函数与初等函数PPT学习教案

1、会计学1函数与初等函数函数与初等函数. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).,( aU记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 . ),( axaxaUxa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a. ),( axxaU0,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx )(aU简记为简记为。第1页/共51页因变量因变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx 函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集数集数集 D 叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 变量变量 y 按照一定法则总有按照一定法

2、则总有 如果对于每个数如果对于每个数Dx , 二、函数二、函数确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应，则称 y 是是 x 的的函数函数，记作，记作 定义：设定义：设 x 和和 y 是两个变量是两个变量，D 是一个给定的数集，是一个给定的数集，.),(称为函数的值域称为函数的值域DxxfyyW 第2页/共51页()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值义的一切实数值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D

3、211xy 例如，例如，)1 , 1(: D第3页/共51页定义定义: :),(),(DxxfyyxC 平面点集平面点集oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫做多值函数则叫做多值函数例如，例如，222ayx .)(的图形的图形称为函数称为函数xfy 第4页/共51页 (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1. 几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例xxx sgny1-1xo.第5页/共51页(2) 取整函数

4、取整函数 y = x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数第6页/共51页 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函狄利克雷函数数第7页/共51页(4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg.第8页/共51页 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范

5、围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.第9页/共51页例例1 1.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故第10页/共51页M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX （1）函数的有界性）函数的有界性:.)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Xxf2 2、函数的特性、函数的特性第11页/共51页（2）函数的单调性）函数的

6、单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ;)(上是单调增加的上是单调增加的在区间在区间则称函数则称函数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有o)(xfy )(1xf)(2xfxyI第12页/共51页)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有第13页/

7、共51页（3）函数的奇偶性）函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf xyx)( xf )(xfy o-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf第14页/共51页有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 第15页/共51页（4）函数的周期性）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个

8、不为零的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立第16页/共51页例例2 2解解,01)( QxQxxD设设.)().21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1单值函数单值函数, 有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,第17页/共51页0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o3 3、反函数、反函数

9、对于任意的对于任意的 y W,在在 D 上至少可以确定一个上至少可以确定一个 x 满足满足yxf )(若将若将 y 看作自变量看作自变量, x 看作因变量看作因变量, 得到一个新的函数得到一个新的函数称为原函数称为原函数 y = f (x) 的反函数的反函数, 记为记为 x = (y)第18页/共51页)(xfy 直接函数直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 （2） 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 y = x 对对称称.)()1(yx )(xy （3） 单值函数的反函数不一定是单值的单值函数的反函数不一定是单值的.第19页/共51页一、复合

10、函数一、复合函数二、初等函数二、初等函数第20页/共51页若若fDZ , 则称函数则称函数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数. 一、复合函数一、复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:设设)(ufy 的定义域的定义域为为fD, 而函数而函数)(xu 的值域为的值域为 Z, uyufy )(xxu )( )(xfy 因变量因变量中间变量中间变量自变量自变量第21页/共51页注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过多复

11、合函数可以由两个以上的函数经过多次（或多层）复合构成次（或多层）复合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 第22页/共51页(1) 幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 二、二、 初等函数初等函数（一）基本初等函数（一）基本初等函数第23页/共51页(2)、指数函、指数函数数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 第24页/共51页(3)、对数函、对数函数数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 第25页/共51页(4)、三角

12、函数、三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 第26页/共51页xycos xycos 余弦函数余弦函数第27页/共51页正切函正切函数数xytan xytan 第28页/共51页xycot 余切函余切函数数xycot 第29页/共51页正割函正割函数数xysec xysec 第30页/共51页xycsc 余割函数余割函数xycsc 第31页/共51页(5)、反三角函、反三角函数数xyarcsin xyarcsin 反正弦函数反正弦函数第32页/共51页xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数第33页/共51页xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数第3

13、4页/共51页 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot arcxarcycot 反余切函数反余切函数第35页/共51页（二）初等函数（二）初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式一个式子表示子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.第36页/共51页2sinhxxeex 双曲正弦双曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余

14、弦),(:D偶函数偶函数.双曲函数双曲函数xey21 xey 21第37页/共51页xxxxeeeexxx coshsinhtanh双曲正切双曲正切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,第38页/共51页双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 第39页/共51页反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(:D.),(内单调增加内单调增加在在;sinh xy 反双曲正弦反双曲正弦

15、ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy第40页/共51页.), 1内单调增加内单调增加在在), 1 :D y反双曲余弦反双曲余弦coshararxcosharx y第41页/共51页.11ln21xx )1 , 1(: D奇函数奇函数,.)1 , 1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切tanharxytanh arxtanharx y第42页/共51页思考题思考题1设设0 x，函数值函数值21)1(xxxf ，求函数求函数)0()( xxfy的解析表达式的解析表达式. 第43页/共51页解答解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11

16、)(2 xxxxf思考题思考题1设设0 x，函数值函数值21)1(xxxf ，求函数求函数)0()( xxfy的解析表达式的解析表达式. 第44页/共51页思考题思考题2 2).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求设设 0102112第45页/共51页).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求设设 0102112解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01

17、 x第46页/共51页综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 第47页/共51页一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若2251tttf , ,则则_)( tf, , _)1(2 tf. .2 2、 若若 3,sin3, 1)(xxxt, , 则则)6( =_=_，)3( =_.=_. 3 3、不等式、不等式15 x的区间表示法是的区间表示法是_._. 4 4、设、设2xy , ,要使要使 ), 0( Ux 时，时，)2 , 0(Uy , , 须须 _._.练练 习习 题题第48页/共51页二、证明二、证明xylg 在在), 0(上的单调性上的单调性. . 三、证明任一定义在区间三、证明任一定义在区间)0(),( aaa上的函数可表上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和示成一个奇函数与一个偶函数之和. . 四、设四、设)(xf是以是以 2 2 为周期的函数，为周期的函数， 且且 10, 001,)(2xxxxf, ,试在试在),(上绘出上绘出 )(xf的图形的图形. . 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数五、证明：两个偶函数的乘积