函数与极限习题与答案

1、第一章函数与极限（ A）一、填空题1、设 f ( x)2xlg lg x ，其定义域为。2、设 f ( x)ln( x1)，其定义域为。3、设 f ( x)arcsin( x3) ，其定义域为。4、设 f ( x) 的定义域是 0， 1，则 f (sin x) 的定义域为。5、设 yf ( x) 的定义域是 0， 2，则 yf ( x2 ) 的定义域为。6、 limx 22xk4，则 k=。x3x 37、函数 yx有间断点，其中为其可去间断点。sin xsin 2x8、若当 x0 处连续 ，则 f (0)。0 时 ， f ( x)，且 f ( x)在 xnnxn9、 lim (222)。nn1

2、n2nn10、函数 f ( x) 在 x0处连续是 f (x) 在 x0 连续的条件。11、 lim( x31)( x23x 2)。2x55x3x12、 lim (12 )kne 3，则 k=。n n13、函数 yx21。x23x的间断点是214、当 x时，1 是比x3x 1的无穷小。x15、当 x0时，无穷小 11x 与 x 相比较是无穷小。116、函数 ye x 在 x=0 处是第类间断点。3x1间断点。17、设 yx，则 x=1 为 y 的118、已知 f3 ，则当 a 为时，函数 f ( x)1处连续。3a sin xsin 3x 在 x331sin xx0、设2x若lim()存在 ，

3、则 a=。19f ( x)1x 0fx(1 ax) xx0xsin x2 水平渐近线方程是。20、曲线 yx 221、 f ( x)4x21的连续区间为。x21xa,x022、设 f ( x)在 x0 连续 ，则常数cosx,x0a=。二、计算题1、求下列函数定义域（1）1y；（ ） ysin x ；221 x1（3） yex；2、函数f ( x) 和 g( x) 是否相同？为什么？（1） f ( x)ln x2,g( x)2 ln x；（2） f ( x)x,g( x)x2；（ 3） f ( x) 1 , g( x) sec2 x tan2 x ；3、判定函数的奇偶性（1） yx2 (1 x

4、 2 ) ；（2） y 3x 2x3 ；2（3） yx( x1)( x1) ；4、求由所给函数构成的复合函数（1） yu 2,usin v,vx2 ；（ 2） yu , u 1 x2 ；5、计算下列极限（1） lim (1111n ) ；（ 2） lim 1232( n1)；n242nnx 25；x 22x1；（3） lim3（ 4） limx 21x 2 xx1（5） lim (11)(212 )；（6） limx32x 2；xxxx 2( x2) 2（7） lim x 2 sin 1；（8） limx21；x 0xx13x1x（9） lim x(x 21x)；x6、计算下列极限sin wx

5、；sin 2x；（1） limx（2） limx0x0 sin 5x（3） lim x cot x；（ 4） lim (x) x；x0x1xx11x 1（6） lim (1x) x；（5） lim ()；xx1x07、比较无穷小的阶（1） x0时， 2xx2与 x2x 3 ；3（2）时，1(12) ；1x与xx 128、利用等价无穷小性质求极限（1）tan x sin x；sin(x n )nm是正整数；（ ）2 lim(,)limx 0 sin x3x 0 (sin x)m9、讨论函数的连续性f ( x)x 1, x 1 在 x 1 。3 x, x 110、利用函数的连续性求极限（1） li

6、m ln( 2 cos 2x)；（ 2） lim (x 2xx2x ) ；xx6（3） lim ln sin x；（ 4） lim (11) 2 x ；x 0xxx（5） 设 f ( x) lim (1x ) n, 求 lim f (1 ) ；nnt 1t14（6） lim x ln( x1) ；xx1ex,x011、设函数f ( x)ax,x0应当怎样选择a ，使得 f ( x)成为在 (，) 内的连续函数。12、证明方程x53x1 至少有一个根介于1 和 2 之间。（ B）1、设 f ( x) 的定义域是 0， 1，求下列函数定义域（1） y f (ex )（2） y f (ln x)0,

7、xo0,x02、设 f ( x),x0g( x)2, x0xx求 f f ( x) ,g g (x) ,f g( x) ,g f ( x)53、利用极限准则证明：（1） lim 111（ 2） lim x 11 ；nnx 0x（3）数列2,22,222,的极限存在；4、试比较当x0 时 ，无穷小 2 x3x2 与 x 的阶。5、求极限（1） lim x( x 21x) ；（ 2） lim ( 2x3) x 1；xx2x1（3） lim tan xx3sin x；x 0（4） lim ( a xb xc x1) x(a 0 , b 0 , c 0) ；x 0361,x06、设 f ( x)x s

8、in) 内连续，x要使 f (x)在(,a x 2,x0应当怎样选择数a ？17、设 f ( x)e x 1,x0求 f (x) 的间断点，并说明间断点类型。ln(1x) ,1x0（ C）x2( x) 0 ，求( x) 并写出它的定义域。1、已知 f ( x) e, f ( x) 1 x ，且2、求下列极限：（1）、 lim cos ln( 1x) cosln x ；（ 2）、 lim1xsin xcos xx；xx0（3）、求 lim 3x25sin 2；（ 4）、已知 lim ( xa ) x9 ，求常数 a 。x5x3xxxa（5）、设 f ( x) 在闭区间 a , b 上连续 ，且

9、f ( a)a,f (b)b ，证明：在开区间 ( a , b) 内至少存在一点，使 f ()。第一章 函数与极限习题答案（A ）一、填空题（1）(1,2（2） (1,)（3）2 ，47（4） x 2kx(2k1),kz（5） 2,2 （6） -3（ 7） x k, k z; x 0 （ 8） 2（9）1（10）充分（11） 1（ 12）3（13） x=1 , x=2（ 14）高阶22（15）同阶（ 16）二（ 17）可去（18） 2（ 19） -ln2（20） y=-2（21） 2 ,1(1, 2（22） 1二、计算题1、（1） (,1)(1 ,1)(1 ,)（2） 0,)（3） (, 0)

10、(0 ,)2、（1）不同，定义域不同（ 2）不同，定义域、函数关系不同（3）不同，定义域、函数关系不同3、（1）偶函数（ 2）非奇非偶函数（ 3）奇函数4、（1） y(sin x2 ) 2（ 2） y1x2 （ 3） ye2 sin x 5、（ 1） 2 （2） 1（3） -9（4）0（5）2 （6）21（ 7）0（8）22（ 9）（2） 226、（ 1） w（3） 1（4） e 1（ 5） e2（ 6） e 157、（1） 2 xx2是 x2x3的低阶无穷小（ 2）是同阶无穷小10,mn（ 2） 1 , m n8、（ 1）2,mn9、不连续10、（ 1） 0（2）1（ 3）0（ 4） e2（

11、 5）0（6） -211、 a=1（ B）1、（1）提示：由 0ex1解得： x(, 0 （2）提示：由 0ln x1解得： x 1 , e 2、提示：分成 xo 和 x0 两段求。 f f ( x)f ( x)， g g(x)0 ，f g (x) 0 , g f (x)g (x)84、（ 1）提示： 11111（ 2）提示： x ( 11 )x 1 x 1nnxxx（ 3）提示：用数学归纳法证明：an2 225、提示：2x3x22x13x1令 2x1t （同阶）xxx6 1x21x；12）提示：除以2x； e、（ ）提示：乘以（2（ 3）提示：用等阶无穷小代换； 12axb xcx1（ 4）

12、提示：() x33ax1bx 1 cx1xxx3xa1b1c11ax 1 bx 1 cx 1（ 3abc ）37、提示： lim f ( x)lim f ( x)f (0)（ a0 ）x 0x 08、 x1 是第二类间断点， x 0是第一类间断点（C）1、解：因为fxe2 ( x)1x，故( x)ln(1 x)，再由 ln(1 x)0 ，得： 1x 1，即x0。所以：( x)ln(1x)， x0 。2、解：原式 = lim1x sin xcos2 x= lim 1x sin xsin 2 xx0 x(1 x sin xcosx) x0 2x=1 lim sin x ( xsin x) =02 x0x23x时 ，sin，、解：因为当2xx则 lim 3x25 sin 2= lim3x252= lim6x210=6x5x 3xx5x 3 xx5x23x 5axx