初中数学旋转问题1

1、岳刚岳刚2021-12-2ABC旋旋转转 了解图形的旋了解图形的旋转，理解对应点转，理解对应点到旋转中心的距到旋转中心的距离相等、对应点离相等、对应点与旋转中心连线与旋转中心连线所成的角彼此相所成的角彼此相等的性质；等的性质；会会识别中心对称图识别中心对称图形形. 能按要能按要求作出简单平求作出简单平面图形旋转后面图形旋转后的图形，的图形，能能依据旋转前、依据旋转前、后的图形，指后的图形，指出旋转中心和出旋转中心和旋转角旋转角. 能利能利用旋转进用旋转进行图案设行图案设计；计；能能运用旋转运用旋转的知识解的知识解决简单问决简单问题题.2021-12-

2、3研究对象的选择：研究对象的选择：方案二：点方案二：点线段线段三角形等三角形等2. 2.关于旋转的性质的探究关于旋转的性质的探究：第一课时：第一课时： 建构概念，探究性质建构概念，探究性质. .第一课时：第一课时： 建构概念，探究性质建构概念，探究性质. .2. 2.关于旋转的性质的探究关于旋转的性质的探究：（1 1）对应点到旋转中心的距离）对应点到旋转中心的距离相等；相等；（2 2）对应点与旋转中心所连线）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；段的夹角等于旋转角；（3 3）旋转前、后的图形全等）旋转前、后的图形全等2021-12-5 举例：举例：1.如图，如图，AB

3、C为为等边三角形，等边三角形，D是是ABC内一点，若将内一点，若将ABD经过经过旋转后到旋转后到ACP位置，则位置，则旋转中心是旋转中心是_，旋转角，旋转角等于等于_度，度，ADP是是_三角形三角形.3. 3.关于旋转的概念和性质的简单应用关于旋转的概念和性质的简单应用：第一课时：第一课时： 建构概念，探究性质建构概念，探究性质. .第一课时：第一课时： 建构概念，探究性质建构概念，探究性质. .3. 3.关于旋转的概念和性质的简单应用关于旋转的概念和性质的简单应用： 2. 2. 如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD中，中，E E是是ADAD上上一点，将一点，将CDECDE逆时针旋转后得

4、到逆时针旋转后得到CBM.CBM.则旋转中心是则旋转中心是_，CDECDE旋转了旋转了_度度, , CEMCEM是是_三角形三角形. .2021-12-7 举例：举例：3.如图所示，把一个直角三如图所示，把一个直角三角尺角尺ACBACB绕着绕着3030角的顶点角的顶点B B顺时针顺时针旋转，使得点旋转，使得点A A落在落在CBCB的延长线上的的延长线上的点点E E处，则处，则BDCBDC的度数为的度数为 3. 3.关于旋转的概念和性质的简单应用关于旋转的概念和性质的简单应用：第一课时：第一课时： 建构概念，探究性质建构概念，探究性质. .第一课时：第一课时： 建构概念，探

5、究性质建构概念，探究性质. .3. 3.关于旋转的概念和性质的简单应用关于旋转的概念和性质的简单应用：例例2如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形，且的正方形，且DE= ,CBM是是CDE的旋转图形的旋转图形（1）旋转中心是哪一点？）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？）旋转了多少度？（3）CM的长度是多少？的长度是多少？（4）如果连结）如果连结EM， 那么那么CEM是怎样的三角形？是怎样的三角形？第一课时：第一课时： 建构概念，探究性质建构概念，探究性质. .3. 3.关于旋转的概念和性质的简单应用关于旋转的概念和性质的简单应用：（2009年包头）如图，已知年包头）如图

6、，已知 与与 是两个是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边全等的直角三角形，量得它们的斜边长为长为10cm，较小锐角为，较小锐角为30，将这两，将这两个三角形摆成如图（个三角形摆成如图（1）所示的形状，）所示的形状，使点使点 在同一条直线上，且点在同一条直线上，且点 与点与点 重合，重合，将图（将图（1）中的）中的 绕点绕点 顺时针方向旋转顺时针方向旋转到图（到图（2）的位置，点）的位置，点 在在 边上，边上， 交交 于于点点 ，则线段，则线段 的长为的长为 cm（保留根（保留根号）号）第一课时：第一课时： 建构概念，探究性质建构概念，探究性质. .3. 3.关于旋转的概念和性质的简单应用关于

7、旋转的概念和性质的简单应用：第一课时：第一课时： 建构概念，探究性质建构概念，探究性质. .3. 3.关于旋转的概念和性质的简单应用关于旋转的概念和性质的简单应用：（2009襄樊市）如图所示，在襄樊市）如图所示，在RtABC 中中ABC= ， 将将 RtABC绕点绕点 C顺顺时针方向旋转时针方向旋转 得到得到 DEF,点点E在在AC上，再将上，再将RtABC沿着沿着AB所在直线翻转所在直线翻转（1）求证：四边形）求证：四边形AFCD是菱形；是菱形；（2）连接）连接BE并延长交并延长交AD于于G连接连接CG请请问：四边形问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？是什么特殊平行四边形？为什么？为什么

8、？第一课时：第一课时： 建构概念，探究性质建构概念，探究性质. .3. 3.关于旋转的概念和性质的简单应用关于旋转的概念和性质的简单应用：第一课时：第一课时： 作业作业. .1在在26个英文大写字母中，通过旋转个英文大写字母中，通过旋转180后能后能与原字母重合的有（与原字母重合的有（ ） A6个个 B7个个 C8个个 D9个个2从从5点点15分到分到5点点20分，分针旋转的度数为分，分针旋转的度数为（ ） A20 B26 C30 D363如图如图1，在，在RtABC中，中，ACB=90，A=40，以直角顶点，以直角顶点C为旋转中心，为旋转中心， 将将ABC旋转到旋转到ABC的位置，其中的位置

9、，其中A、B分别是分别是A、B的对应点，且点的对应点，且点B在斜边在斜边AB上，直角边上，直角边CA交交AB于于D，则旋转角等于（，则旋转角等于（ ）A70 B80 C60 D50第一课时：第一课时： 作业作业. .第一课时：第一课时： 作业作业. .二、填空题二、填空题1在平面内，将一个图形绕一个定点沿着在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为为_，这个定点称为，这个定点称为_，转，转动的角为动的角为_2如图如图2，ABC与与ADE都是等腰直角三都是等腰直角三角形，角形，C和和AED都是直角，都是直角， 点点E 在在AB

10、上，如果上，如果ABC经旋转后能与经旋转后能与ADE重重合，那么旋转中心是点合，那么旋转中心是点_；旋转的；旋转的度数是度数是_2021-12-16利用旋转的定义和性质作图利用旋转的定义和性质作图 第二课时：第二课时： 简单作图，加深理解简单作图，加深理解. .点的旋转：点的旋转： 举例：举例：画出点画出点P P绕点绕点O O顺顺（或逆）（或逆）时针旋转时针旋转3030（或（或4545、 6060 ）后后的对应点的对应点. 利用旋转的定义和性质作图利用旋转的定义和性质作图 第二课时：第二课时： 简单作图，加深理解简单作图，加深理解. .线段的旋转：线

11、段的旋转：举例举例：画出线段画出线段ABAB绕点绕点A A（或点（或点B B、点点O O）顺顺（或逆）（或逆）时针旋转时针旋转3030 （或（或4545、 6060 ）后的图形后的图形. .利用旋转的定义和性质作图利用旋转的定义和性质作图 第二课时：第二课时： 简单作图，加深理解简单作图，加深理解. .三角形的旋转：三角形的旋转：举例举例：画出画出ABCABC绕点绕点C C逆（或顺）逆（或顺）时针旋转时针旋转9090（或（或180 180 ）后的图）后的图形形. .利用旋转的定义和性质作图利用旋转的定义和性质作图 第二课时：第二课时： 简单作图，加深理解简单作图，加深理解. .其它图其它图形的

12、旋转：形的旋转： 图形图形的旋的旋转转点的点的旋转旋转转化转化第二课时：第二课时： 简单作图，加深理解简单作图，加深理解. .利用旋转的定义和性质作图利用旋转的定义和性质作图 利用旋转的定义和性质作图利用旋转的定义和性质作图 第二课时：第二课时： 简单作图，加深理解简单作图，加深理解. .已知反比例函数已知反比例函数 的图的图象经过点象经过点 （1） 试确定此反比例函数的解析式；试确定此反比例函数的解析式；（2） 点点 O是坐标原点，将线段是坐标原点，将线段OA绕绕O点顺时针旋转点顺时针旋转30得到线段得到线段 OB，判断点，判断点 B是否在此反比例函数的图象上，并说明是否在此反比例函数的图象

13、上，并说明理由；理由；利用旋转的定义和性质作图利用旋转的定义和性质作图 第二课时：第二课时： 简单作图，加深理解简单作图，加深理解. .在在ABCD中，过点中，过点C作作CECD交交AD于点于点E,将线段将线段EC绕绕点点E逆时针旋转逆时针旋转 得到线段得到线段EF(如图如图1)（1）在图）在图1中画图探究：中画图探究：当当P为射线为射线CD上任意一点（上任意一点（P1不与不与C重合）时，连结重合）时，连结EP1绕点绕点E逆时针旋转逆时针旋转 得到线段得到线段EG1.判断直线判断直线FG1与与直线直线CD的位置关系，并加以证明；的位置关系，并加以证明；当当P2为线段为线段DC的延长线上任意一点

14、时，连结的延长线上任意一点时，连结EP2,将将线段线段EP2绕点绕点E 逆时针旋转逆时针旋转 得到线段得到线段EG2.判断直线判断直线G1G2与直线与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的的位置关系，画出图形并直接写出你的结论结论.第二课时：第二课时： 简单作图，加深理解简单作图，加深理解. .利用旋转的定义和性质作图利用旋转的定义和性质作图 FDCBAE图1G2G1P1HP2利用旋转的定义和性质作图利用旋转的定义和性质作图 第二课时：第二课时： 简单作图，加深理解简单作图，加深理解. .在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，直线中，直线 绕绕点点 O顺时针旋转顺时针旋转 y=-x得到

15、直线得到直线 l 直线直线l与反比例函数与反比例函数 的图的图象的一个交点为象的一个交点为A(a.3)，试确定反，试确定反比例函数的解析式比例函数的解析式第二课时：第二课时： 作业作业. .1.如图，如图，ABC的直角三角形，的直角三角形，BC是斜边，是斜边，将将ABP绕点绕点A逆时针旋转后，能与逆时针旋转后，能与ACP重合，如果重合，如果AP=3，求，求PP的长的长第二课时：第二课时： 作业作业. .2.如图所示，分别作以点如图所示，分别作以点G为旋转点逆时为旋转点逆时针旋转针旋转70与顺时针旋转与顺时针旋转80图形。图形。第三课时：中心对称图形第三课时：中心对称图形. .中心对称的两条基本

16、性质中心对称的两条基本性质1关于中心对称的两个图形，对应点关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心所平分； 2关于中心对称的两个图形是全等图关于中心对称的两个图形是全等图形形第三课时：中心对称图形第三课时：中心对称图形. .区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形中心对称图形的对称中心是对应点连线中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点的交点，也是对应点间的线段中点2021-12-29第三课时：中心对称图形第三课时：中心对称图形. .举例举

17、例：下列图形中，既是轴对称下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是图形，又是中心对称图形的是( )( )A B CD识别识别第三课时：关于原点对称的点的坐标第三课时：关于原点对称的点的坐标. .举例：举例： 已知：已知：如图，如图，ABC ABC 中中，A A（-2 -2，3 3），），B B（-3 -3，1 1），），C C（-1 -1，2 2）请请画画出出ABC ABC 关于原点关于原点O O 对称的对称的A A1 1B B1 1C C1 1. .数形结合数形结合两个点关于原点对称时，它们的坐标符两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，号相反，即点即点P P（x x，y y）关于

18、原点）关于原点O O的对称点的对称点PP（-x-x，- y- y） 第三课时：中心对称图形第三课时：中心对称图形. .ABCOxy第三课时：中心对称图形第三课时：中心对称图形. .例：如图，矩形例：如图，矩形ABCD中，中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使若将矩形折叠，使C点和点和A点重合，求折点重合，求折痕痕EF的长的长连接连接AF，点点C与点与点A重合，折痕为重合，折痕为EF，即，即EF垂垂直平分直平分ACAF=CF，AO=CO，FOC=90，又四边形，又四边形ABCD为矩形，为矩形，B=90AB=CD=3，AD=BC=4设设CF=x，则，则AF=x，BF=4x由勾股定理，得由勾股定理

19、，得AC2=BC2+AB2=52 AC=5，OC= AC= AB2+BF2=AF2 32+（4x）=2=x2 x= FOC=90 OF2=FC2OC2=（ ）2（ ）2=（ ）2 OF= 同理同理OE= 即即EF=OE+OF= 第三课时：作业第三课时：作业1在英文字母在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英中，是中心对称的英文字母的个数有（文字母的个数有（ ）个）个 A1 B2 C3 D42用两个全等的直角非等腰三角形可以拼用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：成下面图形中的哪几种：_（填序号）（填序号）（1）长方形；（）长方形；（2）菱形；（）菱形；（3）正方形；）正方形；（

20、4）一般的平行四边形；（）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；）等腰三角形；（6）梯形）梯形3如图，把一张长方形如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿的纸片，沿EF折叠后，折叠后，ED与与BC的交点为的交点为G， 点点D、C分别落在分别落在D、C的位置上，若的位置上，若EFG=55，则则1=（ ）A55 B125 C70 D1104.如图，将矩形如图，将矩形A1B1C1D1沿沿EF折叠，使折叠，使B1点点落在落在A1D1边上的边上的B处；沿处；沿BG折叠，使折叠，使D1点落点落在在D处且处且BD过过F点点 （1）求证：四边形）求证：四边形BEFG是平行四边形；是平行四边形；（2）连接）连接BB，

21、判断，判断B1BG的形状，并写的形状，并写出判断过程出判断过程2021-12-37以等边三角形为背景的旋转问题以等边三角形为背景的旋转问题举例举例1 1： 如图，如图，BCMBCM中，中，BMCBMC120120，以，以BCBC为边向三角形外作等边为边向三角形外作等边ABCABC，把，把ABMABM绕着点绕着点A A按逆时针方按逆时针方向旋转向旋转6060到到CANCAN的位置的位置. .若若BMBM2 2，MCMC3.3.求：求： AMBAMB的度数；的度数；求求AMAM的长的长. .2021-12-38以等边三角形为背景的旋转问题以等边三角形为背

22、景的旋转问题举例举例2 2：如图，已知如图，已知ABCABC为等边三角为等边三角形，形，M M为三角形外任意一点，证明：为三角形外任意一点，证明：AMBM+CM.AMBM+CM.以等边三角形为背景的旋转问题以等边三角形为背景的旋转问题举例举例3 3：已知：如图，已知：如图，P P为等边三角形为等边三角形ABCABC内一点，内一点，PA=3PA=3，PB=4PB=4，PC=5,PC=5,求求APBAPB的度数的度数. .以等边三角形为背景的旋转问题以等边三角形为背景的旋转问题举例举例4 4：如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中中, ,ABC=30ABC=30, ,ADC=60ADC=6

23、0，AD=DC.AD=DC.证明：证明：BDBD=AB=AB+BC+BC举例举例1 1：已知，已知，ABCABC中中, A, AD DBCBC于于D,D, 且且AD=BD,OAD=BD,O是是ADAD上一点，上一点，OD=CD,OD=CD,连结连结BOBO并延长交并延长交ACAC于于E.E.求证：求证：AC=OBAC=OB以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题举例2：如图，D为等腰直角三角形ABC的斜边BC上一点，求证：BD+CD=2AD 以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题2021-12-uschool.o

24、rg43举例举例3 3：如图甲，在如图甲，在ABCABC中，中，ACBACB为锐角点为锐角点D D为射线为射线BCBC上一动点，连接上一动点，连接ADAD，以，以ADAD为一边且在为一边且在ADAD的右侧作正方形的右侧作正方形ADEFADEF解答下列问题：解答下列问题：（1 1）如果）如果AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90当点当点D D在线段在线段BCBC上时（与点上时（与点B B不重合），如图乙，不重合），如图乙，线段线段CFCF、BDBD之间的位置关系为之间的位置关系为 ，数量关系，数量关系为为 当点当点D D在线段在线段BCBC的延长线上时，如图丙，的延长线上时，如图丙，中的

25、中的结论是否仍然成立，为什么？结论是否仍然成立，为什么？ ABCDEF图甲图甲图乙图乙FEDCBAFEDCBA图丙图丙从变换的高度分析问题；从变换的高度分析问题； 从运动的观点看待图形从运动的观点看待图形. .以一般等腰三角形为背景的旋转问题以一般等腰三角形为背景的旋转问题举例举例1 1: :(1)如图，已知在如图，已知在ABCABC中，中，ABAB= =ACAC，P P是是ABCABC内部任意一点，内部任意一点，将将APAP绕绕A A顺时针旋转至顺时针旋转至AQAQ，使，使QAPQAP=BACBAC，连接，连接BQBQ、CPCP，求证：，求证：BQBQ= =CPCP. .(2)(2)将点将点

26、P P移到等腰三角形移到等腰三角形ABCABC之外，之外，(1)(1)中的条件不变，中的条件不变， “BQBQ= =CPCP”还还 成立吗？成立吗？ 图图 Q P C B A A Q B P C图图四课时：利用旋转变换解决几何问题四课时：利用旋转变换解决几何问题. .从变换的高度分析问题；从变换的高度分析问题； 从运动的观点看待图形从运动的观点看待图形. .以一般等腰三角形为背景的旋转问题以一般等腰三角形为背景的旋转问题举例举例2 2：在等腰在等腰ABCABC中，中，ABABACAC，D D是是ABCABC内一点，内一点，ADBADB ADCADC，求证：，求证： DBCDBC DCB.DCB

27、.四课时：利用旋转变换解决几何问题四课时：利用旋转变换解决几何问题. .第三课时：第三课时： 发现旋转，提升认识发现旋转，提升认识. .从变换的高度分析问题；从变换的高度分析问题； 从运动的观点看待图形从运动的观点看待图形. .1. 1. 当旋转角是当旋转角是6060时，作一个图形旋转后的图时，作一个图形旋转后的图形的存在等边三角形；当旋转角是形的存在等边三角形；当旋转角是9090时，时，存在等腰直角三角形存在等腰直角三角形. .反之，如果图形中存在反之，如果图形中存在两个等边三角形或等腰直角三角形，可以从两个等边三角形或等腰直角三角形，可以从图形旋转的角度分析图形关系图形旋转的角度分析图形关

28、系. . 2. 2. 事实上，只要图形中存在公共端点的等线段事实上，只要图形中存在公共端点的等线段，就可能形成旋转型问题，就可能形成旋转型问题. .BACDE注意：要抓住本质，不注意：要抓住本质，不要将其模式化要将其模式化. .第三课时：第三课时： 发现旋转，提升认识发现旋转，提升认识. .从变换的高度分析问题；从变换的高度分析问题； 从运动的观点看待图形从运动的观点看待图形. .举例：举例：已知：如图，正方形已知：如图，正方形ABCDABCD内点内点P P到到A A，B B，C C三点的距离之和的最小值为三点的距离之和的最小值为 . . 求此正方形的边长求此正方形的边长. .26另：在这一节

29、中也可借助直角另：在这一节中也可借助直角坐标系探究发现中心对称和轴坐标系探究发现中心对称和轴对称之间的关系对称之间的关系. .若两对称轴互相垂若两对称轴互相垂直直, ,则两次轴对称相当则两次轴对称相当于一次中心对称于一次中心对称. .第三课时：关于原点对称的点的坐标第三课时：关于原点对称的点的坐标. .2021-12-50第三课时：关于原点对称的点的坐标第三课时：关于原点对称的点的坐标. . 旋转和轴对称的旋转和轴对称的 关系：关系： 将一个图形关于将一个图形关于两条相交直线轴对两条相交直线轴对称两次，则可得到称两次，则可得到原图形关于两直线原图形关于两直线交点的旋转两倍

30、夹交点的旋转两倍夹角后的图形角后的图形.2021-12-51第四课时：中心对称的应用第四课时：中心对称的应用. .从变换的高度分析问题；从变换的高度分析问题； 从运动的观点看待图形从运动的观点看待图形. .E E主要内容：主要内容：1. 1.构造中心对称解决几何问题构造中心对称解决几何问题. .DABC对基本图形的认识：对基本图形的认识：要解决好三个问题：为什么要构造中心为什么要构造中心对称？对称？怎么构造？怎么构造？构造后怎么用？构造后怎么用？切忌把问题模式化，例如：倍长中线法2021-12-52第四课时：中心对称的应用第四课时：中心对称的应用.

31、.从变换的高度分析问题；从变换的高度分析问题； 从运动的观点看待图形从运动的观点看待图形. .举例举例1 1：已知已知ABCABC中，中，ABAB5 5，ACAC3 3，求，求BCBC边边上的中线上的中线ADAD的取值范围的取值范围. .2021-12-53第四课时：中心对称的应用第四课时：中心对称的应用. .从变换的高度分析问题；从变换的高度分析问题； 从运动的观点看待图形从运动的观点看待图形. .举例举例2 2：已知：如图，已知：如图，Rt ABCRt ABC中，中，ACB=90ACB=90， D D为为ABAB中点，中点，DEDE、DFDF分别交分别交ACAC于于E,E,交交BCBC于于F F，且，且DEDFDEDF求证：求证：AEAE2 2+BF+BF2 2=EF=EF2 2. .2021-12-54第四课时：中