苏州市初三数学中考复习专题五三角形及其全等相似

1、五、三角形及其全等、相似【近三年江苏省十三大市中考三角形及其全等、相似的分值与比率】(仅供参考 )2011 年2012 年2013 年分值(分)比率 (%)分值(分)比率 (%)分值 (分)比率 (%)南京市1411.701512.52319.17苏州市2216.902015.382216.92无锡市1511.601713.101713.10常州市1912.602319.172319.17镇江市1310.801815.001613.33扬州市2516.702214.672416泰州市1812.001711.331812南通市2315.302818.672214.67盐城市2013.302214

2、.672416淮安市1510.002315.332919.33宿迁市2214.602214.602617.33徐州市1915.802218.332214.67连云港市1912.701610.672013.33平均18.713.3820.3814.8822.0015.77【课标要求】1. 三角形的有关概念：(1) 了解三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系；(2) 理解三角形内角和定理及推论；(3) 理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质.2. 特殊三角形的性质和判定：(1) 了解等腰三角形及等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定；(2) 掌握线段中垂线和角平分线的性质及判定；(3)

3、了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定；(4) 掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.3. 全等三角形：(1) 理解全等三角形的定义和性质；(2) 掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明；4. 相似三角形：(1) 比例线段：了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题.(2) 相似图形：了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用；(3) 相似三角形：了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；能利用图形的相似解决一些实际问题；通过实例了解中心投影和平行投影，了解视点、视线及盲区的涵义；(4) 位似了解位似变换和位似图形的概念，掌

4、握并运用其性质.【课时分布】本单元在第一轮复习时大约需要9 个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考).课时数内容1三角形的有关概念2等腰三角形、直角三角形1全等三角形的判定、性质3相似三角形2单元测评【知识回顾】1. 知识脉络三角形的有关概念三角形的边角关系等腰三角形等边三角形三两类特殊三角形角形直角三角形勾股定理全等三角形的性质三角形全等全等三角形的判定相似比 K=1相似三角形的性质三角形相似相似三角形的判定2. 基础知识( 1) 三角形的概念及性质三角形的概念：由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.三角形的性质： 三角形的内角和是180°； 三角形的一个外角等于与它不相邻

5、的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角； 三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边.( 2) 三角形中的重要线段三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 .三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高 .三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半.( 3) 三角形的外心、内心.三角形三边的垂直平分

6、线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等.( 4) 等腰三角形等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形；等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等( 简称为“等边对等角” ) ；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 ( 简称为“三线合一” ) ；等腰三角形是轴对称图形 .等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；如果一个

7、三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等( 简称为“等角对等边”).( 5)等边三角形的性质与判定等边三角形的性质：等边三角形的内角相等，且都等于60°；等边三角形的三条边都相等；等边三角形的判定：三条边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形( 6) 线段的垂直平分线.线段的垂直平分线概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段的垂直平分线判定：.到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线

8、上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.( 7) 角平分线的性质及判定角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合 .直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余；直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.直角三角形的判定：有一个角等于 90°的三角形是直角三角形；有两角互余的三角形是直角三角形；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角

9、三角形；勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形 .( 8) 全等三角形的性质与判定全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等.全等三角形的判定：有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS) ；有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA) ；有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS) ；有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL) .( 9) 比例线段比例线

10、段的概念：在四条线段 a，b，c，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即 ac(或bda b=c d)，那么这四条线段a， b， c， d 叫做成比例线段，简称比例线段 .比例线段的性质：a c基本性质： b=dad=bc；合比性质： a ca bc d ；b=dbd等比性质：若a c=··· =m=n(b d··· n 0)，那么b d黄金分割的概念：acmabdn.b点 C 把线段 AB 分成两条线段AC 和 BC，如果 ACAB=BCAC，则线段 AB 被点 C 黄金分割，点C 叫线段 AB 的黄金分割点，AC 与

11、 AB 的比叫做黄金比.(10)相似多边形相似多边形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1 的两个多边形全等.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方.(11)相似三角形相似三角形概念各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形判定： 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似.相似三角形性质：

12、相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方.(12)图形的位似图形位似的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比.图形的位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3. 能力要求例 1如图 5-1-1，在 ABC 中， AB=AC ，点 D 是 BC 的中点，点E 在 AD 上 .(1) 求证： BE=CE ；(2) 如图 5-1-2 ，若 BE

13、的延长线交 AC 于点 F ，且 BF AC，垂足为 F， BAC =45 °，原题设其它条件不变 .求证： AEF BCF .【分析 】(1) 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD 是 BC 边上的垂直平分线， 然后利用线段垂直平分线的性质定理，可直接证明BE=CE ；(2) 先判定 ABF 为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得再根据同角的余角相等求出EAF= CBF ，然后利用“角边角”证明AEF即可 .和AF=BF ，BCF 全等AAEFEBCBC图D5-1-1D图 5-1-2【解】(1) AB=AC ， D 是 BC 的中点， AD BC. BE=CE .

14、(2) BAC=45 °， BF AF， ABF 为等腰直角三角形. AF=BF . AB=AC ，点 D 是 BC 的中点， AD BC. EAF+C=90°. BF AC， CBF+ C=90°. EAF=CBF .EAFCBF在 AEF 和 BCF 中，AFBF， AEF BCF （ ASA ） .AFEBFC90【说明 】本题考查了全等三角形的判定与性质， 等腰三角形三线合一的性质， 线段垂直平分线的性质定理， 等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记和灵活运用三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键.例 2如图 5-2，四边形AB

15、CD 中， AC 平分 DAB ， ADC = ACB=90°， E 为 AB 的中点.(1)求证： AC2 =AB·AD ； (2)求证： CE AD ；D(3)若 AD =4， AB=6，求 AC 的值 .CFAF【分析 】(1) 由 AC 平分 DAB ， ADC = ACB=90 °，AEB可证得 ADC ACB，然后由相似三角形的对应边成比图 5-2例，证得 AC 2=AB·AD ；(2) 由 E 为 AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE =BE=AE，继而可证得DAC = ECA，得到 CE AD；(3)

16、 易证得 AFD CFE ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得【解】(1) AC 平分 DAB ， DAC= CAB. ADC= ACB=90°， ADC ACB .2 AD： AC=AC： AB. AC =AB·AD.AC 的值.AF(2) E 为 AB 的中点， ACB= 90° CE= 1 AB=AE . EAC= ECA. 2 DAC= CAB， DAC =ECA. CE AD .(3) CE AD ， AFD CFE . AD： CE=AF： CF . CE= 1 AB， CE= 1 ×6=3.22 AD=4， AF 4. AC 7.CF3A

17、F4【说明 】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.相似三角形相似的判定方法有：(1)平行于三角形的一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法.其基本图形可分别记为“A ”型和“ X ”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；(2) 两角对应相等，两三角形相似，此种判定方法最为常用，应熟练掌握；(3) 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4) 三边对应成比例，两三角形相似.例 3 如图 5-3，在 Rt ABC 中， C=90°，点 P 为 AC 边上的一点，将线段A

18、P绕点 A顺时针方向旋转（点 P 对应点 P），当 AP 旋转至 APAB 时，点 B，P，P恰好在同一直线上，此时作 PE AC 于点 E.CP(1)求证： CBP= ABP；(2)求证： AE=CP；P(3)当 CP3 ， BP=5 5 时，求线段 AB 的长 .EPE2B图 5-3A【分析 】(1) 根据旋转的性质可得 AP=AP，根据等边对等角的性质可得 APP= APP，再根据等角的余角相等证明即可；(2)过点 P 作 PDAB 于 D ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP ，然后求出 PAD= APE，从而证明 APD 和 PAE全等，根据全等三角形对应边相等可得

19、AE=DP ，从而得证；(3)设 CP= 3k，PE= 2k，表示出 AE=CP= 3k，AP =AP= 5k，然后利用勾股定理列式求出PE= 4k，再证明 ABP和 EPP相似， 根据相似三角形对应边成比例列式求出Rt ABP中，利用勾股定理列式求解即可.【解】(1) AP是 AP 旋转得到， AP=AP . APP=APP. C=90°， AP AB， CBP+BPC=90°， ABP+ APP=90°.C又 BPC= APP， CBP= ABP.(2)如图 5-3-1，过点 P 作 PD AB 于 D. P CBP=ABP， C=90°， CP=D

20、P ， PE AC， EAP+ APE=90°.又 PAD+ EAP=90°， PAD= APE. BDPADAP'E图 5-3-1在 APD 和 PAE中，ADPP'EA ，AP AP'1PA=AB，然后在PEA APD PAE（AAS ） . AE=DP . AE=CP .(3) CP3 ，设 CP=3 k，PE=2k，则 AE=CP =3k， AP=AP=3 k+2k=5k.PE2在 Rt AEP中， PE= (5k)2(3k) 24k ， C=90°， PE AC， CBP+ BPC=90°， EPP+ PPE=90

21、76;， BPC = EPP（对顶角相等） ， CBP = PPE. CBP = ABP ， ABP=PPE.又 BAP= PEP=90°， ABP EPP. ABP'A ，即 ABP' A ，解得 PA=1 AB .P ' EPE4k2 k222221252在 Rt ABP中， AB +PA=BP，即 AB +AB =(5) ，解得 AB=10 .4【说明 】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在解题中可以发现，图形的全等或相似往往不是解决问题的最终目的，而是一种手段和途径，体现了图形的全等和相

22、似的“工具性” . 类似于本题这种“一题多问”的出题形式， 应注意上下题之间的内在联系， 把握住这种联系， 就容易找到解题的突破口 .如本题中较难的第 (3) 小题，利用 (2) 中的结论能很快的表示出 AP的长度，结合已知条件 BP= 55 ，就容易想到用k 来表示出AB 的长度，最后利用勾股定理得出关于k 的方程，从而解决问题.例 4 如图 5-4，已知 AB BD ，CD BD .(1)若 AB=9 ，CD=4，BD =15 ，请问在 BD 上是否存在P 点，使以 P，A，B 三点为顶点的三角形与以 P，C，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，则有多少个这样的P 点，并求 BP的长；若不

23、存在，请说明理由；(2) 若 AB=m， CD= n， BD = l ，请问在 m， n， l 满足什么关系时，存在以P， A，B 三点为顶点的三角形与以 P，C，D 三点为顶点的三角形相似的一个P点? 两个 P点? 三个 P点?【分析 】A由于问题中没有明确两个直角三角形的对应关系，因此每小问应按两种对应关系来说明 .【解】C(1) 设 BP=x，则 DP =15 - x.若 ABP CDP ，则 ABBP，即94，解得 x135 .BPDCDDPx15x13图 5-4若 ABP PDC ，则 ABBP ，即9x ，得方程： x2 12xx360 . 解得 x=3PDCD154或 12.所以

24、 BP= 135 ， 3 或 12. 13(2) 设 BP=x，则 DP =l - x.若 ABP CDP ，则 ABBP，即 mnml.l，解得 xCDDPxxm n若 ABP PDC ，则 ABBP，即 mxx .PDCDln得方程： x2lxmn 0 ，l 24mn .当l 24mn0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点；当l 24mn0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似的两个P 点；当l 24mn0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似的

25、三个P 点 .【说明 】三角形相似如果没有明确对应关系，需要分情形来讨论，这个知识点也是相似问题中常考内容之一，要会利用图形中的已知条件来排除不必要的分类情况.由于本题是两个直角三角形，所以对应关系有两种.由于数量关系的制约，本题有一种对应关系是始终存在的，另一种对应关系则需要通过一元二次方程的判别式来进行讨论.解题时注意数形结合、分类讨论、方程思想的应用 .例 5如图 5-5-1，矩形 ABCD 中， ACB=30 °，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线 AC， BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边 AB， BC 所在的直线相交，交点

26、分别为E，F.(1)当 PE AB， PF BC 时，如图 5-5-1 ，则 PE 的值为；PF(2)现将三角板绕点P 逆时针旋转 （ 0° 60°）角，如图5-5-2 ，求 PE 的值；PF(3)在 (2)的基础上继续旋转，当 60° 90°，且使 AP：PC=1：2 时，如图 5-5-3， PE 的PF值是否变化？证明你的结论 .ADADAPDEPPEBFCBFCCFB【分析 】图 5-5-1图 5-5-2E图 5-5-3(1) 证明 APE PCF，得 PE=CF ；在 Rt PCF 中，解直角三角形求得PE 的值；PF(2) 如图 5-5-4 所

27、示，作辅助线，构造直角三角形，证明 PME PNF ，并利用（ 1）的结论，求得 PE 的值；PF(3) 如图 5-5-5 所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明APM PCN，求得 PM的PN值；然后证明 PME PNF ，从而由 PEPM 求得 PE 的值 .与 (1)、(2) 问相比较， PEPFPNPFPF的值发生了变化.【解】(1) 矩形 ABCD ， AB BC， PA=PC . PE AB，BC AB， PE BC. APE = PCF . PFBC， ABBC ， PF AB. PAE= CPF .PAECPF在 APE 与PCF 中，PAPC.APEPCF APE PCF

28、（ ASA ）， PE=CF .在 Rt PCF 中， PFPF =tan 30°= 3 ， PE = 3 .CFPE3PF(2) 如图 5-5-4，过点 P 作 PM AB 于点 M， PN BC 于点 N，则 PM PN. PM PN， PE PF， EPM= FPN .又 PME = PNF=90 °， PME PNF .ADPEPMMP.EPFPN由(1)知， PM = 3， PE = 3.PNPF(3) 答：变化 .如图 5-5-5 ，过点 P 作 PM AB 于点 M， PN BC 于点 N，则 PM PN ，PM BC， PN AB. PM BC， PNAB，

29、 APM= PCN， PAM= CPN. APM PCN. PMAP1 ，得 CN=2PM .CNPC2BCNF图 5-5-4ADPMFBNCE图 5-5-5在 Rt PCN 中， PNPN=t an 30°=3， PM=3 .CN2 PM3PN2 PM PN， PE PF， EPM = FPN .又 PME= PNF=90 °， PME PNF . PEPM3. PE 的值发生变化 .PFPN2PF【说明 】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、 全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点 .本题三问的解题思路是一致的：都是通过直接作辅助线构造直角三角形，通过相

30、似三角形或全等三角形转化为题(1)或类似于题(1)的问题，从而解决 .对于此类从特殊到一般的思路设置问题情境的综合题，解题的思路往往是将一般情况转化为特殊情况来解决.因此，在分析和解决此类问题的过程中要善于从特殊情况中总结和归纳出解题的基本思路和方法，并应用于一般情形.要特别注意从特殊到一般和化归思想的应用.例 6 如图 5-6，在 ABC 中， B=45 °，BC =5，高 AD=4，矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC边上， E、 F 分别在 AB、 AC 上， AD 交 EF 于点 H.A(1) 求证： AH EF ；AD BC(2) 设 EF=x ，当 x 为何值时，矩形

31、EFPQ 的面积最大？并 E H F 求出最大面积；(3) 当矩形 EFPQ 的面积最大时， 该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动（当矩形的边PQ到达 ABQD P C图 5-6点时停止运动） ，设运动时间为t 秒，矩形 EFPQ 与 ABC 重叠部分的面积为S，求 S 与 t的函数关系式，并写出t 的取值范围 .【分析 】(1)由相似三角形，列出比例关系式，即可证明，或利用相似三角形对应高的比等于相似比也可解决；(2) 首先求出矩形 EFPQ 面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积；(3) 本问是运动型问题，要点是弄清矩形EFPQ 的运动过程：(I) 当 0

32、t 2 时，如图 5-7-1 所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形；(II) 当 2 t 4 时，如图5-7-2 所示，此时重叠部分是一个三角形.【解】(1) 矩形 EFPQ ， EFBC， AHF ADC . AHAF .ADAC EF BC， AEF ABC. EFAF . AHEF .BCACADBC(2) B=45 °， BD=AD =4. CD =BC - BD=5- 4=1 . EF BC， AEH ABD . AHEH .ADBDEF BC， AFH ACD . AHHF .ADCD EHHF ，即 EHHF . EH= 4HF .BDCD414已知 EF=x ，则

33、EH=x. B=45 ， EQ=BQ=BD - QD=BD- EH =4- 4 x.5442452 S 矩形 EFPQ=EF· EQ=x· (4- x)=-5x +4x=-(x-) +5.552当 x= 5 时，矩形 EFPQ 的面积最大，最大面积为5.2(3) 解：由 (2) 可知，当矩形EFPQ 的面积最大时，矩形的长为5，宽为 4- 4×5 =2.252(I) 当 0 t 2 时，如图 5-5-1 所示 .设矩形与 AB 、AC 分别交于点 K、 N，与 AD 分别交于点 H1，D 1.此时 DD 1=t， H1D1=2， HD 1=HD DD 1=2 t， HH 1=H 1D1 HD 1=t， AH1=AHHH 1=2 t. KN EF，KNAH1KN2 t5EFAH，即2，得 KN = (2- t).542S=S 梯形 KNFE+S