坐标的求法： 11 3 0 2 0)()( 1 11例1、某单位反馈系统的开环传递函数为S-2 -1 0a

15、21 sssKsG 舍去舍去不是根轨迹上的点不是根轨迹上的点分离点分离点是根轨迹上的点，故为是根轨迹上的点，故为解得：解得：, 567. 1 433. 002630122102121121212 sssssssssssssdsddsdKsssKsssK1s例2 画出系统闭环根轨迹画出系统闭环根轨迹已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数25. 331 2 sssKsHsG jpjpss 5 . 1 5 . 1 025. 33 1 212求开环极点求开环极点解：解：S-3 -2 -1 01p2 pz (2) 实轴上的根轨迹 舍去舍去会合点会合点是根轨迹的分离点是根轨迹的分离点解得：解得：有：有：

16、根轨迹方程根轨迹方程求分离点：求分离点： 12. 0 12. 2025. 020125. 33132 125. 33 1 25. 331: 32122222 sssssssssdsdKsssKsssKS-3 -2 -1 01p2 pz 57.206 57.206 9057.116180 180 422111 由于对称性由于对称性出射角：出射角：ppzp57.116 57.20612. 2会合点八、实轴上的分离点的分离角恒为八、实轴上的分离点的分离角恒为90 实轴上的会合点的会合角恒为实轴上的会合点的会合角恒为90S-3 -2 -1 01p2 pz 会合时，根轨迹会合时，根轨迹切线的倾角切线的倾

17、角 九、根轨迹与虚轴的交点九、根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一部分极点位于虚轴上，即闭环特征方程有一部分极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根有纯虚根 ，系统处于临界稳定状态，因，系统处于临界稳定状态，因此，将此，将 代入特征方程中得代入特征方程中得jjs 01 jHjG 来。来。及及益益值及对应的临界开环增值及对应的临界开环增可解出可解出令令或或KKjHjGjHjGjHjGjjHjG 01Im01Re 01Im1Re例3、某单位反馈系统的开环传递函数为 画根轨迹画根轨迹 21 sssKsGS-2 -1 0 实实轴轴上上根根轨轨迹迹1

18、433. 0 433. 0 0 21 121 2 sdsdKsssKsssK得：得：令：令：分离点坐标分离点坐标 180 ,60318012 130210 , 0, 3 3 kmnaa 处。处。故三条根轨迹趋向故三条根轨迹趋向渐进线渐进线S-2 -1 0433. 0a 023021 423 KsssKssssD即：即：根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点322312.3 32030 200 01.414 6 sjjjjKKKK令：解得：S-2 -1 0433. 0a414. 126K414. 136K02323 Ksss KsKsKssKssssD 36 3 2 1 023 012323或或用

19、用劳劳斯斯判判据据6 60 KK临界稳定：临界稳定：稳定范围：稳定范围：414. 1 03 2jsKs 解得：解得：辅助方程：辅助方程： 画根轨迹单位反馈系统例 2s2s3ss2sKsG 2 2z 1 , 3 , 0 114 . 321 jppp零、极点零、极点化成标准传递函数，求化成标准传递函数，求解：解：S-3 -2 -1 01p4p3p2p1z 180,60 132113 3 3 aajjmn 渐进线条数渐进线条数S-3 -2 -1 01p4p3p2p1z 实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹2 点点会会合合实实轴轴上上无无分分离离4 6 .26 6 .26 906 .2613545180 18

20、0 180 5432114323131333 ppppppzpp 的出射角的出射角求求34S-3 -2 -1 01p4p3p2p1z 065028 02685 02685 02223 63242342342 KKKjKjjsKsKssssKssss虚部方程：虚部方程：实部方程：实部方程：，代入特征方程，代入特征方程令令求根轨迹与虚轴交点求根轨迹与虚轴交点7 7061. 161. 1 0 KKK；，得：，得：解方程并舍去无意义解解方程并舍去无意义解 761. 1； K 761. 1 K 34S-3 -2 -1 01p4p3p2p1z 2232 2 sssssKsG ，系统不稳定；，系统不稳定；，

21、系统临界稳定；，系统临界稳定；，系统稳定；，系统稳定；性能分析：性能分析：7 7 70. 1KKK 761. 1； K 761. 1 K 34S-3 -2 -1 01p4p3p2p1z ssaavssvvssppeKKeKKeKI 01 0 . 2 型型作业 4-2、4-44.3 广义根轨迹广义根轨迹 上述根轨迹的绘制都是开环增益变化时系统的闭环根轨迹，上述根轨迹的绘制都是开环增益变化时系统的闭环根轨迹，称为常规根轨迹。在负反馈控制系统中，有时需要研究闭称为常规根轨迹。在负反馈控制系统中，有时需要研究闭环极点跟随某个其它参数变化的轨迹，而不是绘制根轨迹环极点跟随某个其它参数变化的轨迹，而不是绘

22、制根轨迹增益由零变化到无穷的根轨迹，例如某个积分时间常数、增益由零变化到无穷的根轨迹，例如某个积分时间常数、反馈系数或校正环节参数的变化对系统闭环极点的影响。反馈系数或校正环节参数的变化对系统闭环极点的影响。这里引入这里引入等效传递函数等效传递函数的概念，利用常规根轨迹绘制法则的概念，利用常规根轨迹绘制法则来绘制参变量根轨迹。来绘制参变量根轨迹。 参变量根轨迹中的参数通常有两种形式，参变量根轨迹中的参数通常有两种形式，一种是参数在开一种是参数在开环零点，即绘制开环零点变化的根轨迹；另一种形式是参环零点，即绘制开环零点变化的根轨迹；另一种形式是参数在开环极点，即绘制开环极点变化的根轨迹。数在开环

23、极点，即绘制开环极点变化的根轨迹。例4.3.1已知某负反馈系统的开环传递函数为 ) 1()()(2*ssasKsG25. 0*Ka试绘制当时，参数由零变化到无穷闭环系统的根轨迹。0) 1()(25. 01)(2ssassD025. 025. 023asss044123sssa等效的开环传递函数为sssasHsG2344)()(解：01p5 . 03 , 2p5 . 0,0 , 5 . 0按常规根轨迹绘制法则，以a为根轨迹增益，绘制a由零变化到无穷系统的根轨迹：(1) n=3,m=0,开环极点为(2)负实轴上根轨迹范围是(3)系统有三条根轨迹，起始于三个开环极点，沿着三条渐近线趋向于无穷远。渐近

24、线的坐标为a00.50.5133 ,33) 12(ka) 1 , 1, 0(k (4)分离点坐标0441)()(123sssadsdsHsGdsd得到分离点坐标d1= -1/6，d2= -1/2(舍去)(5)根轨迹与虚轴的交点坐标s=jw，代入闭环特征方程中，得到 0)25. 0()25. 0(32ja1a5 . 0实部和虚部都等于零，得到 例例4.3.2已知某负反馈系统的开环传递函数为)(4()(*assKsG试绘制当 k*=20时，参数由零变化到无穷闭环系统的根轨迹。 0)(4(201)(asssD解解 要考察的参数在开环极点内，系统闭环特征方程为：020442aasss变化表现形式为02

25、04)4(12sssa这样，等效的开环传递函数为204)4()()(2sssasHsG按常规根轨迹绘制法则，以a为根轨迹增益，绘制a由零变化到无穷系统的根轨迹。 010102 2110 12 sKsssssKsHsGss其特征方程为：其特征方程为：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：解：解：210ss对系统性能的影响。后，分析加入速度负反馈动系统如图。参量根轨迹的绘制。随例ssKK 除特征方程的各项用不含102 2 ssKs0110210 2 sssKs 01 sHsG-sKs12、实轴上的根轨迹； 0 31 11 , 2 1021022 . 12 zjpmnsssKsHsGs、确定开环零

26、点、极点、确定开环零点、极点的根轨迹。的根轨迹。画画S-3 -2 -1 01p2pz03 dsdKs、汇合点：令、汇合点：令16. 316. 3 ,10 12 sss取：取：得：得：16. 3 4 .1984 .198 180422111 ppzp、出射角、出射角432. 0 110210 16. 312111 sssKsssKKs会合点处的会合点处的代入幅值条件，可求出代入幅值条件，可求出将将432. 0 sK4 .198S-3 -2 -1 01p2pz16. 3平面，系统稳定；平面，系统稳定；根轨迹位于左半根轨迹位于左半性能分析：性能分析：S. 1432.0 sK4.198S-3 -2 -

27、1 01p2pz16.3 1 432. 0 1 432. 0 10 432. 00. 2 sssKKK4.4.1 闭环零点极点的分布与阶跃响应的关系闭环零点极点的分布与阶跃响应的关系4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能4.4.2 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能一、系统单位阶跃响应表达式一、系统单位阶跃响应表达式 njjmiiiopszsasHsGsGsXsX111 njjjnjjmiioipsAsApszssasXttx10111时，时，当当 njtpjojeAAtx104.4.1 闭环零点极点的分布与阶跃响应的关系闭环零点极点的分布与阶跃响应的关系 一个控制系统

28、总是希望它的输出量尽可能的复现给定输入量，要求动态过程的快速性、平稳性要好一些。 要保证这些要求，闭环的零点、极点应如何分布呢？二、闭环零点、极点分布与阶跃响应的定性关系二、闭环零点、极点分布与阶跃响应的定性关系1、为保证系统稳定，闭环极点必须在左半S平面。2、为保证快速性好，应使阶跃响应 中每一分量 衰减得快，即 应远离虚轴。（若为共轭复极点，实部决定衰减快慢，虚部决定阻尼振荡频率） njtpjonjjjnjjmiiojeAAtxpsAsApszssasX101011tpjejp tttxjjsdtodnnnen1sin11 1 22 S0ndjn12341234123141比较系统振荡频率

29、高低阻尼比大小衰减速度快慢相等相等低高低高相等相等大小小大相等相等慢快慢快比较内容1、2、3、4为4对二阶系统的极点3、要求平稳性好。控制系统的单位阶跃响应的平稳性由系统的超调量度量。为保证平稳性好，系统的闭环极点的阻尼角应尽可能小，但为了兼顾系统的快速性，复极点最好设在与负实轴成 线上，这时，可获得最佳阻尼比 。4、远离虚轴的闭环极点对瞬态响应影响很小。一般情况下，若某一极点比其它极点远离虚轴4646倍时，则它对瞬态响应的影响可以略去不计。45 707. 0 小小。而而失失，则则必必须须使使、要要求求动动态态过过程程尽尽快快消消jA5 小小大，大，应使分母大，分子小应使分母大，分子小ijij

30、njiiijmiijjpsjojzpppppzppapssXAj 11闭环极点间闭环极点间距要大距要大闭环极点与闭环闭环极点与闭环零点间距要小零点间距要小）们本身到原点距离的们本身到原点距离的于它于它认为，它们的间距应小认为，它们的间距应小“偶极子”。（工程上“偶极子”。（工程上闭环零点、极点称为闭环零点、极点称为我们将一对靠得很近的我们将一对靠得很近的高。高。所提所提极点，使系统快速性有极点，使系统快速性有就让位于离虚轴次近的就让位于离虚轴次近的极点极点动态过程起决定作用的动态过程起决定作用的可忽略不计。从而，对可忽略不计。从而，对即即零，零，值很小，甚至可能趋于值很小，甚至可能趋于，则系数

31、，则系数该该靠近靠近零点零点衰减最慢，若能使某一衰减最慢，若能使某一的瞬态分量的瞬态分量对应对应为离虚轴最近的极点为离虚轴最近的极点近离虚轴近的极点。因近离虚轴近的极点。因极点个数，故零点应靠极点个数，故零点应靠由于零点个数总是少于由于零点个数总是少于101 tpjjjitpjjjjeAApzeAp6. 运动形态。运动形态。 如果闭环极点为实数，即对应的根轨迹位于实轴上，此时阻尼如果闭环极点为实数，即对应的根轨迹位于实轴上，此时阻尼比大等于比大等于1，系统处于过阻尼状态或临界阻尼状态，系统的时，系统处于过阻尼状态或临界阻尼状态，系统的时间响应是单调的，其中当系统的闭环极点是重根时，系统处于间响

32、应是单调的，其中当系统的闭环极点是重根时，系统处于临界阻尼状态；临界阻尼状态； 如果系统的闭环极点为复数，则系统的时间响应是有振荡的，如果系统的闭环极点为复数，则系统的时间响应是有振荡的，此时，系统处于欠阻尼状态；此时，系统处于欠阻尼状态； 如果系统的闭环极点是纯虚根，则系统的时间响应是等幅振荡如果系统的闭环极点是纯虚根，则系统的时间响应是等幅振荡的，此时，系统处于无阻尼状态；的，此时，系统处于无阻尼状态； 当系统的闭环极点是平面右半部的根时，系统时间响应发散，当系统的闭环极点是平面右半部的根时，系统时间响应发散，当是右半部的实轴上的根时，系统单调发散，当是右半部的复当是右半部的实轴上的根时，

33、系统单调发散，当是右半部的复平面上的根时，系统振荡发散。平面上的根时，系统振荡发散。例例4.4.1 某飞机在纵向运动中的开环传递函数可简化为)164)(1() 1()()(2*sssssKsHsG4.4.2 利用根轨迹法分析系统性能利用根轨迹法分析系统性能绘制出闭环系统的根轨迹之后，对于一个给定的增益，利用待绘制出闭环系统的根轨迹之后，对于一个给定的增益，利用待定系数法可以确定系统的部分闭环极点，即将待求的根带入幅定系数法可以确定系统的部分闭环极点，即将待求的根带入幅值方程。而系统其他的闭环极点可以根据闭环极点的和与闭环值方程。而系统其他的闭环极点可以根据闭环极点的和与闭环极点的积性质求出。需

34、要注意的是，在用待定系数法过程中，极点的积性质求出。需要注意的是，在用待定系数法过程中，可以根据根轨迹图的特殊点，例如分离点、根轨迹与虚轴的交可以根据根轨迹图的特殊点，例如分离点、根轨迹与虚轴的交点等，确定待求闭环极点的形式（实数还是复数）。系统的闭点等，确定待求闭环极点的形式（实数还是复数）。系统的闭环极点确定，则系统的动态性能便可计算。环极点确定，则系统的动态性能便可计算。例例4.4.4已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 )2)(1()(*sssKs试绘制系统根轨迹，并用根轨迹法求k*=1.05时系统的单位阶跃响应。 62*Kjs62*Kjs， 下面求系统的阶跃响应。将分离点坐标代入系统

35、特征方程中，得到分离点处的根轨迹增益为K*=0.385，题中给定分析K*=1.05时系统的单位阶跃响应，所以此时系统有一对共轭闭环极点，而且这两个闭环极点的实部范围是-0.432,0)，虚部的的范围是 。设系统闭环极点为s1，应满足幅值方程，有2, 005. 11121111*111Ksss58. 033. 02 , 1js34. 2s3s3i，可得由闭环极点的和得)58. 033. 0)(58. 033. 0)(34. 2(05. 1)()(jsjsssXsXio则系统的闭环传递函数为：sjsjssssXsXsXioo1)58. 033. 0)(58. 033. 0)(34. 2(05. 1

36、1)()()(则系统的阶跃响应为：)3 .4458. 0sin(297. 1125. 01)(33. 034. 2teetXtto例10画根轨迹并分析 对系统动态过程的影响24sssK- K 4: 2 0:1121 zpp开环零点开环零点开环极点开环极点解：解：S-4 -2 02p1p1z 实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹2 82. 618. 1 021ssdsdK得：得：令：令： 124 3 sssK分离点分离点该两点距该两点距-4均为均为2.82,根轨迹为以根轨迹为以-4为圆心，为圆心，2.82为半径的圆。为半径的圆。S-4 -2 02p1p1zs1=-+j12在根轨迹的曲线部分任设一点s1=

37、-+j，由根轨迹的相角条件，得84tgtg1tgtgtg4tg,tg,2tg,22212121212121）代入推得（代入推得（）（即即tg即圆心为4，直径为8的圆 7 .1142 343. 042 124 482. 6222218. 1111121 sssssKsssKsssKK分离点对应分离点对应18. 1343. 011sK82. 67 .1122sKS-4 -2 02p1p1z ssaavssvvssppeKKeKKeKIKKK 01 0 . 3111.710 7 .11 343. 01343. 00. 2. 15型型；，；，；，系统稳定系统稳定性能分析：性能分析： 707. 018. 1343. 011sK82. 67 .1122sKS-4 -2 02p1p1z2221Kjs2221Kjs707. 0S-4 -2 02p1p1z2221Kjs2221Kjs1此时系统快速性、平稳性均较好4k2k2kj22s707. 045coscos. 4*1,2故故。开环根轨迹增益开环根轨迹增益，对应的，对应的闭环极点为闭环极点为为最佳阻尼比，对应的为最佳阻尼比，对应的得得小阻尼比，小阻尼比，即为系统可能出现的最即为系统可能出现的最余弦，余弦，此切线与负实轴夹角的此切线与负实轴夹角的的直线，的直线，过原点作与根轨迹相切过原点作与根轨迹相切点点阻尼比时对应的闭环极阻尼比时对