必修二 第二章空间点、线、面之间的位置关系

1、必修二 第二章空间点、线、面之间的位置关系2.1 点、线、面之间的位置关系一、知识梳理：1平面概述：（1）平面的两个特征：无限延展 平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。（4）点A在直线上，记作：；点A在平面内，记作：；直线在平面内，记作2.平面的基本性质:公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）如果两个平面有一个公共点,那么它

2、们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线符号语言A、B、C不共线A、B、C确定平面公理2 推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。典型例题： 如图在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：直线在平面内；设上下底面中心为，则平面与平面的交线为；点可以确定一平面；平面与平面重合.练习：1. 下面说法正确的是（ ）.平面的面积为个平面重合比个平面重合厚空间图形中虚线都是辅助线平面不一定用平行四边形表示. A. B. C. D.2. 下列结论正确的是（ ）.经过一条直线和这条直线

3、外一点可以确定一个平面经过两条相交直线，可以确定一个平面经过两条平行直线，可以确定一个平面经过空间任意三点可以确定一个平面 A.个 B.个 C.个 D.个3. 如图在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线上 B.在直线上 C.在直线上 D.都不对 3.空间两直线的位置关系:公理4（空间平行直线性质定理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行，即（空间）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等 或 互补（1） 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（既不相交，也不平行）。（2）异面直线的画法有如下几种(异面)： 异面直线所成的角：

4、如图2-2,已知两条异面直线，经过空间任一点作直线 ,，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 图2-2异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图，则直线与直线是异面直线. 典型例题： 在正方体中，求下列异面直线所成的角.和 和 练习：1. 为三条直线，如果，则的位置关系必定是（ ）.A.相交 B.平行 C.异面 D.以上答案都不对2. 已知是异面直线，直线平行于直线，那么与（ ）. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线3

5、. 已知,，且是异面直线，那么直线（ ）. A.至多与中的一条相交 B.至少与中的一条相交 C.与都相交 D.至少与中的一条平行4. 正方体的十二条棱中，与直线是异面直线关系的有_条.5. 长方体中,=1，异面直线与所成角的余弦值是_.4、空间直线与平面的位置关系直线与平面位置关系只有三种：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行；其中，、两种情况统称为直线在平面外.观察：如图直线与长方体的六个面有几种位置关系?5、平面与平面的位置关系两个平面的位置关系只有两种：两个平面平行没有公共点；两个平面相交有一条公共直线观察：还是在长方体中，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?典型例题：例1

6、 下列命题中正确的个数是（ ）若直线上有无数个点不在平面内，则.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.A. B. C. D.例2. 已知为三条不重合的直线，为三个不重合的平面： ,； ,； ,； ,；,. 其中正确的命题是（ ）A. B. C. D.练习：1. 直线在平面外，则（ ）. A. B. 与至少有一个公共点 C. D . 与至多有一个公共点2. 已知，则（ ）. A. B.和相交 C.和异面 D.与平行或异面3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（ ）

7、. A.1对 B.1对或2对 C.1对或2对或3对 D.0对或1对或2对或3对4. 过直线外一点与此直线平行的直线有_条；过直线外一点与此直线平行的平面有_个.5. 若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是_.二、典例讲解及练习典型例题例1 如图,在平面外，求证：,三点共线. 小结：证明点共线的基本方法有两种找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可推知这些点都在交线上，即证若干点共线. 选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.例2 如图,空间四边形中，,分别是和上的点，,分别是和上的点，且相交于点.求证：,三条直线

8、相交于同一点. 小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理3得证这三线共点.例3 如图,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对? 本节小结1. 平面及平面基本性质的应用；2. 点、线、面的位置关系；3. 异面直线的判定及夹角问题.异面直线的判定方法：定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.定理法：利用异面直线的判定定理说明.反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件

9、推出矛盾. 当堂检测：1. 直线,在上取3个点，在上取2个点，由这5个点确定的平面个数为（ ）. A.1个 B.3个 C.6个 D.9个2. 下列推理错误的是（ ）. A., B., C., D., ,且,不共线3. ,是异面直线,是异面直线，则,的位置关系是（ ）. A.相交、平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面_.5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线_.6.在正方体中,分别是和的中点，求异面直线与所成的角. 7 如图,已知不共面的直线,相交于点，,

10、点是直线上两点，,分别是直线,上一点.求证：和是异面直线. 2.2线面、面面平行的判定与性质一、知识梳理1、线面平行的判定及性质直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 如图5-3所示，. 符号表示：图5-3直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。如上图（右），符号表示：判定直线与平面平行通常三种方法：利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明.利用判定定理，证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.利用平面与平面平行的性质.*：在

11、证明线线或线面平行的时候，直线和平面平行的判定定理和性质定理在解题时往往交替使用，相互转换，即线面平行问题往往转化为线线平行问题，线线平行问题又转化为线面平行问题，反复运用，直到得出结论.典型例题：例1 正方形与正方形交于，和分别为和上的点，且，如图5-6所示.求证：平面. 图5-6例2. 如图，已知，求证：. 练习：1. 若直线与平面平行，则这条直线与这个平面内的（ ）. A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.任意一条直线都不相交 D.无数条直线不相交2. 下列结论正确的是（ ）. A.平行于同一平面的两直线平行 B.直线与平面不相交，则平面 C.是平面外两点，是平面内两点，若，则平面

12、 D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个3. 如果、是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线的位置关系是（ ）. A.平行 B.相交 C.在此平面内 D.平行或相交4. 、表示直线，表示平面，可以确定的条件是（ ）. A., B., C., D.、和的夹角相等5. 已知异面直线都平行于平面，且、在两侧，若与平面相交于、两点，求证：.2、面面平行的判定及性质两个平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.如图6-4所示，. 符号表示：.图6-4推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。符号

13、表示：.两个平面平行的性质：如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面；如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。平面平行中的几个重要结论：夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交.判定平面与平面平行通用5种方法根据两平面平行的定义(常用反证法)；根据两平面平行的判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行平面的传递性)；一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直

14、线，则这两个平面平行(判定定理的推论).典型例题：1 如图6-7，正方体中，分别是棱，的中点，求证：平面平面. 图6-72 如图，且，.求证：.练习：1. 平面与平面平行的条件可以是（ ）. A.内有无穷多条直线都与平行 B.直线与都平行，且不在和内 C.直线,直线,且, D.内的任何直线都与平行2. 下列命题错误的是（ ）. A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交3. 是不重合的直线，是不重合的平面：，则 ，则 ，则且 上面结论正确的有（ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D

15、.3个4. 个平面把空间分成个部分，则（ ）. A.三平面共线 B.三平面两两相交 C.有两平面平行且都与第三平面相交 D.三平面共线或有两平面平行且都与第三平面相交5. 设是单位正方体的面、面的中心，如图，证明：平面；面面.二、典例讲解及练习复习2：线线平行、线面平行、面面平行相互之间的转化图为：判定定理性质定理线线平行 线面平行面面平行 典型例题：1 如图，在正方体中，分别为，的中点.求证：； . 2 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点，证明：直线. 小结：判断某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程.通常经历线线平行到线面平行，线面平行到面面平行，最后又回到线线平行

16、这一过程,归根结底还是线线平行.变式：如图，右面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在中间和右边画出（单位：）在所给直观图中连结，证明：面；求多面体体积. 46422EDABCFG2练习：1. 下列条件能推出平面平面的是（ ）. A.存在一条直线， B.存在一条直线， C.存在两条平行直线， D. 存在两条异面直线，2. 设为两条直线，为两个平面，下列三个结论正确的有（ ）个.若与所成的角相等，则 若，则若，则 A.0 B.1 C.2 D.33. 和是夹在平行平面间的两条异面线段，分别是它们的中点，则和（ ）. A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能确定4.已知、是两

17、个不同的平面,在下列条件中,可判断平面与平面平行的是 A.都垂直于平面 B.是内两条直线,且, C.内不共线的三个点到的距离相等 D.为异面直线,且,5.下列命题正确的个数是（ ）若直线上有无数个点不在平面内，则若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个6.下列四个命题中假命题的个数是（ ）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行 两条直线没有公共点，则这两条直线平行两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行一条直线

18、和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 A.4 B.3 C.2 D.17.下列结论中正确的是 ，则 过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行；平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行；如果一条直线与两个平行平面中一个相交，那么它与另一个必相交。 A B C DABSCEF8.如图，正四面体SABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点且SA与BC异面垂直，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）A90° B45°C60° D30°9如图，在四面体中，点分别是棱，的中点，求证：平面10.如图所示，在棱长

19、为的正方体中，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求的长； (3)求证：平面。 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点求证：平面MNP平面A1C1B； 12. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG. 13. 如图所示，在正方体中，分别是的中点。求证：(1) ； (2) 平面；(3) 平面平面。14.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点求证：PB平面ACM. 15.如图所示，正

20、方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.2.3线面、面面垂直的判定与性质1、 知识梳理1、 线面垂直的判定及性质直线和平面垂直的概念：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记做.叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.如图10-3所示.：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图，记作。 图10-3 图10-6直线与平面所成的角：如图10-6，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线，和平面的交点叫斜足；，叫做斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的

21、锐角，叫这条直线和平面所成的角.*：直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是°角.线线垂直的判定方法：（1）所成的角是直角，两直线垂直；（2）垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab直线与平面垂直还有下列性质：设和是直线，是平面，则； ； . 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如

22、果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 符号表示： 。典型例题：1 如图，在正方体中，是底面的中心，为垂足，求证：面. 2. 如图，在Rt中，斜边，其射影，°,求与平面所成角的正弦值. 练习：1. 直线和平面内两条直线都垂直，则与平面的位置关系是（ ）. A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.都有可能2. 已知直线和平面，下列错误的是（ ）. A. B. C.或 D.3. 已知平面和平面相交,是内一条直线，则有（ ）. A.在内必存在与平行的直线 B. 在内必存在与垂直的直线 C.在内不存在与平行的直线 D. 在内不一定存在与垂直的直线4. 直线，直线，且，则_

23、.5. 如图，在三棱锥中，若是的中点，试确定上点的位置，使得.2、面面垂直的判定及性质二面角的有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角或或. 图11-2 图11-3二面角的平面角：如图11-3，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角. 二面角的大小范围是.二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面内一点，作于点，再作于，连接，则即为所求平面角.(三垂线定理)平面互相垂直: 两个平面所成二面角是直二面角

24、，则这两个平面互相垂直.如图11-4，垂直，记作. 图11-4平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l两个平面垂直的性质还有：如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.典型例题：1 . 如图，在空间四边形中， =90°，°，求证：平面平面.求二面角的平面角的正弦值. 2 如

25、图，四棱锥的底面是个矩形，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面. 证明：侧面侧面；求侧棱与底面所成的角. 练习：1. 以下四个命题，正确的是（ ）. A.两个平面所成的二面角只有一个 B.两个相交平面组成的图形叫做二面角 C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个 D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 对于直线,平面,能得出的一个条件是（ ）. A. B. C. D.3. 下列命题错误的是（ ）. A.内所有直线都垂直于 B.内一定存在直线平行于 C.不垂直内不存在直线垂直 D.不垂直内一定存在直线平行于3. 已知，是的斜线，则与的位置关系是（ ）. A. B. 与相

26、交不垂直 C. D.不能确定4. 直线、和平面、满足，,，则和的位置关系为_.5. 如图13-7，,，°，求证：面面. 图13-76. 如图，在正方体中，是棱与的中点，求面与面所成二面角的正切值.（取锐角） 二、典例讲解及练习典型例题1 如图14-1所示，在正方体中，、Q、R、S分别为棱、的中点. 求证：平面 图14-1小结：面面垂直通常转化为线面垂直(关键找到一个面内垂直于另一个面的线)，线面垂直又转化为线线垂直，线线垂直往往又用到线面垂直的定义.2 如图14-2所示，设、为异面直线，垂直于、，且与、分别交于、两点.为平面，若,求证：；若，求证： 图14-2（1） 图14-2（2）

27、小结：“平行”与“垂直”的转化；线面垂直的判定和性质定理的灵活运用.例3 如图14-3，二面角的平面角是个锐角，点到、和棱的距离分别为、.分别求直线与面和面所成的角; 求二面角的大小. 图14-3练1. 在正方体中，求证：平面平面.练2. 如图14-4，求证：，. 图14-4 论证垂直问题要注意垂直关系的转化，每一种垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系为：性质定理判定定理判定定理性质定理线线垂直 线面垂直 面面垂直练习题：1. ，且，则直线和面是（ ）. A. B.与相交或或 C. D.或2. 过平面外一点：存在无数条直线与平面平行存在无数条直线与平面垂直仅有一条

28、直线与平面平行仅有一条直线与平面垂直；其中正确结论的个数是（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3. 下列说法错误的是（ ）. A.过一点和一个平面垂直的平面有无数个 B.过一个平面的一条垂线的所有平面都与此平面垂直 C.过一个平面的一条斜线的平面与此平面不垂直 D.二面角的任意一个平面角所在平面垂直于此二面角的两个面4. 判断下列命题是否正确，并说明理由.两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条

29、直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行.5. 下列四个命题中错误的是（ ）. A. B. C. D.6. 平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是（ ）. A.平面必平行于 B.平面必垂直于 C.平面必与相交 D.存在的一条中位线平行于或在内7. 两个长方形所在平面互相垂直，长宽如图所示，则与的比值为_.8. 正方体的棱长为1，是的中点，则二面角的大小为_.9. 如图，平面平面，求证：.10. 如图13-6，平面平面，求证：. 图13-611. 如图，是异面直线的公垂线（与都垂直相交的直线），求证：.12. 如图14-5，求二面角大小. 图14-513. 为所在平面外一点，平面，平面平面.求证：.14. 如图，在正方体中，求面与面所成二面角的大小（取锐角）. 15. 如图，面，设=，求证： 第二章 点、直线、平面之间的位置关系（复习） 学习目标 1. 掌握空间点、直线、平面之间的位置关系；2. 理解并掌握直线、平面平行的判定及其性质；3. 理解并掌握直线、平面垂直的判定及其性质；平面(公理1、公理2、公理3、公理4)线