二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)

1、学习资料收集于网络，仅供参考二次函数铅垂高如图 12-1 ，过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的“水平宽” ( a) ，中间的这条直线在 ABC内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高 ( h) ”. 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC1 ah ，2即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图 12- 2，抛物线顶点坐标为点C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线 (在第一象限内 )上的一个动点，连结PA，PB，当 P

2、点运动到顶点C 时，求 CAB 的铅垂高 CD 及 S CAB ；9P 点的坐标；若不存在，请(3) 是否存在一点 P，使 S PAB= SCAB ，若存在，求出8y说明理由 .CBD1xO1A图12-2例 1 解： (1) 设抛物线的解析式为：y1a(x 1) 24 ························1分把 A（ 3,0）代入解析式求得a1所

3、以 y1( x1)24x 22x3························3分设直线 AB 的解析式为： y2kxb由 y1x 22 x3 求得 B 点的坐标为(0,3) ···············

4、···4分把 A(3,0)， B(0,3)代入 y2kx b 中解得： k1, b 3所以 y2x3 ······································6分(2)

5、因为 C 点坐标为 ( ,4)所以当 x时， y1 4，y2 2所以 CD 4- 2 2 ···································8 分学习资料学习资料收集于网络，仅供参考S CAB13 2 3 (平方单位 ) 

6、3;·····················10 分2(3) 假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x， PAB 的铅垂高为 h，则 hy1y2(x 22 x3) ( x 3)x 23x ·········12 分9S CAB由 S PAB=8得： 193(x23x)328化简得： 4x

7、 212 x 90解得， x32将 x3 代入 y1x22 x 3 中，2解得 P 点坐标为 (3 , 15)·································14 分24总结： 求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学

8、会用坐标表示线段。例 2（ 2010 广东省中考拟） 如图 10，在平面直角坐标系中，二次函数yax 2bxc(a0)的图象的顶点为D 点，与 y 轴交于C 点，与 x 轴交于 A、 B 两点， A 点在原点的左侧，B1点的坐标为（3， 0）， OB OC ，tan ACO（ 1）求这个二次函数的表达式（ 2）经过C、 D 两点的直线，与x 轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由（ 3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的

9、长度（ 4）如图 11，若点 G（ 2， y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时， APG的面积最大？求出此时 P 点的坐标和 APG的最大面积 .yyEAOBxAOBx学习资料C图 10CG图11D学习资料收集于网络，仅供参考1）方法一：由已知得：C（ 0， 3），A（ 1， 0）abc09a3bc0将 A、 B、C 三点的坐标代入得c3a1b2解得：c3所以这个二次函数的表达式为：yx22x3方法二：由已知得：C（ 0， 3）， A（ 1， 0）设该表达式为：ya( x1)( x3)将 C 点的坐标代入得： a1所以这个二次函数的表达式为

10、：yx22x3（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（ 2）方法一：存在，F 点的坐标为（ 2， 3）理由：易得D（ 1， 4），所以直线CD的解析式为：yx3 E 点的坐标为（3， 0）由 A、 C、E、 F 四点的坐标得：AE CF 2， AE CF以 A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形存在点F，坐标为（ 2， 3）方法二：易得D（ 1， 4），所以直线CD的解析式为：yx3 E 点的坐标为（3， 0）以 A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形F点的坐标为（ 2， 3）或（ 2， 3）或（ 4， 3）代入抛物线的表达式检验，只有（ 2， 3）符合学习资

11、料学习资料收集于网络，仅供参考存在点F，坐标为（ 2， 3）（ 3）如图，当直线MN在 x 轴上方时，设圆的半径为R（ R>0），则 N（ R+1， R），y117R代入抛物线的表达式，解得2当直线MN在 x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0 ），则 N（ r+1 ， r ），r117代入抛物线的表达式，解得2117117圆的半径为2 或2（ 4）过点 P 作 y 轴的平行线与AG交于点 Q，易得 G（ 2， 3），直线 AG为 yx1 1RMNRAOBxr1rMND设 P（ x， x 22x3 ），则 Q（ x， x1）， PQx 2x2 S APGS APQ S GPQ1 (

12、 x2x 2) 321x当2 时， APG的面积最大1 ,15S APG的最大值为 27此时 P 点的坐标为 24 ，8 随堂练习1（ 2010 江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点 A、 B 的坐标分别为（-4 ， 0）和（ 2， 0），BC=2 3 设直线 AC与直线 x=4 交于点 E（ 1）求以直线 x=4 为对称轴，且过 C与原点 O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点 E；（ 2）设（ 1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N 之间的一动点，求 CMN面积的最大值学习资料学习资料收集于网络，仅供参考yDCEAO Bxx= 4【答案】解： （ 1）点 C

13、 的坐标 (2,23) 设抛物线的函数关系式为2ya( x4) m ，16am0383a, m则 4a.m2 3，解得63y3(x 4) 283所求抛物线的函数关系式为634kb0343k设直线 AC的函数关系式为 yb, 则, bkx2kb23 ，解得33y343(4,83 )x直线 AC的函数关系式为33，点 E 的坐标为3y3 (4 4)2把 x=4 代入式，得6（ 2）（ 1）中抛物线与 x 轴的另一个交点为G，则 SCMN=S MNG+S梯形 MGBC S83833 3 ，此抛物线过 E 点N（ 8，0），设 M（ x，y），过 M作 MGx 轴于1(8 x) y12 3)( x2)

14、1(8 2)2 3CBN=2( y223 y3x 8 3 3(3 x 24 3 x)3x 8 33 x25 3x 8 3=6323(x 5) 29 3,=2293当 x=5 时， S CMN有最大值2课下练习1 (本题满分 12分 )已知：如图一次函数y 12 x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y轴交于点 B；二次函数 y 1 x2 bxc 的图象与一次函数y 1 x 1 的图象交于 B、C 两22学习资料学习资料收集于网络，仅供参考点，与 x 轴交于 D、 E 两点且 D 点坐标为 (1， 0)(1) 求二次函数的解析式；(2) 求四边形 BDEC 的面积 S；(3) 在 x 轴上是否存

15、在点 P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由二次函数 yx2ax b 的图象与 x 轴交于 A(1,0) , B(2,0) 两32点，且与y 轴交于点 C .第 24题图（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；（ 2）在 x 轴上方的抛物线上有一点D ,且以 A、C、 D、 B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ,使得以 A、C、B、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.第26题图1【答案】解：根据题意，将A（2 ,0） ,B （

16、2,0）代入 y=-x2+ax+b 中，11 ab0,4 2得 4 2a b 0.学习资料学习资料收集于网络，仅供参考3a ,2解这个方程，得b1.全品中考网3所以抛物线的解析式为y=-x2+2 x+1.当 x=0 时， y=1. 所以点 C 的坐标为（0， 1）。OA2OC25所以在 AOC 中， AC= 2 .在 BOC 中， BC=OB2OC2 =5 .1 52AB=OA+OB= 22 .1225AB2因为 AC2+BC2= 44.所以 ABC 是直角三角形。3 ,1（ 2）点 D 的坐标是2.（ 3）存在。由（ 1）知， AC BC,若以 BC 为底边，则BC AP,如图（ 1）所示，

17、可求得直线 BC 的解析式为1x 1y2.直线 AP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设y1 xb直线 AP 的解析式为2，112 ,0）代入直线 AP 的解析式求得 b=图 1将 A （4 ,所y1 x1以直线 AP 的解析式为24 .31 x1因为点 P 既在抛物线上， 又在直线 AP 上，所以点 P 的纵坐标相等， 即 -x2+ 2 x+1=24 .学习资料学习资料收集于网络，仅供参考x15 x21解得22 （不合题意，舍去） .53当 x= 2 时， y=2 .53所以点 P 的坐标为（2 ，2 ） .若以 AC 为底边，则BP AC ，如图（ 2）所示，可求得直线AC 的解析式

18、为y2x1.直线 BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直线 BP 的解析式为 y 2xb ，将 B（ 2,0）代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直线BP 的解析式为 y=2x-4.图 2因为点 P 既在抛物线上，又在直线BP 上，所以点 P3的纵坐标相等，即-x2+ 2 x+1=2x-4x15 , x22解得2（不合题意，舍去） .5当 x=- 2 时， y=-9.5所以点 P 的坐标为（ -2 ，-9）.535综上所述，满足题目的点P 的坐标为（2，2）或（ - 2 ，-9）1x23x 42( 本题 10 分 )如图，已知二次函数y=42的图象与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于 B、 C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接 AC(1) 点 A 的坐标为 _ ，点 C 的坐标为 _ ；(2) 线段 AC 上是否存在点 E，使得 EDC 为等腰三角形 ?若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、 PC，若所得 PAC 的面积为S，则 S 取何值时，