函数的周期性练习题兼答案.

1、函数周期性分类解析一定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一x，使 f (xT )f (x) 恒成立则 f(x)叫做周期函数， T 叫做这个函数的一个周期。二重要结论1、 fxfxa ，则 yfx 是以 Ta 为周期的周期函数；2、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。3、 若函数 fxafxa ，则 f x 是以 T2a 为周期的周期函数4、 y=f(x)满足 f(x+a)=1(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。f x5、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=12a 是它的一个

2、周(a>0),则 f(x)为周期函数且f x期。6、 f ( x a)1f ( x) ，则 fx 是以 T2a 为周期的周期函数 .1f (x)7、 f ( x a)1f (x) ，则 f x 是以 T4a 为周期的周期函数 .1f (x)1f ( x)8、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=(xR，a>0),则 f(x)为周期函数且 4a 是它的一个周期。9、 若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a,x=b(b>a)都对称 ,则 f(x)为周期函数且 （2b-a）是它的一个周期。10、函数 yf ( x)xR 的图象关于两点A a, y0 、 B b, y0ab

3、都对称，则函数 f ( x) 是以 2 ba 为周期的周期函数；11、函数 yf ( x)xR 的图象关于 A a, y0 和直线 xbab 都对称，则函数 f ( x)是以 4 ba 为周期的周期函数；12、若偶函数 y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 2 a 是它的一个周期。13、若奇函数 y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 4 a 是它的一个周期。14、若函数 y=f(x)满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则 f(x)为周期函数 ,6a 是它的一个周期。 T2函数的周期性练习题高一一选择题（共15 小题

4、）1定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（ x）=f（ x），f （x2）=f（x+2）且 x（ 1，0）时， f（ x）=2x+，则（2）（）flog 20=A1BC 1 D2设偶函数 f（ x）对任意 xR，都有时， f（ x） =4x，则 f（107.5） =（f （x+3）=）A10 B，且当C 10x3， 2D3设偶函数 f（ x）对任意 xR 都有 f （x）=（ x） =4x，则 f（119.5） =（）A 10B 10且当Cx3，2 时Df4若 f（ x）是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足f（ 1） =1，f （2）=3，则 f （8） f（4）的值为（） A 1B1C

5、2 D 25已知 f（x）是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，当 x（ 0，2时，f（x）=2x+log 2x，则 f（ 2015） =（） A 2 BC2 D56设 f（ x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该函数在区间（2，1上的图象，则 f（2014）+f（ 2015） =（）A3B2C1D07已知 f （x）是定义在 R 上的偶函数，并满足：，当 2x3，f（x）=x，则 f（5.5）=（） A5.5 B 5.5C 2.5D2.58奇函数 f（x）满足 f （x+2）=f （x），当 x（0，1）时， f（x）=3x+ ，则f（log354） =（）A 2BCD 2

6、9定义在 R 上的函数f （x）满足 f（ x）+f（x）=0，且周期是4，若f （1）=5，则 f（2015）（）A5 B 5 C0D310f（ x）对于任意实数x 满足条件f （x+2）=，若f （1）=5，则f（f（ 5）=（）A 5BCD511已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（ x+5）=f（x5），且 0x5 时， f（x）=4x，则 f（1003）=（）A 1B0C1D 212函数 f（x）是 R 上最小正周期为2 的周期函数，当 0x2 时 f（x ）=x2x，则函数 y=f（ x）的图象在区间 0，6 上与 x 轴的交点个数为（）A6B7C8D913已知函数 f（x）

7、是定义在（ ，+）上的奇函数， 若对于任意的实数 x0，都有 f （x+2）=f （x），且当 x0，2）时， f（ x） =log2（ x+1），则 f （2014）+f（ 2015）+f（2016）的值为（）A 1B 2 C 2D114已知 f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当x0，3）时，f（x）=|2x2 4x+1|，则方程f （x）= 在 3， 4 解的个数（）A 4B8C9 D1015已知最小正周期为2 的函数 f（ x）在区间 1，1上的解析式是 f （x）=x2，则函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（x ）=|log5 的图象的交点的个数）A3 B4

8、 C5 D6x|是（二填空题（共10 小题）16已知定义在 R 上的函数 f（x），满足 f（ 1） = ，且对任意的 x 都有f（x+3）=，则 f（2014）=17若 y=f（x）是定义在 R 上周期为 2 的周期函数，且 f（x）是偶函数，当 x0，1时，f（ x）=2x 1，则函数 g（ x）=f（x）log5的零点个数为|x|18定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（x）=，则f（2013）的值为19定义在 R 上的函数 f （x）的图象关于点（，0）对称，且满足 f （x）= f （x+ ），f （1）=1，f （ 0）= 2，则 f （1）+f （2）+f （3）+f （20

9、10）的值为 =20定义在R 上的函数f（ x）满足：，当x（0，4）时，f（x ）=x21，则f（2011）=21定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（x+6）=f（x ）当 3x 1 时，f（x）=（ x+2）2，当 1x3 时， f（x）=x 则f（1）+f（ 2） +f（3）+f（2012） =22若函数 f （x）是周期为 5 的奇函数，且满足f （1）=1，f（2）=2，则 f（8） f（14）=23设 f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若f （2） 1，f （2014）=，则实数 a 的取值范围是24设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时， f （

10、x）=2x（1x），则=25若 （fx+2）=，则 （f+2）?f（14）=三解答题（共5 小题）26设 f （x）是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有 f（ x+2）=f（ x），当 x0， 2 时， f（x）=2x x2（1）求证： f（ x）是周期函数；（ 2）当 x2，4 时，求 f （x）的解析式；（ 3）计算： f（0） +f（ 1） +f（2）+f（2004）27函数 f（ x）是以 2 为周期的偶函数，且当x0 ，1 时， f（x）=3x1（ 1）求 f （x）在 1，0上的解析式；（ 2）求的值28已知定义域为 R 的函数 f（x）为奇函数，且满足f （x+4）=f

11、（ x），当 x0， 1 时， f（x）=2x1（ 1）求 f （x）在 1，0）上的解析式；（ 2）求 f （24）的值29已知函数 f（x）既是奇函数又是周期函数，周期为 3，且 x0，1时， f（x ）=x2x+2，求 f （ 2014）的值30定义在 R 上的奇函数 f （x）有最小正周期 2，且当 x（0，1）时， f（x）=2x+2 x（ 1）求 f （x）在 1，0）上的解析式；（ 2）判断 f（x）在（ 2， 1）上的单调性，并给予证明函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析一选择题（共15 小题）1【解答】 解：定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） = f（x），

12、函数 f（x）为奇函数又 f（ x 2） =f（x+2）函数 f（x）为周期为 4 是周期函数又 log232 log220 log2 16 4 log2 205 f（log220）=f（ log2204）=f（ log2 ）=f（ log2 ）=f （log2 ）又 x（ 1，0）时， f（x）=2x+ ， f（log2 ） =1故 f （log220）=1故选 C2【解答】解：因为 f（x+3）=，故有 （fx+6 ）=f（ x）函数 f （x）是以 6 为周期的函数f（107.5）=f（ 6×17+5.5）=f（ 5.5）= 故选 B3【解答】 解：函数 f（x）对任意 xR

13、都有 f （x）=， f（x+3） =，则 f（ x+6）=f（ x），即函数 f（x）的周期为 6， f（119.5） =f（20×60.5）=f（ 0.5） =，又偶函数 f （x），当 x3， 2 时，有 f（ x） =4x， f（119.5） =故选： C4【解答】 解： f（ x）是 R 上周期为 5 的奇函数， f （ x）=f （x）， f（1）=f（ 1），可得 f（ 1）=f（ 1） = 1，因为 f （2）=f（ 2），可得 f （ 2）=f （2）=3， f（8）=f（ 8 5） =f（3）=f（ 3 5） =f（ 2）=3，f（4）=f（45）=f （ 1）=

14、1， f（8） f（4）= 3（ 1）=2，故选 C；5【解答】 解： f（ x）的周期为 4，2015=4×5041， f（2015）=f（ 1），又 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，1所以 f （2015）=f（ 1） = 2 log21=2，故选： A f（x ）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数， f（2014）+f（ 2015） =f（1）+f（ 1）=1+2=3，故选： A7【解答】 解：，=f（ x） f（x+4） =f（x），即函数 f（ x）的一个周期为 4 f（5.5）=f（ 1.5+4）=f（ 1.5） f（x ）是定义在 R 上的偶函数 f（5.5）

15、=f（ 1.5） =f（ 1.5）=f （ 1.5+4） =f（2.5）当 2x3，f（ x） =x f（2.5）=2.5 f（5.5）=2.5故选 D8【解答】 解： f （x+2）+2=f （x+2）=f （x）， f（x ）是以 4 为周期的奇函数，又， f（log354）=2，故选： A 9【解答】 解：在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） +f（x）=0则： f（ x ）=f（ x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以 f （2015）=f（504×41）=f（ 1） = f（1）= 5故选： B10【解答】 解： f （x+2） = f（x+2+2 ）=f（ x

16、） f（x ）是以 4 为周期的函数 f（5）=f（ 1+4）=f（ 1） = 5f（f（ 5）=f （ 5） =f（ 5+4）=f（ 1）又 f（ 1）=f （f （5）=故选 B11【解答】 解： f（x+5） =f（x5），f （x+10）=f （ x），则函数 f（x）是周期为 10 的周期函数，则 f（ 1003） =f（1000+3）=f （3）=4 3=1，故选： C12【解答】 解：当 0x2 时， f（x）=x2 x=0 解得 x=0 或 x=1，因为 f （x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，故 f（ x） =0 在区间 0， 6）上解的个数为 6，又因为 f（6）

17、=f（ 0） =0，故 f （x） =0 在区间 0， 6 上解的个数为7，即函数 y=f（ x）的图象在区间 0，6 上与 x 轴的交点的个数为7，故选： B13【解答】 解： f （x+2） =f（x）， f（ 2014） =f（2016）=f（ 0）=log21=0， f（x ）为 R 上的奇函数， f （ 2015）=f （2015）=f （1）=1 f（2014）+f（ 2015）+f（ 2016）=01+0=1故选 A 14【解答】 解：由题意知， f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0， 3）时， f （x）=|2x24x+1|，在同一坐标系中画出函数 f（ x）

18、与 y= 的图象如下图：由图象可知：函数y=f （x）与 y= 在区间 3， 4 上有 10 个交点（互不相同），所以方程f（x ）= 在 3，4 解的个数是 10 个，故选： D15【解答】 解：函数 f （x）的最小正周期为2， f（x+2） =f（x）， f（x ）=x2，y=g（x） =|log5x|作图如下：函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（x ）=|log5x|的图象的交点的个数为 5，故选： C二填空题（共10 小题）16【解答】 解：对任意的 x 都有 f（ x+3）=， f（x+6） =f（ x），函数 f（x）为周期函数，且周期T=6， f（2014）=f

19、（ 335×6+4） =f（4）=f（ 1+3）=5故答案为： 517【解答】 解：当 x0，1 时， f（x）=2x 1，函数 y=f（ x）的周期为 2，x 1，0 时，f（ x）=2 x1，可作出函数的图象；图象关于 y 轴对称的偶函数 y=log5 |x|函数 y=g（ x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当 x5 时， y=log5|x| 1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在 x0 上有 4 个交点，由对称性知它们在 x0 上也有 4 个交点，且它们关于直线 y 轴对称，可得函数 g（x） =f（x） log5|x|的零点个数为 8；故答案为 8；18【解答】 解：由分

20、段函数可知，当x0 时， f（ x） =f（x1） f （x2）， f（x+1） =f（x） f （x1）=f（ x 1） f（ x 2） f（ x 1）， f（x+1） = f（ x2），即 f（ x+3）=f （x）， f（x+6） =f（x），即当 x 0 时，函数的周期是 6 f（2013）=f（ 335×6+3） =f（3）=f （0）=log2（80）=log 28=3，故答案为： 319【解答】 解：由 f （ x）= f （ x+ ）得 f （x+3）=f （x+ ）+ = f （ x+ ） =f （x）.所以可得 f （ x）是最小正周期 T=3 的周期函数；由f（

21、x ）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（x ，y）即若y=f（ x），则必 y=f（x），或y=f（x）而已知f（x）=f（x+），故f（x）=f（x+），今以 x 代 x+ ，得 f （ x） =f （x），故知 f （x）又是 R 上的偶函数于是有：f （1）=f （ 1）=1；f （ 2）=f （23）=f （ 1）=1；f （3）=f （0+3） =f （0）=2； f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续 3 项之和为 0而 2010=3×670，于是 f （2010）=0；故答案为 020【解答】 解：由题意知，定义在R 上的函数 f（x）有，则

22、令 x=x+2 代入得， f（x+4） =f（x ），函数 f（x）是周期函数且T=4， f（2011）=f（ 4×502+3） =f（3），2当 x（0，4）时， f（x ）=x 1， f（3）=8即 f（ 2011）=8故答案为：21【解答】 解：当 3x 1 时， f （x）=（ x+2） 2， f（ 3） = 1， f（ 2） =0，当 1x 3 时， f （x）=x， f（ 1） = 1， f（ 0）=0，f （1） =1，f （2）=2，又 f（ x+6）=f（ x）故 f（ 3） = 1， f（4）=0，f（ 5） = 1， f（ 6）=0，又 2012=335

23、5;6+2，故 f（ 1） +f（2）+f（ 3） +f（ 2 012） =335×f （ 1）+f （2）+f（3）+f （4） +f （ 5） +f（6）+f （1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为： 33822【解答】 解：由题意可得， f（ 8） =f（810） =f（ 2） = f（2）=2，f（14） =f（14 15） =f （ 1）=f （1）=1，故有 f （8） f （14） = 2（ 1）=1，故答案为 123【解答】 解：解：由 f （x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，则 f（ x+3）=f（ x），f （ x ）=f （x）， f（2

24、014）=f（ 3×6722）=f （ 2）=f （2），又 f（ 2） 1， f（2014） 1，即 1，即为0，即有（ 3a 2）（a+1） 0，解得， 1a ，故答案为：24【解答】 解： f（ x）是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f（x）=2x（ 1 x），=f（）=f（）=2× （1） =，故答案为：25【解答】 解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6）=sin=，同理可得 f（ 14） =f（ 16+2）=log216=4， f（+2）?f（ 14）=×4=，故答案为：三解答题（共5 小题）26【解答】（1）证明： f （x+2）= f（x）， f（x+4） = f（ x+2）=f（x）， f（x ）是周期为 4 的周期函数；（ 2）解：当 x2，0 时， x0，2，由已知得 f（ x）=2（ x）（ x） 2= 2xx2，又 f（ x）是奇函数， f（ x） = f（x）=2xx2， f（x ）=x2+2x，又当 x2，4 时， x42，0， f（x 4）=（x4）2+2（x4），又 f（ x）是周期为 4 的周期函数， f（x ）=f （x 4） =（ x 4） 2+2（x4） =x26x+8，从而求得 x2， 4 时， f（x）=x26x+8；（ 3）解： f（