中考数学 第一部分 基础知识过关 第一章 数与式 第4讲 二次根式课件 (19)

1、第第1515讲讲 全等三角形与尺规作图全等三角形与尺规作图泰安考情分析泰安考情分析基础知识过关基础知识过关泰安考点聚焦泰安考点聚焦总纲目录总纲目录随堂巩固练习随堂巩固练习泰安考情分析基础知识过关知识点一知识点一 全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定知识点二知识点二 角平分线的性质角平分线的性质知识点四知识点四 三角形中位线定理三角形中位线定理知识点三知识点三 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质知识点五知识点五 尺规作图尺规作图定义能够 完全重合 的两个三角形叫做全等三角形性质角对应角 相等 线段对应线段(边、角平分线、中线、高线、中位线)相等周长、面积周长相等, 面积 相等判定三

2、边 SSS 两角一边 ASA、AAS 两边一角SAS直角三角形HL知识点一知识点一 全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定温馨提示温馨提示 判定两个三角形全等的条件中至少有一条边对应相等.知识点二知识点二 角平分线的性质角平分线的性质1.1.角平分线的性质定理角平分线的性质定理(1)定理:角平分线上的点到角两边的距离 相等 ;如图,OP平分AOB,PDOA于点D,PCOB于点C,则PC=PD.(2)逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在 角的平分线 上.2.(1)三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.(2)如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这

3、条边的对角的两边对应成比例,那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.知识点三知识点三 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质线段的垂直平分线线段的垂直平分线性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等 判定定理到线段两个端点距离相等的点在这条线段的 垂直平分线 上定理:如图,线段AB的垂直平分线为直线MN,则有AM=BM.推论:若AM=BM,则点M在线段AB的垂直平分线上.知识点四知识点四 三角形中位线定理三角形中位线定理三角形中,两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半.在这个定理中,包含两个结论,一个是位置关系的“平行”,一个是数量关系的“相等”.推论:经过三

4、角形一边的中点,且平行于另一边的直线,必平分第三边.这条推论是应用三角形中位线定理添加辅助线的基础.定理:如图,ABC中,点D和点E分别是AB和AC的中点,则DEBC,且DE=BC.推论:若点D为AB的中点,且DEBC,则E为AC的中点,且DE=BC.1212知识点五知识点五 尺规作图尺规作图1.尺规作图:限定用直尺(没有刻度)和圆规作图.2.尺规作图的类型 类型步骤图示基本作图作一条线段等于已知线段1.作射线OP;2.在OP上截取OA=a,OA即为所求作的线段作一个角等于已知角1.以点O为圆心,以任意长为半径作弧,交的两边于点P、Q;2.作射线OA;3.以O为圆心,OP长为半径作弧,交OA于

5、点M;4.以点M为圆心,PQ长为半径作弧,两弧交于点N;5.过点N作射线OB,AOB即为所求作的角作已知角的平分线1.以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于点N、M;2.分别以点M、N为圆心,大于MN长为半径作弧,两弧相交于点P;3.作射线OP,OP即为所求作的角平分线作线段的垂直平分线1.分别以点A、B为圆心,大于AB长为半径,在AB两侧作弧,两弧分别交于M、N两点;2.过点M、N作直线MN,MN即为所求作的垂直平分线1212基本作图过一点作已知直线的垂线1.以点O为圆心,任意长为半径向点O两侧作弧,交直线于A、B两点;2.分别以点A、B为圆心,大于AB长为半径向直线两侧作弧,两弧

6、分别交于M、N两点;3.过点M、N作直线MN,MN即为所求作的垂线1.在直线另一侧取点M;2.以点P为圆心,PM长为半径画弧,交直线于A、B两点;3.分别以A、B为圆心,大于AB长为半径画弧,交M同侧于点N;4.过点P、N作直线PN,PN即为所求作的垂线1212拓展类型已知一直角边长m和斜边长n作直角三角形1.画两条互相垂直的直线,垂足为C,在其中一边上截取CA=m;2.以点A为圆心,n为半径画弧,与另一边交于点B;3.连接AB,RtABC即为所求作的三角形作圆的内接正多边形1.过圆心O作任意一条直径记为AC;2.作AC的垂直平分线,分别交圆于点B、D;3.连接AB、BC、CD、DA,正方形A

7、BCD即为所求作的正方形作圆(半径为R)的内接正六边形1.画圆(半径为R)的任意一条直径AB;2.分别以点A、B为圆心,R为半径画弧,与圆相交于点C、D、E、F;3.依次连接各点,正六边形ACEBFD即为所求作的正六边形泰安考点聚焦考点一考点一 全等三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定考点二考点二 角平分线的性质角平分线的性质考点三考点三 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质考点四考点四 三角形中位线定理三角形中位线定理考点五考点五 尺规作图尺规作图考点一考点一 全等三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定中考解题指导中考解题指导全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应

8、中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系.属于泰安中考的必考考点.例例1 1如图,AD是ABC的角平分线,DEAC,垂足为E,BFAC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分ABF,AE=2BF.给出下列四个结论:DE=DF;DB=DC;ADBC;AC=3BF,其中正确的结论共有( A )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个解析解析BFAC,C=CBF, BC平分ABF,ABC=CBF,C=ABC,AB=AC,AD是ABC的角平分线,BD=CD,ADBC,故正确;在CDE与BDF中,CDEBDF(ASA),DE=DF,CE=BF,故正确;,CDBFCDBDEDCFDB AE=2BF

9、,AC=3BF,故正确,故选A.变式变式1-11-1 (2018临沂)如图,ACB=90,AC=BC.ADCE,BECE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是( B )A. B.2 C.2 D. 32210解析解析BECE,ADCE,E=ADC=90,EBC+BCE=90.BCE+ACD=90,EBC=ACD.在CEB和ADC中,CEBADC(AAS),BE=DC=1,CE=AD=3.DE=EC-CD=3-1=2,故选B.,EADCEBCDCABCAC 考点二考点二 角平分线的性质角平分线的性质中考解题指导中考解题指导涉及角平分线的应用时,常需作辅助线以便于运用其性质.例例2

10、2如图,ABCD,BP和CP分别平分ABC和DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是( C )A.8 B.6 C.4 D.2解析解析过点P作PEBC于点E,ABCD,PAAB,PDCD,BP和CP分别平分ABC和DCB,PA=PE,PD=PE,PA=PD,PA+PD=AD=8,PA=PD=4,PE=4,故点P到BC的距离是4.变式变式2-12-1如图,AD是ABC中BAC的平分线,DEAB于点E,SABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( A )A.3 B.4 C.6 D.5解析解析 SABC=7,SABD=ABDE=4,SACD=3,根据角平分线的性质,ACD

11、中AC边上的高线=DE=2,AC=3.12考点三考点三 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质中考解题指导中考解题指导线段垂直平分线中有两组线段相等:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;线段被垂足分为两条相等的线段.例例3 3如图,在ABC中,按以下步骤作图:分别以点B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,B=25,则ACB的度数为 105 . 12解析解析MN为BC的垂直平分线,BCD为等腰三角形,B=25,BCD=25,CDA=B+BCD,AC=CD,CAD=CDA=50,在ACD中,ACD=80,ACB=1

12、05.变式变式3-13-1如图,在ABC中,AB=AC,BAC=36,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a,b的代数式表示ABC的周长为 3b+2a . 解析解析DE是线段AC的垂直平分线,AE=EC=b,易证B=BEC=72,在BCE中,BC=EC=b,又AC=AB=a+b,ABC的周长为3b+2a.考点四考点四 三角形中位线定理三角形中位线定理中考解题指导中考解题指导三角形的中位线定理中,既涉及位置关系,又涉及数量关系.在具体应用时,应灵活选择应用.尤其当图形中出现多个线段中点时,往往连接两个中点构造三角形的中位线.例例4 4如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD

13、、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点.若AB=8,AD=12,则四边形ENFM的周长为 20 . 解析解析M、N分别是边AD、BC的中点,AB=8,AD=12,AM=DM=6,四边形ABCD为矩形,A=D=90,BM=CM=10,E、F分别是线段BM、CM的中点,EM=FM=5,EN,FN都是BCM的中位线,EN=FN=5,四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20.变式变式4-14-1 (2018临沂)如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法:若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;若ACBD,则四边形EFGH为菱形;若四边形EFGH是平行

14、四边形,则AC与BD互相平分;若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是( A )A.1 B.2 C.3 D.4解析解析因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线ACBD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且ACBD时,中点四边形是正方形,故只有正确,故选A.考点五考点五 尺规作图尺规作图例例5 5 (2018青岛)已知:如图,ABC,射线BC上一点D.求作:等腰PBD,使线段BD为等腰PBD的底边,点P在ABC内部,且点P到ABC两边的距离相等. 解析解析如图所示:等腰PBD即为所求.变式变式5-15-1 (20

15、18潍坊)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;(3)连接BD,BC.下列说法不正确的是( D )A.CBD=30 B.SBDC=AB2C.点C是ABD的外心 D.sin2A+cos2D=134解析解析由(1)可知,AB=AC=BC,ABC为等边三角形,A=ACB=ABC=60,SABC=AB2.由(2)可知CD=AC=BC=AB,CBD=D=ACB=30,SBDC=SABC=AB2,点C是ABD的外心.故选项A、B、C说法正确,故选

16、D.341234一、选择题一、选择题1.如图,下列条件中,不能证明ABCDCB的是( D )随堂巩固训练A.AB=DC,AC=DB B.AB=DC,ABC=DCBC.BO=CO,A=D D.AB=DC,A=D2.如图,在方格纸中,以AB为一边作ABP,使以点A,B,P为顶点三角形与ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有( C )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.如图,ABC中,AB=AC,AD是角平分线,DEAB,DFAC,E、F为垂足,对于结论:DE=DF;BD=CD;AD上任一点到AB、AC的距离相等;AD上任一点到点B、C的距离相等.其中正确的是

17、( D )A. B.C. D.二、填空题二、填空题4.(2018山西)如图,直线MNPQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;分别以C,D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧在NAB内交于点E;作射线AE交PQ于点F.若AB=2,ABP=60,则线段AF的长为 2 . 123解析解析过点B作BGAF交AF于点G,由尺规作图可知,AF平分NAB,NAF=BAF.MNPQ,NAF=BFA,BAF=BFA,BA=BF=2.BGAF,AG=FG,ABP=60,BAF=BFA=30.在RtBFG中,FG=BFcosBFA=2=,AF=2FG=2.32335.如图,在ABC中,已知1=2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE = 3 . 解析解析在ABE和ACD中,ABEACD(AAS),AD=AE=2,AC=AB=5,CE=BD=AB-AD=3,故参考答案为3.12,AABECD 6.如图,已知ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接CD,CD= 5 . 解析解析 AB=10,AC