浙江大学概率论与数理统计复习题

1、武汉大学遥感信息学院函授概率论与数理统计复习题一.随机事件与概率 11 .五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率为(一)102.若 AuB，贝U AUB 是 (B)3.事件A、B、C至少有一个不发生可表示为(AUBUC )4. 设 A, B 为两个独立事件，P(A) =0.7 , 0 < P(B) <1 ,求 P(A | B) ( 0.3 )5.某射手射击时，中靶的概率为-,若射击直到中靶为止，求射击次数为3的概率?41 23(一)-5. 设 AUB , P(A)=0.2, P(B) =0.3,求 P(AB) 解：P(A B) = P(B 一 A) = P

2、(B) -P(A) = 0.16. 某射手每次射击击中目标的概率为p ,连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X的分布律解 在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X是离散型随机变量，显然，X的可能取值为1,2，即一切正整数，而：P X = k =(1 - p)kp k =1,2， 上式即为X的分布律。7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品，检查产品质量时，在产品中取一半来检查，如果 发现次品不多于一个，则这批产品可以认为是合格的。求这批产品被认为是合格的概率。解：按题意，每批 100个产品中应有5个次品，95个合格品.设事件 A表示检查的50 个产

3、品中次品不多于 1个，它可以看作两个互不相容事件之和：A = A0 A1因为其中A°表示检查的50个产品中没有次品， 而A1表示有1个次品.c50_C 95P(An)=0.0 28050C 100八» 49C 5C 95P(A1) =0- =。.153C 100所以 P(A) =P(A0) - P(A1) =0.1818 .设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在 3000个男 人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。解 A =抽到的一人为男人 , B =抽到的一人为色盲者,则3512251P(A)=U , P(B'

4、;A) = = = 1, P(A)=C , P(BA)=1 '5' ' ' 10020510000400于是，由全概率公式，有-t k 312131P(B )= P(A p(B A )十P(A p(B A ) = -x +-x=520540010009. (1)已知 P(A)=0.5 , P(B)=0.6 , P(B|A)=0.8，求 P(A=B)。(2) P(A) = 0.4, P(B)=0.5 , P(A|B)=0.8,求 P(A|B)。解 (1)利用加法公式、乘法公式计算事件概率P(AB) = P(B|A)，P(A)=0.4 , P(Au B) = 0.5

5、 +0.6 0.4 =0.7。(2)易知 P(A)=0.6 , P(B)=0.5 ,由 P(AB)=P(B)P(AB)=0.4=P(A)_P(AB), 可得P(AB )=0.2,从而P(AB )0.2P(A | B)=0.4。P(B) 0.510. 某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求：(1) 只读甲报所占比例；(2) 至少读一种报纸所占比例。解 设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：A, B,C ,由已知条件，有P(A) =0.25 , P(B) = 0.20 , P(C)=0.16 , P(A

6、B)=0.10 , P(AC)=0.05,P(BC ) =0.04 , P( ABC ) =0.02 ,从而有(1) P(AB C ) = P(A(B UC) = P( A) 一 P( A(B UC)=P( A) - lP(ABAC ) I - P(A) - P(AB) P(AC ) - P(ABC ) 1= 0.25 - 0.100.05 -0.02 = 0.12(2) P(aUbUc)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)P(AC)-P(BC) +P(ABC )= 0.25 0.200.16 - 0.10.050.040.02 = 0.44 .一维随机变量x _ 0 ,求 PX <

7、;1。x ： 01、(1 一 2e ) n ,.一 、，1 (1 *X)e1. 设随机变量X的分布函数为F (x) = *0Ax ,0 < x < 12 .已知随机变量 X的密度为f(x)=，求A。0 ,其它-be= Axdx = =1.02由 f(x)dxJ -oo3 .随机变概率密度为3=1守"求C。4.若 X N(2,o2)，且 P2<X <4=0.3,求 PX <0。解 0.3=pl2 ：X ： 4 ：> = ；.：，2 _：.：，2 =：.：， -0.5 I。I。J故 中！2=0.8 ,px <°=中！2) = 1 中！2

8、)=0.2。JJ Se xZ0，5.随机变量X的概率密度为:f (x)=，求随机变量Y =2X +1的概率笞度。0 x < 0设 y =2x +1，贝U y一一、y -1=2 >0，反函数x =，于是Y = 2X +1概率密度为:fY (y)2y X,故 fY(y) = «e 2 U1。y : 10 y ： 16. 设随机变量X在1,4上服从均匀分布，现在对 X进行3次独立试验，则至少有 2次观 察值大于2的概率为多少？r1解 X的概率密度为：f(x)=34 ° 一次试验观察值大于 2的概率为：0 其他P( X . 2 = 41dx =Z 2 33设3次独立试验

9、观察值大于 2的次数为Y ,则丫B 3, 2 i,从而：< 3；阳羽=c/2Lnc33¥3=%333 3277. 设随机变量 X N (2,疽)，且 P(2 <X <4) =0.3，求 P(X <0)。解 根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有P(X :： 0) = P(X :： 2) - P(0 _ X ： 2)= 0.5P(2 : X 土4) = 0.5 - P(2 ： X : 4)= 0.5 0.3 = 0.28. 如果函数f (x) = Ae * ,< x <松，为某个随机变量的概率密度，求 A 。10解因为f (x)dx =1，而J

10、皿J-xAe Ex0二 AeJ皿xdx.0Ae %x = A 十 A = 2 A。9.已知X的概率分布为X-10121111Pk8842求Y = X 2的分布律.Y10141111Pt8842Y0 14131Pt8 8 2_(x -y ),x.二维随机变量1 e1 .右(&,。)的联合概率笞度为：f (x , y) = 1 0(1)确定常数k;(2)求 P(£ <2,n <2)。解 (1)-feee "dx0(2)P ： 2,: 2)二 y 1e dy =-，故 k = 122,I l；(x, y)dxdy =20e“dx2-y2 2e dy = (1

11、- e )2.设随机变量(X ,Y )的密度函数为f(x, y)=:x:1,0 ：: y其他:1,求概率P( X <0.5,Y < 0.6)。0.6解 PX : 0.5,Y : 0.6)=0.5_.f (x,y)dxdy0 .60.5= dy dx0 0= 0.33 .设二维随机变量(5 )的分布函数1F x, y = A B arctan x A B arctan y 1 A _ B arctan x A _ B arctan y-2求常数A, B ； (2)求P (匕芝0,M芝0 )。解(1) 令 F (松，+8)=(A+B)21+1(AB)2)=12 < 2 2 )F(

12、q,_oo)=(A生 B)2 1 十 1(A 十三 B)2 )=0,得 A=1,B=1 222)2 jt(2) P _0, _0 =1 P( "： 0) P( ： 0) P ： 0,: 01199=1 T (0,一) F (,“.；，0) F (0 , 0) =1 -=2 232324.两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别为x1000F x = 1-e0, 求系统的寿命短于,x 0x _01000小时的概率。解 串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为,p = P (: 1000 ) P( : 1000 ) -P ( : 1000 ,: 1000 )=F (

13、1000 ) F (1000 ) -F (1000 )_J_JJ 2_2= 1_e 1e (1e )=1e四.随机变量的数字特征1 .设随机变量X服从参数为 乳的泊松(Poisson)分布，且已知e (X 1)(X -2)=1,求 兀。解 因 EX = DX =入，有 1 = E(X 2 3X +2) = DX +(EX )2 3兀 + 2 =舄2 2舄 + 2 , 从而九=1。2. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求E(X +e业X)。解 Ee 尊=e'xe"dx = Q"3exdx / 3 =1 / 3,X14从而 E (X e )=1，一=。3 3 .设随

14、机变量X和Y的相关系数为0.5 ,EX =EY=0 , EX 2 = EY 2 = 2，求E(X+Y)2。 解 利用期望与相关系数的公式进行计算即可。因为E(X Y)2=EX2 2E(XY) EY2=4 2 cov( X ,Y) EX EY=42 ：、XY DX DY = 42 0.52 =6说明：本题的核心是逆向思维，利用公式E(XY) =cov( X,Y) +EX EY o4.设两个相互独立的随机变量X和丫的方差分别为解 由方差的性质，得 D(2X _3Y) =4DX +9 DY6和3，求随机变量2X 3Y的方差。=24 + 27 = 51 。5.设连续型随机变量X的分布函数为解随机变量X

15、的概率密度为：f (x)0 x ： 0F (x) = < x30 4x1，则求 EX 。r 23x 0 Sx1=F (x) = ,0 其他EX-bexf (x)dx =i一 3 ,3x dx-01,故 f 3x3dx = 3 /4。-05. 设随机变量X的方差为2,求根据切比雪夫不等式有估计P，X E(X)占2。 r, D (X )21解 由切比雪夫不等式，有 px -E(X ) >2一 =一。24 26. 设随机变量X和丫的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数p=0.5,则根据 切比雪夫不等式求 PX -Y芝6。解 E(X _Y) =0，关键要求X -Y的方差。D (X

16、-Y) =cov (X -Y, X -Y) = DX - 2 cov (X ,Y) DYcovX ,Y) = "、DX DY =0.5、.14=1D (X -Y) =1 -2 +4 =3 ,于是pX -Y M6M=工。16212六七章.数理统计X及S分别表示样本均值和均方差，则1 .样本(X1, X2,X9)取自总体 X N (0,1),Xf=:服从什么分布?S / 10X因为X1,X2/L , X9独立同分布,X k N (0,1)，所以=:t(10 1) =t(9),S/ .10设随机变量 X1,X2，Xn相互独立， 且 XiN (0,1), i =1,2，,n则222服从什么分

17、布。=X1 X2Xn解:x2(n)23.设总体 X N (2,4 ),X - 2. N (0,1),故选择4 nr '. X 2 X1,X2，Xn为X的样本，则厂服从什么分布。4 n解因X N (2,42)，所以X N 2,4 I,标准化后，有X _24 . nN (0,1)1 .4.设随机变量XF ( m, n )则一服从什么分布。X解 F (n,m)5 .设总体 X N ( ,3'E(XE)2 M0.1 成立,)，Xi,X2,则样本容量,Xn为取自总体的一个样本, n至少应取多大？X为样本均值，要使解 E(X2-m)= DX1=-DXn=上32苴0.1 ,得 n6.设总体X的概率密度为:a(a +1)x0 ： x : 1，其中a> 1 ,求a的极大似 其它然估计。解：似然函数为:In L ( a) = nln( acln L( a) nnL(a) =口 i 土n+1) +£ a In xii =