三重积分的计算ppt课件

1、三重积分 的计算用先二后一方法化三重积分为三次积分用先二后一方法化三重积分为三次积分0zyx ( , , )Mf x y z dVzzdzdczD将将往往 z 轴上投影得投影区间：轴上投影得投影区间： , cd用平面用平面 z = z ( z c , d , 取定取定 ) 截截得截痕面得截痕面 Dz , 则区间则区间 z , z + dz 所对应的所对应的薄柱体微元的质量为薄柱体微元的质量为:( ) ( , , )zDdm zf x y z dxdydz(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF； (4)最后计算单积分最后计算单积分 d

2、cdzzF)(即得三重积分值即得三重积分值. z Ddxdydzv例例 dcdzzA)( ZDdxdyzA)( ZDdcdxdydz2( , )zz x y1( , )zz x y0zyxxyD若把被积函数若把被积函数 f (x , y , z)设想为密度函数设想为密度函数 , 那么那么( , , )Mf x y zdV在在 Dxy 中任取一微元中任取一微元 , 其坐标为其坐标为 ( x , y ) ,dd那么那么 对应的对应的 , 平行于平行于 z 轴的轴的 , 中的细棒质量中的细棒质量 d21( , )( , )( , ) ( , , )zx yzx ydm x yf x y z dz d

3、xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直线线过过点点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz dxdydzv求求12vv DDdxdyyxzdxdyyxz),(),(12 Ddxdyyxzyxz),(),(12 ),(),(21yxzyxzDdzdxdydzzyxfdxdydxdydzzyxfDDyxzyxz ),(),(21),(),(先一后二法一般步骤：先一后二法一般步骤：。面面上上投

4、投影影，得得到到向向Dxoy )1( xyzo D )2(轴轴投投影影，得得到到向向 xDab ).()(, :21xyyxybxaD,),( )3(作直线作直线过点过点Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 1z2z),(yx ).,(),(),()( , :2121yxzzyxzxyyxybxa事实上，事实上， dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx,dddcos43zyxzyxIV .20, 10, 10),( zyxzyxV 解120 I113400ddxx yy3420cosxyDx yzdz d 例例 计算三重

5、积分计算三重积分其中其中V是长方体是长方体 xyzO: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式例例 求求 zxzyxyeyzxI10)1(1010d)1(dd2111解解2ye 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,应先应先x x对积分对积分10d dy2114e一定要交换积分次序一定要交换积分次序. I1 zyxxyzO 10d)1(yy yzyz

6、ye102)1()1(d2211011d d()()()yy zy eyzz 21(1)0(1)dxyzy zy zDy ed zyxzddd zDyxdd1| ),(zyxyxDz zDyxdd截面法截面法( (先二后一法先二后一法) )解解)1)(1(21zz 10dzz计算三重积分计算三重积分 ,dddzyxz为为其中其中 例例.1所围成的闭区域所围成的闭区域三个坐标面及平面三个坐标面及平面 zyx原式原式= zzzd)1(21210.241111xyzO1 zyxzD0,r ,20 z规定规定xyzo r),(zyxM( , )P r , ,rz , ,r 直角坐标与柱面坐标的关系为直

7、角坐标与柱面坐标的关系为cos ,xr zz 就叫点就叫点M的的柱面坐标柱面坐标.设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,并设点并设点M在在xOy面上的投影面上的投影P的极坐标为的极坐标为则这样的三个数则这样的三个数sin ,yr 2、在柱面坐标系下计算三重积分、在柱面坐标系下计算三重积分为为常常数数r为常数为常数z为常数为常数 柱面坐标系中柱面坐标系中, 以以z轴为中心轴的圆柱面；轴为中心轴的圆柱面；过过z轴的半平面轴的半平面.与与xOy平面平行的平面平面平行的平面;三坐标面分别为三坐标面分别为),(zyxM),( rPxyzO rxyzo柱面坐标系中的体积元素为柱面坐标系中的体积

8、元素为zrrvdddd V 在柱面坐标系中在柱面坐标系中, 如图如图,V 得小柱体得小柱体即即(红色部分红色部分).若以三坐标面分割空间区域若以三坐标面分割空间区域 rddr dz drdrdz d zyxzyxfddd),( (f,cos r,sin r) zzrrddd ),(),(21d),sin,cos(rzrzzrzrrf )()(21drrr d 注注通常是先积通常是先积再积再积后积后积r、z. 02 04sin ,zr 04,r 解解 例例d22,xyv 计算计算2216xy 所围成.积分域用柱坐标表示为积分域用柱坐标表示为512.3 d20 d4sin0rz d420rr r

9、原式原式r d d drz 其中其中由柱面由柱面4,0yzz 及及平平面面: 4r y4xO20 ,0az ,cos20 r解解2cosr例例,d22 vyxz计计算算)0(0222 yxyx 所围成.积分域用柱坐标表示为积分域用柱坐标表示为.982a 20d azz0d cos202drr zr原式原式rzrddd 其中其中由半圆柱面由半圆柱面0, 0, 0 azzy及及平平面面: Oxy2 xyzO0222 xyxxyzOaz 0222 xyxxyzOaz 0222 xyx, 0,22221 zRzyx：设设空空间间区区域域 ;d4d)(21 vxvxA;d4d)(21 vyvyB;d4d

10、)(21 vzvzC.d4d)(21 vxyzvxyzDC那么那么( )成立成立.三重积分三重积分22222,0,0,0,xyzRxyz： P zyxA,0 记投影向量与记投影向量与x轴正方向的轴正方向的.20 ( , , ) 规定规定, 0, ),(zyxM OM再再将将正方向间的夹角为正方向间的夹角为轴轴与与zOM, 偏转角为偏转角为球面坐标球面坐标.称称为点为点M的的之之长长为为记记向向量量OMxyzO设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,向向xOy平面投影平面投影, 3、在球面坐标系下计算三重积分、在球面坐标系下计算三重积分 为常数为常数为常数为常数 球面坐标系中的三坐标面

11、分别为球面坐标系中的三坐标面分别为原点为心的球面；原点为心的球面；过过z轴的半平面轴的半平面球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为sinsin ,y sincos ,x cosz 为为常常数数 原点为顶点、原点为顶点、z轴为轴为轴的圆锥面；轴的圆锥面； zyxA),(zyxM xyzOyzxxyzOxyzOxyzOxyzO2、球面坐标曲面、球面坐标曲面:rc一族以原点为中心的球面一族以原点为中心的球面 :c一族过一族过 z 轴的半平面轴的半平面 :c一族以原点为顶点一族以原点为顶点 , 以以 z 轴为对称轴为对称 轴的圆锥面轴的圆锥面zyxrczyxczyxc直角坐标与球面坐标的

12、关系Moxyzzr0200rcossinrx sinsinry cosrz sinrcosrz xyzo如下图, 在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv d球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为xyzo d d d d V ddsindsin d dsindddsind2v zyxzyxfddd),()cos (f,sinsin ,cossin dddsin2如积分域如积分域为球域为球域(如图如图).: 那么那么,0 ,0R 20 xyzO解解4 ,40 22222azyx 由由22yxz 由由: ,20a 采用采用例例由锥面和球面围成由锥面和球面围成, , 所围成

13、的立体体积所围成的立体体积. .2222222xyzazxy球面坐标球面坐标 V zyxddd1 a20020ddd4.)12(343a 403d3)2(sin2 a sin2xyzOa2 20求曲面求曲面 与与计算计算dvx2其中其中 由由222yxRz围成围成.22yxz与与:02 ,0,0,4rR 2222224000cossinsinRx dvddrrdr 5125 2()5312R 解：解： .d)(vzx求求解解 vzxd)( vxd vzd 积分域积分域被积函数是被积函数是 vxd围成的空间区域围成的空间区域, ,x的奇函数的奇函数.面面对对称称，关关于于yOz0 vzd ddc

14、os 2sin d 014 200)(20 )sin21(402 1401()4.8 球球xyzO22221zxyzxy 设设是是曲曲面面与与4、三重积分的换元法、三重积分的换元法设被积函数设被积函数( , , )f x y z在空间闭区域在空间闭区域上连续上连续,若变换若变换( , ,),( , ,),( , ,)xx u vyy u vzz u v 满足如下条件满足如下条件:(1)Ouv 将将空空间间 - -中中的的闭闭区区域域上上的的点点一一对对一一的变换为的变换为O-xyz中的闭区域中的闭区域上的点上的点;(2)( , ,),( , ,),( , ,)xx u vyy u vzz u

15、v 在上在上有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数, 且雅可比行列式且雅可比行列式( , , )( , ,)x y zJu v xxxuvyyyuvzzzuv 0 设被积函数设被积函数),(yxf在区域在区域D上连续上连续,若变换若变换),(),(vuyyvuxx 满足如下条件满足如下条件:( , , )f x y z dv f ( , ,),x u v ( , ,),y u v d du vd ( , ,)z u v | J 例例解解2222221,xyzIdvabc 计计算算sincossinsincosxaybzc 在这变换下在这变换下所围成的闭区域所围成的闭区域.2222221xyzab

16、c ( , , ) 01 , 0,02 其中其中为椭圆面为椭圆面作广义球坐标变换作广义球坐标变换2222221xyzIdvabc 214abc 2sinabc2dd212000sin1abcd 球坐标球坐标( , , )( , ,)x y zJu v 221sinabcd d d az cosa 222zyx 4 0.cosa 解解 法一法一 采用采用,40 : ,20 ,ddd)(22zyxyxI 计计算算 例例 是锥面是锥面其中其中 所围的立体所围的立体. .)0(222 aazzyx与与平平面面球面坐标球面坐标xyzOaz 222zyx zyxyxIddd)(22ddd24cos000a

17、 d)0cos(51sin255403 a.105a sincossinsincosxyz 0cosa ,40 : ,20 43sindd d d2sinv zyxyxIddd)(22ddd2200aarr rrz d302()ararr 54254aaa .105a azzyx222rza 法二法二 采用采用:xyD: 0,ra,20 柱面坐标柱面坐标222ayx zr222ayx xyzOaz 222zyx 解解2)(zyx 222zyx 对称性质对称性质)(2zxyzxy 是是关关于于yzxy 关关于于且且 vyzxyd)(0例例,d)(2vzyx 计计算算是抛物面是抛物面其中其中 所围

18、成的空间闭区域所围成的空间闭区域.,的奇函数的奇函数y.面对称面对称zOx222222 zyxyxz和和球球面面同理同理,的的奇奇函函数数是是关关于于xzx.面面对对称称关关于于且且yOz vxzd0 xyzO2222 zyx22yxz vzyxd)(222 计算计算 20 01r 222rzr d132202( 2)rrrr ddd22212300rrrrz vyxd)(22 d d d3rrz vzyxd)(2 柱坐标柱坐标 ).19216(15 xyzO2222 zyx22yxz ).89290(60 vz d2 ,1323260 所以所以dd221220rrr rzz 20d 对称性质对称性质vzyxd)(