西城区二模数学理及答案

1、北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合要求的一项1. 设集合¢/=1,2,3,4,5）, A = 1,2,3, B = 3,4,5）,则 Cl（AB）等于A. 1,2,3,4,5 B. 1,2,4,5 C. 1,2,5 D. 32. "lnx> 1” 是 “x>l” 的A. 充分不必要条件 JB.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 若b<a<O,则下列不等式中正确的是A. > B 16/1 > I ? I C一一>2

2、 J D a + b > （Iba b1111a b正（主）视图C. 22D. 44. 如图，三棱柱ABC-AqCl的侧棱长和底而 边长均为2 ,且侧棱AAI丄底而ABC,英正（主） 视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左） 视图的而积为5. 数列色满足al=l9 a2=39 an=(2n-)an 5 = 1,2,)，则角等于A. 15 B. 10 C. 9 D. 5开始）f = 0, = 0,s = 06. 在数列an）中，"=1, Un =+ n ,n2.为汁算这个数列前10项的和，现给出该 问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断 框（1）处合适的语句是A. i8B.

3、 i9C. z10D. zll7. 设集合S = 12,9,集合A = al9a2ya3 是S的子集，且4<2山3满足qvivy，-a29那么满足条件的子集A的个数为A. 78 B. 76 C. 84 D 83 8. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD, RAB = 2AD.设ADAB = B' 0w（0,兰），以A, B为焦点且过点D的 2双曲线的离心率为以C, D为焦点且过点A的椭圆的离A BA. 随着角度&的增大,B. 随着角度&的增大,C. 随着角度&的增大,D. 随着角度&的增大,弓增大，SS为定值勺减小，0向为立值 勺增大，也增大e

4、l减小,eje2也减小心率为勺,则二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.某区髙二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学 的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方 式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分： 第二组，成绩大于等于60分且小于70分；第五组， 成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所 示的频率分布直方图八频率/组距0.0450.00500.025型50 60 70 80 90 100A P则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有名.10. 在（/+丄）6的展开式中，常数项是（结果用数值表示）11. 如图，WC

5、是圆的内接三角形，PA切圆于点A, PB交圆于点、D 若 ZABC = 60 , PD = I , BD = 8 ,则ZPAC =, PA=.X = 1 +返cos®.12圆CHL（8为参数）的半径为，若圆C与直线x-y + w = 0相y = 2 + 2sin切，贝IJ加=13. 设“上,c为单位向咼，“"的夹角为60 ,则（a+b + c）c的最大值为14. 已知函数fM = ex+anx的泄义域是D,关于函数/（Q给岀下列命题: 对于任意6（0,+co）,函数/（X）是D上的减函数： 对于任意w(-8,0),函数/(x)存在最小值： 存在dw(O,+8),使得对于任意

6、的XED,都有f(x)> O成立; 存在"G(P,O),使得函数/(X)有两个零点.英中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)、三. 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步 骤.15. (本小题满分13分)如图，在四边形ABCD中，AB = 3 AD = BC = CD = 2, A = 60 .(I )求 Sin ZABD 的值;(II)求ABCQ的而积16. (本小题满分13分)一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5,现 从盒子中随机抽取卡片.(I) 若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，

7、求恰有两次取到的卡片上数字 为偶数的概率：(II) 若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取岀的卡片不放回，当取到一张记有 偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望.17. (本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD-AIBCD中，AQ丄平而ABCD,底而ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1 =2(I )求证：GD/平而 ABBIAi:(II)求直线BD与平而AICID所成角的正弦值:(HI)求二而角D-A1C1-A的余弦值.18. (本小题满分13分)已知 dh,函数 f (x) = X1 +ax .设 A-I (-oc,-),记曲线 y =/(x)在点 2MGVI

8、(x1)处的切线为人/与X轴的交点是N(X,W), O为坐标原点(I )证明：也=一-IXA + aa-fa(II)若对于任意的XH(-叫一一)，都有OMQV> 成立，求"的取值范围.2 1619. (本小题满分14分)7 y2如图，椭圆CX +=1短轴的左右两个端点分别为43 ,直线Ily = kx + 与X轴、420. (本小题满分14分)在数列"”和“中，Un = a,', bn =(a + Y)n+b , " = 1,2,3,其中 a2 且"wN*, b&R.(I) 若al=bl, a2<b2f求数列化的前”项和：(I

9、I) 证明：当a = 2,b = 2时，数列仇中的任意三项都不能构成等比数列：(III) 设A = al9a2ia3, B = %$,$,试问在区间1,G上是否存在实数b使 得C = ArI3 H 0.若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合C ：若不存在，试说明 理由.北京市西城区2010年抽样测试参考答案高三数学试卷（理科）2010.5一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.题 号1 2345678答 案BACBACDB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 4010 1511. 60 ,312. 2 ,3或一 113. 3 + l14.注：两空的题目，第一个空2

10、分，第二个空3分.14题选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.5分7分三、解答题：（本大题共6小题，共80分若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分 标准给分）)所以Sin ZABD =sinA.232?=× =727BD(II)在 5CD 中，BD2 = BC2 + CD2 - 2BC CD CoS C ,9分11分7 = 4÷4-2x2×2cosC, CoSC =因为 CV (0, Ti) t 所以 Sin C =-8所以,1 3遊D的而积"严8“心吕.13分16、解：（I ）设A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡

11、片上数字为偶数S2 由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为二,5则 P(A)Y(I).|(II)依题意，X的可能取值为1,2,342P(X=I) = -,5P(X=2) = = A,5×410从 3×2×21P(X =3) =-5x4x35P(X=4)= 3x2x115×4×3所以X的分布列为X10231023 IlE(X) = IX-÷2×-÷3x-÷4×- = 2.2分5分6分7分9分10分11分41To12分13分BB /CC1,17. ( I )证明：四棱柱ABCD-A百CQ中,又

12、CCl(Z 而 ABBlA,所以 CCl 平面 ABBAx ,2 分ABCD是正方形，所以CDHAB,又 CZ)ABB,l ,所以 CD平而 ABBiAi,3 分所以平而CDDICI /平而ABBlAi,所以GD/平面ABBlAI.4分(II)解：ABCD是正方形，ADLCDt因为AD丄平而ABCD,所以AD丄AD, AD丄CD,如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-z , .5分BBD1 =(-2,-1,3), 6 分因为AD丄平面ABCD,所以AQ丄平面AlClDl,AD 丄 BQ,又 BIDI 丄 A1C1,所以BQl丄平而AC1D,7分所以平AlC1D的一个法向量为刃=(1,LO),

13、设BzX与所成的角为0,f I IQ a' BDX 33则COS =!- = L L = 一_，IHl BDX 284Wl BDl3所以直线BDl与平而AtClD所成角的正弦值为玄.(In)解：设平而ACiA的法向虽:为/H = (c)>10分则 A1C1 =O½1A = O. 所以-a + h = O, U -3c = O , 令c = J5,可得加= (3,3,JT), 设二而角D-AICI-A的大小为 ,12分rllm n 642则 COSa = r-f = L L =IlIWl >22T7所以二面角D-AiCI-A的余弦值为孚13分18、解:(I )对 /

14、(x)求导数得 ff(x) = 2x + a.故切线/的斜率为2x+a,由此得切线I的方程为y - (彳+ VI ) = (2x1 + a)(x-x1).令严0,得严亠.2x1 +a2x + a2 3(H)由M(心彳+rJ,N(,0),得而页=2x1 + Cl2x1 + a所以a = 0符合题意,当 C > O时，记 (XI) = -, XI (-oo,-). 2x1 +a2对洛)求导数，御如=密券令 g'(j=o,得 x = e) *乙当Xl (-OO,-)时，g,(Xl)的变化情况如下表:2XlY-半)43a-T-g,W0+所以，函数g(xj在(-co,-)上单调递减，在上单

15、调递增，10分44211分12分13分从而函数S(Xi)的最小值为(-) = =Ul3 2初阳乂 27 2321622解得u> ,即的取值范围是(,+“)332综上，的取值范用是(二,乜)或“ =019、解：(I )设 CCVpyl x D(X2O12) *4JV- +、广=4由 J '得(4 +疋)宀2也-3 = 0,V = AX+ 1 = 4疋+ 12(4 + /) = 16 疋+48,-Ik-3由已知 E(一丄,0),F(0,1),k又CE = FD.所以_yj = (x”_l)4 分K所以一丄一X=x八即XI +x1 =- t5分kk_2£1所以丄r,解得k=&

16、#177;2,6分4 + kk符合题意，所以，所求直线/的方程为2x-y + l=0或2x+y-l=0(II) k=-9匕：匕=2:1,Xl +1- XI-I所以 ''2(為_1)=?, ”区+1)1平方得 -lI)' =4, XU2+r又x12+L = 1,所以y12 =4(1-xl2),同理衣=4(1一卅),代入上式,4计算得t,即嘶+53F亠。12分所以込K)Z =。,解得"3或q,13分因为'Z j)=2, X,(-1J),所以y,o异号，故舍去k = L,”也+1)13所以k = 3.14分20、解：(I )因为q=b,所以a = a + +

17、b.方=1,1 分由 a2 < b1,得/一2d-IvO 所以I-2<6<l + 2 ,3 分因为a2且"wl,所以a = 2,4分所以=3zz-l, 化是等差数列，所以数列化的前n项和S,r = IbX +) = r +z.5分(II )由已知亿=3“ +血，假设3m + 2 , 3n + 2 , 3r + 2成等比数列，其中 m,neN*,且彼此不等，则(3“ + 2)2 = (3加 + 2)(3r + 2),6 分所以 9"，+ 6y2n + 2 = 9mt + 3近m 十+ 2 ,所以3“ -3mt = (n + t-2n)yj2 ,若 7 + /

18、-2" = 0,贝J3n2 -3m = 0,可得 m = t,与加 矛盾; 7 分若? + / 2“ H0,则m+t-2n为非零整数,(m + t-2n)>2为无理数,所以3用一3加为无理数，与372 一3M是整数矛盾. 9分所以数列乞中的任意三项都不能构成等比数列.(IlI)设存在实数be,at 使C = AB0,设 w0 C ,则 mQ A ,且 m0 e B,设w0 = CIt(r N*) t 叫=(a +1)5 + b(s N*),则a, =a + )s + b9 所以S = -9么+ 1因为,5N且2,所以at能被0 + 1整除. 10分(1) 当/ = 1 时，因为be,a,/-Z?Oz-l >所以5 = 11分a + (2) 当r = 2z(nN*)时，-7 = (d + l)-l2w-Z7 = ( + l)2w+.-CjnG/ +1) + 1-Z?.由be.a,所以&quo