对坐标曲面积分PPT学习教案

1、会计学1对坐标曲面积分对坐标曲面积分(一) 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共39页其方向用法向量指向表示. 法向量 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧侧的规定机动 目录 上页 下页 返回 结束 (二)双侧曲面的定向注:对于非定向曲面在一点的法向量可以取两个方向(它们从X-轴来看有前后之分;Y-轴来看有左右之分; Z-轴来看有上下之分;故曲面的向从X-轴来看有前后之分;Y-轴来看有左右之分; Z-轴来看有上下之分;故但对于定向曲面只能其中一个方向.对于

2、一个向量1:有(定)向曲面定义方向相反)第2页/共39页 设 为有向曲面,其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定机动 目录 上页 下页 返回 结束 2:有向曲面对坐标轴的投影注:由投影的定义有类似的有第3页/共39页1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . 分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量单位法向量: 流速为常向量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共39页用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共39页设 为

3、光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzd若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共39页称为Q 在有向曲面上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为R 在有向曲面上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;若记 正侧正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共39页机动 目

4、录 上页 下页 返回 结束 注：（）由对坐标的曲面积分的定义可知道对坐标的曲面积分有其物理意义：表示稳定流动的不可压缩流体的速度场为单位时间流过有向曲面 的流量表示方向平行x轴正向（即垂直YOZ面）流体单位时间流过有向曲面 的流量速度为表示方向平行z轴正向（即垂直XOY面）速度为流体单位时间流过有向曲面 的流量表示方向平行y轴正向（即垂直XOZ面）速度为流体单位时间流过有向曲面 的流量第8页/共39页机动 目录 上页 下页 返回 结束 故计算只需要分别计算（）注意和对面积曲面积分定义的异同(2)故第9页/共39页(1) 若之间无公共内点, 则(2) 用 表示 的反向曲面, 则机动 目录 上页

5、下页 返回 结束 ()若曲面垂直于坐标面XOY(YOZ或XOZ）即投影为零则（）线性性例注：不满足对称性第10页/共39页定理定理: 设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数, 则证证: 取上侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共39页 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明说明:如果积分曲面 取下侧, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共39页 计算(前正后负)综上所述综上所述:机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算先分别计算(1)将曲面投影到YOZ面为曲线而非区域，此时），反映在方程上是根据曲面方程解出x,(2)将转化二重积分积分区域为被积函数为看定向曲面是前侧

6、还是后侧决定二重积分的符号（只能投影到YOZ面，即使投影第13页/共39页 计算(右正左负)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)将曲面投影到XOZ面为曲线而非区域，此时），反映在方程上是根据曲面方程解出y,(2)将转化二重积分积分区域为被积函数为看定向曲面是右侧还是左侧决定二重积分的符号（只能投影到XOZ面，即使投影第14页/共39页 计算(上正下负)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)将曲面投影到XOY面为曲线而非区域，此时），反映在方程上是根据曲面方程解出z,(2)将转化二重积分积分区域为被积函数为看定向曲面是上侧还是下侧决定二重积分的符号（只能投影到XOY面，即使投影第15页

7、/共39页解解: 把 分为上下两部分根据对称性 思考思考: 下述解法是否正确:其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析：计算的是对x、y的曲面积分，则必须将曲面投影到XOY面。即解出z,得两个z即需要将曲面分成两块。第16页/共39页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共39页解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例计算其中由锥面及所围成的边界曲面的外侧故第18页/共39页解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例计算其中是四面体边界曲面的外侧故第19页/共39页机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算故第20页/共39页的外侧 ,

8、计算解解: 利用轮换对称性, 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 （朝上）（朝下）第21页/共39页（二）投影面的转换法计算对坐标的曲面积分若曲面是如下形式在计算时是方便的。但计算则需要将曲面分别向另外坐标面投影。和我们将借助投影面的转换法避免另外的投影。第22页/共39页投影面的转换：已知得由故：公式第23页/共39页类似地若若第24页/共39页其中解解:旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共39页曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共39页令向量形式( A 在 n 上的投影

9、)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共39页解解:。求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共39页是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共39页是平面在第四卦限部分的上侧 , 计算解解:故转化成第一类曲面积分第六节 目录 上页 下页 返回 结束 对曲面任意一点法向量均为第30页/共39页定义定义:1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共39页联系联系:思考思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义

10、一个与 的方向无关, 一个与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共39页面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共39页时，（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共39页1. P167 题2提示提示: 设则 取上侧时, 取下侧时,2. P184 题 13. P167 题3(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共39页取