初中数学等腰三角形及直角三角形有关定理的证明与运用

1、初中数学初中数学一一.定理及其证明定理及其证明二二.定理的运用定理的运用.三三.思考题思考题.一一. .定理及其证明定理及其证明( (一一) )关于等腰三角形关于等腰三角形1.1.定义定义: :有两边相等的三角形叫等腰三角形有两边相等的三角形叫等腰三角形. .2.2.判定判定: :有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形. .ABC即:在ABC中,若B=C,则AB=AC.在同一个三角形中，等角对等边等角对等边.D3.3.性质性质: :(1).(1).等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等( (等边对等角等边对等角) )(2).(2).等腰三角形顶角的平分线等腰三角

2、形顶角的平分线, ,底边上的底边上的高高, ,底边的中线底边的中线, ,三线合一三线合一. .(3)(3)有一个角是有一个角是6060的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形( (二二) )关于直角三角形关于直角三角形. .1.1.勾股定理勾股定理: :在直角三角形中在直角三角形中, ,斜边的平方等于两直角边的平和斜边的平方等于两直角边的平和. .如图;在RtABC中,C=90.则222cba证明(法一):(古希腊数学家毕达哥拉斯证法)以三角形两直角边的和a+b为边作正方形DEFH.在四条边上分别截取:EQ=FR=HM=DP=a连结PQ,QR,RM,MP,可证所得四个三角形全等,所以四

3、边形PQRM为正方形.S大正=4S+S小正abcCBA22214)(cabba222cba证法证法( (二二):():(中国古代数学家赵中国古代数学家赵爽的证法爽的证法) )以直角三角形的斜边以直角三角形的斜边为边作正方形为边作正方形, ,向里作四个与原向里作四个与原直角三角形全等的三角形直角三角形全等的三角形( (略略) )证法证法( (三三):():(美国第美国第2020任任总统伽菲尔德的证法总统伽菲尔德的证法) )abbaccMNDEF2.(2.(角的关系角的关系) )直角三角形两锐角余直角三角形两锐角余. .如图如图: :以以c c为直角边作等腰直为直角边作等腰直角三角形角三角形DEF

4、,DEF,分别以分别以DF,DEDF,DE为为斜边作两个与原三角形全等斜边作两个与原三角形全等的直角三角形的直角三角形NDFNDF和和MED,MED,首先可证首先可证N,D,MN,D,M三点共线三点共线. .再利用面积可证勾股定理再利用面积可证勾股定理. .3.(3.(边角关系边角关系),),直角三角形中直角三角形中,30,30角角所对的直角边是斜边的一半所对的直角边是斜边的一半. .ABC在RtABC中,C=90,若B=30,则AC= AB21D3030证明:(讲解略写)4.4.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. .DACB证明:(两种证法:讲解略写)EF

5、二二.运用运用:例例1.如图如图,在在ABC中中,C=90D,E是是AB边上两点边上两点,且且AE=AC,BD=BC,则则DCE等于等于EDCBA(A).30 (B).45 (C).60 (D).与A ,B的度数有关解:AE=AC1221801A同理:21802B21802180218021BABA452)21(180BADCE注注:通过此题熟练等腰三通过此题熟练等腰三角形三个角之间的关系角形三个角之间的关系.例例2:已知等腰直角三角形已知等腰直角三角形ABC中中,AB=AC= 1 ,将三角形沿斜将三角形沿斜边上的高边上的高AD对折对折,得三角形得三角形ADC,再沿斜边上的高再沿斜边上的高DE

6、对对折折,.依次进行依次进行,则对折四次后的三角形直角边长等于则对折四次后的三角形直角边长等于解:对折后的三角形与原三角形都是等腰直角三角形, 它们都是相似三角形, 对折后的三角形的面积总是前一次面积的一半, 对折四次后三角形的面积是原面积的 相似三角形的面积比等于相似比的平方, 第四次后的等腰直角三角形的直角边为16141注注:相似三角形的面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方例例3.如图在如图在ABC中中,AB=5,AC=6BC=7,求求ABC的面积的面积.BCAD567x7-x解:过A作ADBC于D,设BD=x,则DC=7-x222222)7(65xADxAD2222)

7、7(65xx7193814xx7612719522AD66761272121ADBCSABC注注:一般三角形边的计算问题通过作一般三角形边的计算问题通过作高转化为直角三角形问题高转化为直角三角形问题.3 B C D A例例4.4.如图已知四边形如图已知四边形ABCD中中，A=120ABC=90,AD=3,BC=3 ,BD=7,求求:AB,CD的长的长解解: :过过D D作作BABA的垂线交的垂线交BABA的延长线于的延长线于E,E,DAB=120DAB=1201=601=60, 2=30, 2=30E122321ADAE3232332222AEADDE21332372222DEBDBE5232

8、13AEBEAB过D作DFBC于FF32332333EDBCBFBCFC7DBDCBCDFFCBF，75DCAB，综上得：注注: :将求线段的问题转化为将求线段的问题转化为解直角三角形问题解直角三角形问题例例5.如图如图,矩形矩形ABCD中，折叠中，折叠AD边，使点边，使点D落在落在BC边上边上的的F点处，若这痕点处，若这痕AE= cm,且且 ,求矩形求矩形ABCD的周长的周长.5543FCECABCDEF3k4k5k5k8k6k10k解解: :由已知设由已知设EC=3k,FC=4k,EC=3k,FC=4k,则则:EF=5k, AB=DC=8k:EF=5k, AB=DC=8kAFE=D=901

9、+2=90123 1+3=902=3,而B=C=90ECFFBAFCECABBFkBFkBF6,438kkkAE55)5()10(22cmDCABBCADkk368101,5555矩形周长为注注: :折叠得全等折叠得全等例例6.6.如图如图, ,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBC,AB=DC,DBC=45ADBC,AB=DC,DBC=45, ,翻折翻折梯形使点梯形使点B B与点与点D D重合，折痕交重合，折痕交ABAB于于F,F,交交BCBC于于E,E,若若AD=2,BC=8,AD=2,BC=8,试求试求BE,EFBE,EF的长的长. .BCADFEG解:连结AC,由等腰梯形ABCD得:

10、AC=BD,过D作DGAC交BC的延长线于G.则得:平行四边形ADGC,DG=AC=BD,CG=ADDBG=45BDG=90.EF垂直平分BDFEDG,且FE平分BD,BE=EG,)(2121CGBCBGBE5)28(21)(21ADBC(口述求FE)注注: :梯形问题通梯形问题通过平移对角线或过平移对角线或腰将其转化为三腰将其转化为三角形问题角形问题例例7.7.在在ABCABC中，中，ABAC,ABAC,求证求证:CB.:CB.ABCD12证明: ABAC 在AB线段上截取AD=AC连结DC,则1=2ACB1=2ABC ACB ABC证法(二):(讲解略写)E注注: :角的不等问题一般角的不

11、等问题一般要用三角形的外角性要用三角形的外角性质质. .边的不等问题要用边的不等问题要用三角形任意两边之和三角形任意两边之和大于第三边大于第三边. .例例8.8.在在ABCABC中，中，D D是是BCBC的中点的中点EDDFEDDF分别交分别交AB,ACAB,AC于于E,F.E,F.连结连结EF.EF.(1)(1)试探究并证明线段试探究并证明线段EFEF与与BE+FCBE+FC的长度的长度 关系关系. .(2)(2)若若ABCABC满足满足AB=AC,BAC=90AB=AC,BAC=90其它条件不变其它条件不变, , 则则EF EF 与与BE,FCBE,FC又有什么关系又有什么关系? ?ADB

12、CEFHEDBCAFH(1)猜想: BE+FCEF证明:延长FD到点H,使DH=DF连结BH,又BD=DC,BDH=FDCBDHCDF BH=CF连结EH,因为ED垂直平分HFEH=EF在BEH中BE+BHEHBE+FCEF(2)222EFFCBE 总总 结结 有中点的条件有中点的条件,一般要倍长过中点的线段一般要倍长过中点的线段.利用三角形全等利用三角形全等,或等腰三角形或线段的中或等腰三角形或线段的中垂线等性质转化边垂线等性质转化边,转化角转化角; 求线段的长求线段的长, 可通过作高将问题转化为可通过作高将问题转化为直角三角形中的求边问题直角三角形中的求边问题; 证明角的不等关系一般要用三角形的外证明角的不等关系一般要用三角形的外角性质角性质;证明边的不等关系一般要用三角形证明边的不等关系一般要用三角形两边之和大于第三边两边之和大于第三边.GEFBACD思考题思考题1.1.已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD中，中，AEAE平分平分DABDAB交交CDCD于于E,