2022年华科版《一次函数与二元一次方程3》公开课教案

1、12.3 一次函数与二元一次方程教学目标【知识与技能】1.学会用函数图象来解二元一次方程组.2.通过学习,了解方程组的解在坐标平面内的意义.【过程与方法】1.经历探索、思考等教学活动和思维过程,开展学生的合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述观点.2.让学生体验数形结合的思想和解决问题的方法,提高解决问题的能力.3.体会解决问题的多种途径,发散学生的思维,开展学生的创新能力和实践能力.【情感、态度与价值观】在探究过程中开展学生的合作交流意识和独立思考精神,增强学生对数学思维、数学方法的好奇心和兴趣.重点难点【重点】用图象法解二元一次方程组.【难点】归纳用图象法解二元一次方程组的具体步骤.教学过程

2、一、创设情境,导入新知教师多媒体出示:方程3x+2y=6的解有多少个?你能画出以这个方程的解为坐标的所有点组成的图形吗?师:你能将方程3x+2y=6化成一次函数的形式吗?生:能.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,最后订正得到方程3x+2y=6的一次函数形式是y=-x+3.师:对于这个函数,前面我们讲过它的图象的画法,在画它的图象时,我们取两个满足这个关系式的点,但是不是上面的其余的点的坐标代入这个方程也是成立的呢?学生思考.教师多媒体出示:x-3-2-10123y=-x+3学生填表.师:对于表中每一对x、y的值代入方程3x+2y=6都成立,所以每组有序数对都是方程3x+2y=6的解.可见,

3、二元一次方程3x+2y=6有无数多组解,以这些有序数对为坐标,请同学们在坐标平面内描点作图,就能得到二元一次方程3x+2y=6对应的函数图象.学生描点作图,教师指导.教师多媒体出示:学生纠正.师:由上可知,二元一次方程3x+2y=6的图象就是一次函数y=-x+3的图象,它是一条直线.二、共同探究,获取新知教师多媒体出示:1.在平面直角坐标系内画出以下二元一次方程对应的图象:(1)x+y=0;(2)3x+y=6;(3)4x-5y+10=0.师:我们平时画的是形如y=kx+b的一次函数的图象,对于上面这三种形式的图象应怎样画呢?生:把它变成y=kx+b的形式,然后根据一次函数图象的画法来画.师:很

4、好!有没有其他方法来作出这些二元一次方程的图象呢?生:不用变形,直接找出这条直线上两点的坐标.师:你怎样找出这条直线上的两点呢?生:对x取两个不同的值x1、x2分别代入等式,求出相应的两个y1、y2的值,这样得到的(x1,y1)(x2,y2)就是直线上不同的两点.师:很好,现在请同学们从以上我们讨论得到的两种方法中选择一种作图.学生作图,教师巡视指导,最后集体订正得到:(1)x+y=0对应的函数图象为:(2)3x+y=6对应的函数图象为:(3)4x-5y+10=0对应的函数图象为:2.以下有序数对,哪些是二元一次方程3x+y=6的解?A(3,-3),B(6,-10),C(-3,15).师:请大

5、家判断一下.生:A、C是,B不是.师:对,你是怎样判断的呢?生:把(3,-3)代入方程左边得3×3+(-3)=6,右边=6,左边=右边,所以A点的坐标是方程3x+y=6的解.把(6,-10)代入方程左边得3×6+(-10)=8,与方程右边不等,所以B点的坐标不是此方程的解.把(-3,15)代入方程左边,得3×(-3)+15=6,与方程右边相等,所以C点的坐标是此方程的解.三、层层推进,深入探究师:一般地,任何一个二元一次方程都可转化为一次函数的形式,所以每个二元一次方程的图象都是一条直线,这样,解二元一次方程组就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线的交点问题了.现

6、在请大家建立一个直角坐标系,并在这个坐标系中画出方程x+2y=2的图象l1与方程2x-y=-6的图象l2.学生作图,教师巡视指导,要求作图要精确,因为图象的精确性直接影响结果.师:它们是否交于一点?生:是.师:这个交点的坐标是多少?生:(-2,2).师:请大家检验一下它是否是方程组的解.学生检验后答复:是.师:为什么呢?生:直线l1是方程x+2y=2的图象,因此,直线l1上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解;同理,直线l2上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解.所以直线l1与l2的交点P的坐标是方程x+2y=2与2x-y=-6的公共解,也就是说,这个交点的坐标是二元一次方程组的解.师:

7、请同学们利用图象法解方程组学生作图求解后答复,教师订正.师:由上面的过程我们能总结出用图象法解二元一次方程组是这样一个过程:先在同一平面直角坐标系内画出每一个二元一次方程对应的直线,这两条直线假设相交,其交点的坐标就是方程组的解.但是,二元一次方程组确定的两条直线是否必定会相交于一点呢?我们看看下面这个例子.四、深入探究,强化理解师:请同学们用图象法解方程组学生作图.师:你们作出的两个方程图象有什么关系?生:两条直线互相重合.师:这意味着什么呢?学生小组讨论.生:说明直线上每一个点的坐标都是原方程组的解,所以原方程组有无穷多组解.师:对.大家再用图象法解这个方程组你们又有什么发现?学生作图.生

8、:两条直线平行,它们没有交点.师:这代表什么呢?学生小组讨论.生:这个方程组无解.师:很好!通过上面几个例子和练习,我们可以得到二元一次方程组的解有三种情况.我们把方程组化成标准形式后,你比拟一下两个方程中x的系数、y的系数与常数项的比,看它们的比值之间的关系对图象、方程组的解有什么影响?学生讨论,教师参与.生甲:如果x的系数之比与y的系数之比不相等,那么两直线有一个交点,方程组有一组解.生乙:如果x的系数之比与y的系数之比相等,但与常数项的比不等时,两直线没有交点,方程组无解.生丙:如果x的系数之比、y的系数之比、常数项之比三者都相等,那么两直线重合,方程组有无穷多组解.师:同学们总结得很好

9、.教师板书得到的结论.五、迁移稳固师:请同学们把第53页练习做一下.学生做题,然后集体订正.(1),所以方程组有一组解;(2)原方程组可变形为=,所以方程组有无数多组解;(3)=,所以方程组无解:(4)第二个方程可变形为:x-y=0.,所以原方程组有一组解.六、课堂小结师:今天我们学习了什么内容?生甲:学习了用图象法解二元一次方程组.生乙:还学习了怎样根据二元一次方程组中的两个方程的系数关系判断方程组解的个数.师:同学位答复得很好!你能说说怎样根据两个方程系数的关系来判断方程组解的个数吗?学生答复,教师补充完善.教学反思通过本节课的学习,学生掌握了用图象法求解二元一次方程组的方法,这是用图象法

10、解方程、不等式的延伸.学生通过观察、总结,自己得到怎样由x的系数之比、y的系数之比、常数项之比三者之间的关系与方程组的解的数量之间的联系,总结出规律,让他们享受探索求真的乐趣,培养发现问题、解决问题的能力.能力的培养,特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点,能力培养是以自主探究为平台.“自主不是一盘散沙,“探究不是漫无边际,要提高探究的质量,必须在教师的引导下进行.本章复习【知识与技能】对本章的内容进行回忆和总结，熟练掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.【过程与方法】釆用讨论法、练习法、尝试指导法，反思有理数的概念和有理数的运算，培养学

11、生应用数学知识的意识，训练和增强学生运用新知识解决实际问题的能力.【情感态度】通过本章知识的学习，渗透数形结合的思想、辩证唯物主义思想，使学生学会如何归纳知识，反思自己的学习过程.【教学重点】回忆本章知识，构建知识体系.【教学难点】有理数的运算.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回忆本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回忆边建立知识框图.二、释疑解惑，加深理解1.理解根本概念要注意的一些问题：1对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+号的数是正数，带“-号的数是负数.例如-a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，-a是0，当

12、a是负数时，-a是正数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数.2数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.故而可以用数轴来比拟数的大小.3求相反数的方法：直接在数字前加负号；如果是式子，先把整个式子括起来，再在括号前加负号；在数轴上表示互为相反数的两个数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.0的相反数是0.4正数的绝对值是它本身；如果a0，那么a=a；一个负数的绝对值是它的相反数；如果a0，那么a=-a；0的绝对值是0，如果a=0，那么

13、a=0.2.有理数的运算的说明：1进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法那么、运算律及运算顺序.比拟复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.2进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.3.关于本章的数学方法：数形结合的思想是数学中一种常用思想方法，在有理数的混合运算中常常与数轴、绝对值的知识融合于一体，画出数轴、观察数轴，从中进行体验，有助于解

14、决问题.三、典例精析，复习新知例1一只蜗牛从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，这时蜗牛与数轴上的田螺相距1.5个单位，求田螺表示的数.【分析】先画出数轴，如以下图：蜗牛从原点O出发第一次向右移动2个单位，此时蜗牛表示的数为2，第二次向左移动5个单位，这时蜗牛表示的数为-3，又由于田螺与蜗牛相距1.5个单位，根据距离的概念和绝对值的知识，田螺在数轴上位置在点P或P1，即表示的数是-4.5或-1.5.例2假设数a在数轴上的对应点如以下图，请化简a+1和a-1.【分析】对于绝对值的化简，分析出a+1，a-1的正负是解题的关键.结合数轴很容易得出结论.观察数轴可知a的对应点在原

15、点右侧，所以a为正数.所以a+1为正数，即a+1=a+1.因为a的对应点在0和1之间，所以a为小于1的正数.所以a-10.解：因为a0，所以a+10.所以a+1=a+1.因为0a1，所以a-10.所以a-1=-a-1=1-a.例3计算：【分析】进行有理数的混合运算时，一定要准确地把握有理数的运算顺序和运算中的符号问题，恰当地运用运算律简化计算.例4下表是七年级1班第一组学生的体重.以体重50kg为标准超出局部为正，缺乏局部为负：求：1这组同学中，哪个同学的身体最重？哪个同学的身体最轻？2这组同学的平均体重是多少？【分析】1求哪个同学的身体最重，即求哪个同学的体重超出50kg的最多；2超出50k

16、g局部的平均值与50kg的和即为这组同学的平均体重.解：1因为-6-41357所以小天同学的身体最重，小丽同学的身体最轻.2这组同学的平均体重为：50+-6+(-4)+1+3+5+7÷6=50+6÷6=51(kg) 【分析】一般情况下，分数计算是先通分.此题通分计算将很繁琐，但我们观察到各个分数分母的后一个因数比前一个大1，且后一个分数的分母含有前一个分数分母的因数，每一个分母中因数之差等于分子，故可利用如下一个关系式：再把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做裂项法.【教学说明】这一环节是本节课重点所在，这5个例题层次递进，对本章重要知识点进行有效复习和稳固，强化学

17、生对本章重点知识的理解与运用.四、复习训练，稳固提高1.在数轴上的点A、B位置如以下图，那么线段AB的长度为 3.1的绝对值是_，绝对值是的是_，绝对值等于它本身的数是_.2绝对值小于3的整数有_个；绝对值不大于3的整数有_个，分别是_.4.粮库3天内进出库的吨数如下:“+表示进库,“-表示出库+26、-32、-15、+34、-38、-20.1经过这3天，库里的粮食是增多还是减少了.2经过这3天，仓库管理员结算发现库里还存480吨粮，那么3天前库里存粮多少吨？3如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少装卸费？5.一个正方体木块粘合成如以下图形式，它们的棱长分别为1cm、2cm、4cm，

18、要在模型外表涂油漆，如果除去局部不涂外，该油漆的本钱为5元/cm2，求模型涂漆共花费多少元钱？【教学说明】师生共同回忆本章主要知识点，教师适时予以评讲，说明应用各知识点要注意的问题.对于所选例题，可根据需要适当增减.3. 257-3、-2、-1、0、1、2、34.解：(1)26+-32+-15+34+-38+-20=-45答：经过这3天，库里的粮食是减少了45吨.2480-45=525答：3天前库里存粮525吨.326+32+15+34+38+20×5=825答：这3天要付装卸费825元.5.解：大正方体的涂漆面积是:42×442-22641276cm2棱长为2cm的正方体的涂漆面积是:22×422-1216319cm2棱长为1cm的正方体涂漆面积是:12×55cm2所以，总涂漆的面积为:76195100cm2总费用为5×100500元答：模型的涂漆的总费用为500元.五、师生互动，课堂小结本堂课你能系统地回忆本章所学有关有理数的知识吗？你会用数轴来比拟数的大小吗？你能