多元函数微分学65月4日PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分学多元函数微分学65月月4日日),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF第1页/共33页例例5. 的邻域内在验证方程组) 1 , 2, 1 (006222zyxzyx, 1, 1, 1,2,2,2zGyGxGzzFyyFxxF满足定理3的条件,在 x=1的邻域内存在唯一的有连续设则解解:,),(6),(222zyxzyxGzyxzyxF的邻域内连续，又在) 1 , 2,

2、1 ( 0) 1 , 2, 1 (, 0) 1 , 2, 1 (GF),(21122),(),(zyzyGGFFzyGFJzyzy.ddz,dd),(),(xxyxgzxfy并求导数的函数组第2页/共33页. 06) 1 , 2, 1 (J故由定理3知在 x=1的邻域内存在唯一的有连续导数的函数组则)()(xgzxfy.1122)(21),(),(1ddzyxzzxzyzxGFJxy.1122)(21),(),(1ddzyyxxyzyxyGFJxz第3页/共33页练习练习. 验证下列方程组在指定点邻域存在隐函数组,并求指定偏导数或全微分yvxvyuxuvuxyuvyx, ) 1 , 1 , 0

3、 , 1 (00 ) 1 (2222求在点第4页/共33页 zxFyFy0zFz fx)1 (y例例6. 设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数 , 求.ddxz解解 分别在各方程两端对 x 求导, 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx第5页/共33页5 多元函数的泰勒公式 6 方向导数和梯度 第6页/共33页复习:一元函数)(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnx

4、xf) 10(推广多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共33页记号记号(设下面涉及的偏导数连续): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示表示第8页/共33页),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,),(00kyhx为此邻域内任 一点, 则有),(),(0000

5、yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10(nR其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共33页),10(),()(00tktyhtxft则 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得: ),(),()(0000tkyt hxfktkyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002tky

6、t hxfhtxx ),(200tkyt hxfkhyx),(002tkyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共33页),(C)(000)(tkyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t的麦克劳林公式, 得 ) 1 ()() 1(!) 1(1nn) 10(将上述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 第11页/共33页),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连

7、续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 M , ,22kh 令则有1)(! ) 1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnM)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(! ) 1(nnnM)(no2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共33页),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函数),(yxfz 在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零, .),(常数yxf由中值公式可知在该区域上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共33页)0 , 0()1ln(),(在点yxyxf解解: yxyxfy

8、xfyx11),(),(的三阶泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共33页)0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三阶泰勒公式得将ykxh,)1l

9、n(yxyx2)(21yx 33)(31Ryx其中),()(43khfkhRyx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共33页zyxzyxzyxfcoscoscos)cos(),(解解: 表示为x, y, z的多项式. 因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束 都很小时，将函数当zyx,0)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyxfff0)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zzyyxxfff. 1)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(xzzyyxfff)

10、.(),(zxyzxyzyxf.)0 , 0()sin( :22点按泰勒公式展开在将练习yx 第16页/共33页 讨论函数z=f(x,y) 在一点P沿某一方向的变化率问题 设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos) 取P(x0tcos y0tcos)U(P0) 如果极限tyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0沿方向l的方向导数, 记为),(00yxlf 第17页/共33页),(00yxlftyxf

11、tytxft),()cos ,cos(lim00000 方向导数方向导数 方向导数就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率 思考思考: 函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的方向导数如何? 沿x轴正向时, cos1 cos=0 0000000(,)(,)(,)limtxyf xt yf xyflt00(,)xyfx沿x轴负向时, cos1 cos=00000(,)(,)xyxyfflx 第18页/共33页 定理定理 如果函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (el(cos cos)的方向导数都存在, 且有co

12、s),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 证明证明:由于函数可微，则增量可表示为 2200000000(,)( ,)( ,)( ,)( ()() )xyf xx yyf x yf x yxf x yy oxy 但点00(,)xx yy在以(x0 y0)为始点的射线l上,故有22cos ,cos,()()xtytxyt ,所以),(00yxlftyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 0000( ,)cos( ,)cos .xyf x yf x y第19页/共33页 例例2 求函数zxe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, 1)的方向的方向导数

13、. 解 所以所求方向导数为 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos)的方向导数 cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 解 ) 1 , 1 (PQ 与 l 同向的单位向量为因为函数可微分 且 1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz22)21(2211)0 , 1 (lz) 1 , 1 (PQ 与 l 同向的单位向量为)21 ,21(le 1) 0 , 1 (2) 0 , 1 (yexz1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz 1) 0 , 1 (2) 0 , 1 (yexz 22)0 , 1 (2)0 , 1 (yxeyz22)0 ,

14、1 (2)0 , 1 (yxeyz22) 0 , 1 (2) 0 , 1 (yxeyz 22)21(2211)0 , 1 (lz22)21(2211)0 , 1 (lz 第20页/共33页定义定义: 若函数的某邻域有定义，在nnRxxXXf),()(0010存在极限)()(lim00XfXf.0出发的一条射线为由Xl 对于n元函数f(X), 类似的有时，趋向沿射线如果点0XlX),(0XX 其中,)(0的方向导数沿在则称该极限值为lXXf记作记作 )(0Xlf, 1coscos),cos,(cos2121nnl取)(0XlftXftlXft)()(lim000txxftxtxfnnnt),()

15、cos,cos(lim00101010第21页/共33页注注: 若函数数轴正向和负向的方向导沿在ixXXf0)(显然显然 ).(),(00XxfXxfii存在的充要条件是)(0Xxfi).()()()(0000XxfXxfXxfXxfiiii都存在且和第22页/共33页,)(221nxxXXf函数例例3:沿任意方向 l, 1)()(lim)(0tOftlfOlft则.)1coscos),cos,(cos(2121nnl其中1.)(的方向导数均为点沿任意方向在即lOXf.)(不存在但Oxfi第23页/共33页, 00, 0)(2222222121yxyxyxyxXf函数例例4:,121lim)0

16、 , 0()22,22(lim00ttfttftt由于但取),22,22(l.)0 , 0(不存在从而lf. 0)00()00(，显然，yfxf第24页/共33页,),()(0010处可微在点若函数nxxXXf定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有iniiXxfXlfcos)()(010. 1coscos),cos,(cos2121nnl其中第25页/共33页轴的正方向轴，出发的与，是由点函数yxlyxz) 11 (,2例例5:, 2) 11 (2) 11 (，xyxz).1 , 1 (3,6lz的一条射线，求所成夹角分别为解解:, 1) 11 () 11 (

17、2，xyz3cos16cos2) 1 , 1 (lz213注注: 本题沿不同方向本题沿不同方向,方向导数不同方向导数不同第26页/共33页三、三、梯度梯度 设函数zf(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0(x0 y0)D, 都可确定一个向量fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 这向量称为函数f(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度, 记作gradf(x0 y0),即gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则),(00yxlfcos),(

18、cos),(0000yxfyxfyx),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx gradf(x0 y0)el|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0)el) 第27页/共33页|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el) 可以看出方向导数就是梯度在射线l上的投影, 当方向l与梯度的方向一致时, 方向导数取得最大值. 所以沿梯度方向是函数f(x, y)在这点增长最快的方向. 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 第28页/共33页因为 222)(2yxxxf 解 这里于是 grad f(1, 1, 2) 例例7 设