2021-2022年高三上学期第一次联合考试(1月)数学(理)试题含答案

1、2021年高三上学期第一次联合考试（1月）数学（理）试题含答案命题学校：嘉峪关市酒钢三中朱兮云杨林世王玉胜一、选择题：（每小题5分，共60分）1.下列推断错误的是（）A.命题“若则”的逆否命题为“若则”B.命题Q：存在，使得，则非Q：任意，都有C.若且。为假命题，则0, g均为假命题D. 是的充分不必要条件2.设为虚数单位，则复数等于（）A. B. 4-3 C. -4+3 D. -4-3 首发3,已知，向量垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.4 .若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱5 .已知F是双曲线的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x

2、轴的直线与双曲线交于A、B两点，若4ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）实用文档A.B. (1,2)C.D.6 .如图，正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F,且，则下列结论中错误的是（）C.三棱锥的体积为定值D. A4EF的面积与ABEb的面积相等7已知等差数列的前n项和为，又知，且，则为（）A. 33 B. 460. 48 D. 508 .已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为A.B.C.D.9 .若不等式在(0,2上恒成立，则的取值范围是( )"112141 rA. 1 B, , 1 C. - - D. - 2/10、一只蚂

3、蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A. B. C. D.11 .关于的方程V+m + Dx + a + 匕 + inOmwO,。、匕eR）的两实根为,若，则的取值范围是（）A.B. C.D.I lg（-x）Lx<0,12 .已知函数/0） =若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取x -6x + 4,x>0,值范围是（）A. B. C. D./输入，/二、填空题（每小题5分，共20分）13 .若展开式中二项式系数之和为16,则展开式常数项为.14 . 一束光线从点A（ 1, 1）出发经x轴反射，到达圆C:上一点的最短路程是

4、.15 .如图：程序框图中，若输入，那么输出的二 .16 .已知 是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的，都有成立.数列满足，且.则数列的通项公式为.二、解答题（6道大题，共70分）17 .已知等差数列满足的前项和为.（1）求及；（2）令，求数列的前项和.18 .某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：月份12345（万盒）44566(2)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了 3盒甲胶啜，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所 有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存

5、在质量问题的盒数为， 求的分布列和数学期望.19 .已知函数/(.¥)= 2 COS： 4- COS(G)X 4- y)(其中的最小正周期为.(1)求的值，并求函数的单调递减区间：(2)在锐角中，分别是角的对边，若 的面积为，求.20 .如图，在长方体，中，点在棱AB上移动.(1)证明：；(2)当为的中点时，求点到面的距离;(3)等于何值时，二面色的大小为.21已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别 是的左、右焦点.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点为A和B满足(其中0为原点），求k的取值范围.22

6、.已知函数 函数 有相同极值点.（1）求函数的最大值：（2）求实数的值；（3）若V M, X2e 3 ,不等式W1恒成立，求实数的取值范围. e高三第一次联考数学试卷（理科）参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）12.1. C 2. D 3. A 4. B. 5. B 6. D 7. D 8. D 9. B 10.B 11. D.D二、填空题（每小题5分，共20分）13. 2414. 415. 60_16. 2八二、解答题（6道大题，共70分）首发17.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由，解得.由于 4“ = + (- l)d,5 =川",所以.2(2)因为，所以,因此d

7、=4心 + 1) 4 n n + 1).故 7； = 1入 + 仇 HF b = (1 + H卜)=(1 -)=z, 1-" 42 2 3 /-I4 + 14(n+ 1)所以数列的前项和.18.解：(1) 7 = (1 + 2 + 3 + 4+5) = 3,歹=:(4 + 4+5 + 6 + 6) = 5, 因线性回归方程过点，:，6月份的生产甲胶啜的产量数:(2)P(g = 0)=""此话居J。C： 84 42C； 84c c尸(4 = 2)=苛=305C_ = _，尸 4 = 3) = T =84 14Cl21184 210123其分布列为/.E = _lxO

8、+ x1 + Ax2 + x3 = i 42211421319.解析：(1)由已知得，/、 c 2 8/ 乃 I1Z(x) = 2 cos + cos(勿x + )= 1 + cos cox +cos cox - 2327T=1- JJsin cox- -3J,于是.的单调递减区间为.(II)由(I )及已知得与=即 85nl2/f.g) 二号二度立二久竺2又&e。是锐角三角形，因此有/三h.由已知得20.常规方法(略)向量法：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则 A(1,0,1),DKO,0,1),E(l,x,O),A(LO,0),0(020)(1)因为。4,。西=

9、(1.04),(1.1,-1)=0,所以。%，。£(2)因为为的中点，则，从而，首发,设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为(3)设平面的法向量,<CE = (Lx-2.0).£>C = (0.2.T).O£)： = (0.0.D,./! - D,C = 0,2b c = 0人由二 =，令，?! CE = 0.|/? +。(入-2) = 0.依逊意睦刀_ :”皿1 _0一24 Inl-IDD,! 2"”2+52(不合，舍去)，.时，二面角的大小为.21解：(1)设双曲线G的方程为,则="1 = 3,再由1+尸=/得

10、2 =.故一的方程为(2)将)，=h+、£代入二 +)，2 =1 得(1 + 4g)/+8、历h+4 = 0. 4由直线I与椭圆G恒有两个不同的交点得A, = (8妇)2攵2 -16(1 + 4/)=16(4/ 1) > 0,即2将)，=kx+、反代入-y2 = 1 得(1 一3k2)x2 一gkx-9 = 0.由直线I与双曲线C?恒有两个不同的交点A, B得1-3卜工0, <A2 =(-6 而)2 +36(1-3/) = 36(1-/)>0.-9匚记8=匚而即炉工1且女2VL设4%以),8(乙,九),则乙+xB =OA OB < 6得七/z + £

11、i)7 < 6,而xaxb + yAyB = xAxB + (kxA + &)(%/ + 72)= (k2+)xAxH+y/2k(xA+xB) + 2 = (k2+l)- + y/2k-+2_3二+7- 3A一1 .于是任二心v 6,即二旦0.解此不等式得 3代一 13小一11113由、得Lvl <1或上炉VL 43 15故k的取值范围为（一 1,一u（T等吗各后）222.解 (x)=-2x+-=-2 (x>0), x由得0<晨1;由得x>1.，Hx）在（0,1）上为增函数，在（1, +8）上为减函数.工函数r（x）的最大值为fd）= -i.(2) V g

12、(x) = x+ :, :. (x) =1 4.由(1)知，X=1是函数尸(X)的极值点.又：函数尸(X)与g(x) =x+，有相同极值 X点，X=1 是函数 g(x)的极值点.gf (1) =1a=0,解得 a=1.经检脸，当a=1时，函数g(x)取到极小值，符合题意(3)尸(=一5一2, f(1) = -1, f(3)=-9 + 2ln3,V-9 + 2ln3<-2<-1,即尸"(3"， ee.V 为£(：, 3), f(x：)nin= f(3) = -9 + 2ln3,f(1) = 1.11由知 g(x) = x+;, /. gr (x) = 1

13、 故 g(x)在 3 1)时，g' (x)<0；当 x£(1,3时，g' (x) >0.故g(x)在g,，上为减函数，在(1,3上为增函数.；g(；)=e+；, g(1)=2, g(3)=3+g=与，而 2<e+2¥，g(1)<g(3) .1110必£ e , g(X2)mn=g(1) =2, g(M)e“=g(3) = 下.L© J3一1 一当1>0,即kX时，对于V m,必£ -，e ,不等式恒成立 _e _1 N f(Xl) f(Xl) g(X2)a+l.尸(*)一以X2)W1)-g(1)=-1-2 = -3, 2 3 +