第6讲 控制系统稳定性6

1、三江学院机械工程学院 控制工程基础控制工程基础Basis of Control Engineering 任课教师：李建民任课教师：李建民电电 话：话：1534518343915345183439教学方式：讲授为主教学方式：讲授为主学习方式：听课学习方式：听课+ +自学自学三江学院机械工程学院第三章第三章 控制系统的稳定性控制系统的稳定性 教学要求：（教材第教学要求：（教材第6 6章）章）基本内容：稳定性的概念；基本内容：稳定性的概念；RouthRouth-Hurwitz-Hurwitz稳定判据。稳定判据。基本要求：基本要求：理解稳定性的概念；掌握稳定性理解稳定性的概念；掌握稳定性的分析方法。的

2、分析方法。三江学院机械工程学院3.1 引引 言言控制控制是使是使被控对象被控对象按照我们预定方式工作按照我们预定方式工作控制目的：控制目的：y(t)y(t)r(tr(t) )控制器被控对象预期输出r(t)实际输出y(t)比较器测量装置误差e(t)控制量u(t)被测变量测量值控制要求：快、准、稳控制要求：快、准、稳三江学院机械工程学院3.1 3.1 引引 言言控制系统性能控制系统性能( (稳、准、快稳、准、快) )由由闭环传递函数闭环传递函数确定确定 传感器传感器H(s)H(s)Y(s)控制器控制器G Gc c(s(s) )控制对象控制对象G(s)G(s)E(s)R(s)T(sT(s) )R(s

3、)Y(s)三江学院机械工程学院3.1 引引 言言 11T ss 111AAAY sssss AR ss 对于对于稳定系统稳定系统：可以实现输出对输入的跟踪可以实现输出对输入的跟踪 r tA ty tAAe 4tsy tr tA三江学院机械工程学院3.1 引引 言言 11T ss 111AAAY sssss AR ss 不稳定系统：系统输出趋于无穷大，不能跟踪不稳定系统：系统输出趋于无穷大，不能跟踪 r tA ty tAAe ty tr tA 三江学院机械工程学院3.1 引引 言言稳：指稳：指稳定性稳定性，是系统完成任务的，是系统完成任务的必要条件必要条件三江学院机械工程学院A 稳定的稳定的B

4、临界稳定的临界稳定的C 不稳定不稳定的的3.1 3.1 引引 言言稳定的直观概念：稳定的直观概念：三江学院机械工程学院3.1 3.1 引引 言言不倒翁是大范围稳定的不倒翁是大范围稳定的三江学院机械工程学院 定义定义1 1 如果系统受到如果系统受到有界扰动有界扰动，不论扰动引，不论扰动引起的起的初始偏差初始偏差有多大，当扰动有多大，当扰动取消取消后，后，系统都能恢复到系统都能恢复到初始平衡状态初始平衡状态，则这种，则这种系统称为系统称为大范围大范围稳定的系统；稳定的系统； 如果只有当扰动引起的初始偏差如果只有当扰动引起的初始偏差小于小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢某一范围时，系统才能在取消

5、扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为初始平衡状态，则这样的系统称为小范小范围围稳定的系统；稳定的系统；3.2 3.2 稳定性的基本概念稳定性的基本概念三江学院机械工程学院 理解理解 大范围稳定大范围稳定小范围稳定小范围稳定不稳定不稳定临界稳定临界稳定3.2 3.2 稳定性的基本概念稳定性的基本概念三江学院机械工程学院 注意注意 对于对于线性系统线性系统而言：而言： 1 1、若稳定，它必然在大范围内和小范围内、若稳定，它必然在大范围内和小范围内都能都能稳定稳定。只有。只有非线性系统非线性系统才可能存在小范围稳才可能存在小范围稳

6、定，而大范围不稳定的情况。定，而大范围不稳定的情况。 2 2、在、在有界输入有界输入作用下，其输出响应也是作用下，其输出响应也是有有界界的。的。 3 3、稳定性是系统的一种、稳定性是系统的一种固有特性固有特性，它只取，它只取决于系统本身的决于系统本身的结构和参数结构和参数，而与，而与初始状态和外初始状态和外作用无关作用无关。3.2 3.2 稳定性的基本概念稳定性的基本概念三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性控制系统稳定性研究控制系统稳定性研究 传感器传感器H(s)H(s)Y(s)控制器控制器G Gc c(s(s) )控制对象控制对象G(s)G(s)E(s)R(s

7、)T(sT(s) )R(s)Y(s)三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性闭环系统传递函数：闭环系统传递函数： sqspsHsGsGsGsGsRsYsTcc 1 00111 qsqsqssqnnnq(s)=0构成了系统的特征方程构成了系统的特征方程三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性特征根的三种情况及所对应时间解构型：特征根的三种情况及所对应时间解构型：sin,cossin,cosaatattssjsaeajet ettt三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性1 1）s s平面上实极点及稳定性平面上实极

8、点及稳定性 j 0 j 0 j 0ty(t)0ty(t)0ty(t)0三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性2 2）s s平面上复极点及稳定性平面上复极点及稳定性 j 0 j 0 j 0ty(t)0ty(t)0ty(t)0三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性3 3）s s平面虚轴上重极点及稳定性平面虚轴上重极点及稳定性 j 0 j 0ty(t)0ty(t)0三江学院机械工程学院 右图是塔科马峡右图是塔科马峡谷的首座大桥，开通谷的首座大桥，开通于于19401940年年7 7月月1 1日。只日。只要有风，这座大桥就要有风，这座大桥就会晃

9、动。会晃动。3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性三江学院机械工程学院 4 4个月之后，一个月之后，一阵风吹过，引起桥阵风吹过，引起桥的晃动，而且越来的晃动，而且越来越大，直到越大，直到. . 同理，同理，不要在桥上齐步走！不要在桥上齐步走！3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性共振现象：共振现象：三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性221s22s222sintts j 0共振现象的解释：共振现象的解释：ty(t)0三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性 稳定稳定：系统的所有极点都位于系统的所有极点都位于s s平

10、面的左半平平面的左半平面面。 临界稳定：临界稳定：系统没有极点位于系统没有极点位于s s平面的右半平平面的右半平面，且位于面，且位于s s平面虚轴上的极点都为一阶极点。平面虚轴上的极点都为一阶极点。 不稳定：不稳定：(1)(1)系统至少有一个极点位于系统至少有一个极点位于s s平面的平面的右半平面，右半平面，(2)(2)或者位于或者位于s s平面虚轴上的极点至平面虚轴上的极点至少有一个为高阶极点。少有一个为高阶极点。 三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性 稳定系统在有界输入的作用下，输出也应有稳定系统在有界输入的作用下，输出也应有界的。这叫做界的。这叫做有界输入

11、有界输出（有界输入有界输出（BIBOBIBO）稳稳定。定。 系统系统有界输入有界输出（有界输入有界输出（BIBOBIBO）稳定的充分稳定的充分必要条件必要条件：系统的所有极点都位于系统的所有极点都位于s s平面的平面的左半平面。左半平面。三江学院机械工程学院3.4 3.4 特征方程系数与系统稳定性间关系特征方程系数与系统稳定性间关系 11100nnnnq sa sasa sa 显然：通过求解显然：通过求解系统的特征方程系统的特征方程，得到系统，得到系统极点，就能够极点，就能够判断系统的稳定性判断系统的稳定性。 021 nnrsrsrsasq三江学院机械工程学院3.4 3.4 特征方程系数与系统

12、稳定性间关系特征方程系数与系统稳定性间关系 0123753059234 sssssq.希望能够希望能够不求解不求解系统特征方程，系统特征方程，仅根据仅根据特征方特征方程的系数程的系数也能得到对也能得到对系统稳定性的系统稳定性的正确判断。正确判断。对对高阶代数方程高阶代数方程的求解的求解是非常困难的。是非常困难的。三江学院机械工程学院3.4 3.4 特征方程系数与系统稳定性间关系特征方程系数与系统稳定性间关系一阶系统：一阶系统： 001 asasq10/aar 若要求若要求r0,r0,a0,a1 100 三江学院机械工程学院3.4 3.4 特征方程系数与系统稳定性间关系特征方程系数与系统稳定性间

13、关系二阶系统：二阶系统： 00122 asasasq2022112, 124aaaaar 若两根在左半平面，则要求若两根在左半平面，则要求a a0 0,a,a1 1,a,a2 2具有相同的符号。具有相同的符号。不妨假设不妨假设a a0 00,a0,a1 10,a0,a2 200 (1)若若a0和和a2不同符号，则不同符号，则 。即两根。即两根肯定不同符号，与两根都在左半平面相矛盾。肯定不同符号，与两根都在左半平面相矛盾。所以只能所以只能a0和和a2具有相同符号。具有相同符号。212014aa aa(2)两根的符号与两根的符号与-a1/a2相同，只有相同，只有a1和和a2具具有相同符号有相同符号

14、三江学院机械工程学院3.4 3.4 特征方程系数与系统稳定性间关系特征方程系数与系统稳定性间关系 三阶系统： 0012201 bsbsbasasq若若a a0 00,a0,a1 10,b0,b0 00,b0,b1 10,b0,b2 20,0,则有则有aa0 00,a0,a1 10,a0,a2 20,a0,a3 300 00100122011321012113210010220010122basbabasbabasbasbasbasbabasbasbaasabsbsb 三江学院机械工程学院3.4 3.4 特征方程系数与系统稳定性间关系特征方程系数与系统稳定性间关系 高阶系统：高阶系统： 0011

15、1 asasasasqnnnn系统稳定系统稳定（特征方程的根都位于复平面的（特征方程的根都位于复平面的左半平面）的左半平面）的必要条件必要条件为：为：特征方程的系特征方程的系数都具有相同的符号数都具有相同的符号。三江学院机械工程学院3.4 3.4 特征方程系数与系统稳定性间关系特征方程系数与系统稳定性间关系 稳定性初判：稳定性初判： 042 sssq 8242232 sssssssq 8223 ssssq 3231133 sssssq三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据Routh-Hurwitz判据：判据：q(s)的正实部根

16、的数的正实部根的数目目同同Routh判据表判据表首首列中符号变化的次数列中符号变化的次数相等。相等。 2413523101351315nnnnnnnnnnnnnnnnnaasaasbbsaabhcccss Routh判据表： 00111 asasasasqnnnn1. Routh-Hurwitz判据判据三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据Routh-HurwitzRouth-Hurwitz判据表判据表由第一、第二行，直由第一、第二行，直接由特征多项式系数接由特征多项式系数构成。构成。 1213531350135124nnnn

17、nnnnnnnnnnnnnaaaaaassbbbscccshs Routh判据表： 00111 asasasasqnnnn其它行按照计算规律由其它行按照计算规律由该行的前两行计算出来该行的前两行计算出来 2. Routh-Hurwitz判据表构成判据表构成三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据3.Routh3.Routh判据表计算规律：判据表计算规律：4152353135012311nnnnnnnnnnnnnnnnnasasbbaabscccshsaa2131231111nnnnnnnnnnnaabaaaa aaaa1) bn

18、-1的计算的计算三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据3.Routh3.Routh判据表计算规律：判据表计算规律：4213215313503151nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaasasbbscccshsb143511nnnnnnaabaaa2) bn-3的计算的计算三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据3.Routh3.Routh判据表计算规律：判据表计算规律：2413521335013115nnnnnnnnnnnnnnnnnaasaasbbscc

19、cshsbaa151010nnnnaaab3) bn-5的计算的计算三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据3.Routh3.Routh判据表计算规律：判据表计算规律：1313241525330115nnnnnnnnnnnnnnnnnaaasasbsccbcsaahbs1311311nnnnnnaabbbc4) 其它行的计算规律与其它行的计算规律与b行相同，只行相同，只不过仅涉及该行的前两行。不过仅涉及该行的前两行。1511531nnnnnnaabbbc三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHu

20、rwitz稳定性判据稳定性判据4.Routh4.Routh判据表的三种情形判据表的三种情形1.1. 首列中没有元素为零；首列中没有元素为零；2.2. 首列中有首列中有1 1个元素为零，但零元素所在行个元素为零，但零元素所在行中存在非零元素；中存在非零元素；3.3. 首列中有一个元素为零，且零元素所在首列中有一个元素为零，且零元素所在行中，其他元素均为零；行中，其他元素均为零；0000三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形1. 1. 首列中没有元素为零；首列中没有元素为零；例例1 1 二阶系统二阶系统 0122asasa

21、sq 22011000s aas as a210,a a a具有相同符号三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形1.首列中没有元素为零；例例2 2 三阶系统三阶系统 012233asasasasq 3313122020213011122000aaaasaaaasa aa abbaasas三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形1.1.首列中没有元素为零；首列中没有元素为零；例例2 2 三阶系统三阶系统 012233asasasasq 对于所有系数大于对

22、于所有系数大于0的三的三阶系统，系统稳定的充分阶系统，系统稳定的充分必要条件是：必要条件是：2130a aa a三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形1.1.首列中没有元素为零；首列中没有元素为零；例例2 2 三阶系统三阶系统 012233asasasasq 322224283q sssssss 3321331q sssss三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形2. 2. 首列中有首列中有1 1个元素为零，个元素为零，但零元素所在但零元素所在行

23、中存在非零元素；行中存在非零元素； 10114222345 ssssssq例例3 3 判断稳定性判断稳定性三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形2. 2. 首列中有首列中有1 1个元素为零，个元素为零，但零元素所在但零元素所在行中存在非零元素；行中存在非零元素； 10114222345 ssssssq543211301211122410240021112106206ssbssssb三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据54322010121124106

24、0sssccsss2024612210010cc用无穷小正数用无穷小正数 代替代替0 0，继续运算，继续运算三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据54321101211241060121010sssssds161210612d把把 看成无穷小正数，应用看成无穷小正数，应用Routh判判据，符号变化两次，系统不稳定据，符号变化两次，系统不稳定三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形3 3：首列中有零元素：首列中有零元素且零元素所在行的且零元素所在行的其他元

25、素均为零其他元素均为零。 32248q ssss例例4 4 判断稳定性判断稳定性三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形3 3：首列中有零元素：首列中有零元素且零元素所在行的且零元素所在行的其他元素均为零其他元素均为零。 32248q ssss3102140280ssss全全0 0行的前一行多项式行的前一行多项式是是q(sq(s) )的因子的因子三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形3 3：首列中有零元素：首列中有零元素且零元素所在行的且零元素所

26、在行的其他元素均为零其他元素均为零。 32248q ssss3102140280ssss228s是是q(sq(s) )的因子的因子23232224248428280sssssssss三江学院机械工程学院 用长除法求剩余因子用长除法求剩余因子 再对剩余因子展开再对剩余因子展开Routh判据判据三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形3 3：首列中有零元素：首列中有零元素且零元素所在行的且零元素所在行的其他元素均为零其他元素均为零。 32248q ssss3102140280ssss222824222sssjsj全全0 0行

27、意味着虚根的出现行意味着虚根的出现三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形3 3：首列中有零元素且零元素所在行的：首列中有零元素且零元素所在行的其他元素均为零。其他元素均为零。 6332442345 ssssssq例例5 5 判断稳定性判断稳定性三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形3 3：首列中有零元素且零元素所在行的：首列中有零元素且零元素所在行的其他元素均为零。其他元素均为零。 6332442345 ssssssq5431201431246

28、320600002163ssssss23s 是是q(s)的因子的因子用长除法求剩余因子用长除法求剩余因子再对剩余因子展开再对剩余因子展开Routh判据判据三江学院机械工程学院 3.5 3.5 RouthRouthHurwitzHurwitz稳定性判据稳定性判据 6332442345 ssssssq322543253432423232221342436332432133216321630sssssssssssssssssssssss 232321q sssss 2 2个虚根、右半平面个虚根、右半平面2 2个根、左半平面个根、左半平面1 1个根个根系统不稳定系统不稳定三江学院机械工程学院例例: :

29、 设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。0516178234ssss三江学院机械工程学院431751618ss劳斯阵列第一列中劳斯阵列第一列中系数符号全为正，系数符号全为正，所以控制系统稳定。所以控制系统稳定。 解：解：首先由方程系数可知首先由方程系数可知满足稳定的必要条件满足稳定的必要条件。0516178234ssss2515s05s1403s其次，排劳斯阵列其次，排劳斯阵列三江学院机械工程学院例2 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。43210133241332sssss03432

30、234ssss解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。 排劳排劳斯阵列斯阵列第一列系数改变符号第一列系数改变符号2次，次，闭环系统的根中有闭环系统的根中有2个实部个实部为正，为正，控制系统不稳定。控制系统不稳定。三江学院机械工程学院10221ss例例: : 设控制系统的闭环特征方程式为设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。用劳斯判据判断稳定性。4322210ssss 劳斯阵列表劳斯阵列表4311122ss符号改变符号改变2次，次，2个正实根。个正实根。20( )1s三江学院机械工程学院32220sss 3210112220ssss无正实根，无

31、正实根，有虚根。有虚根。三江学院机械工程学院6543182016212160168000ssss例: 设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。6543228122016160ssssss劳斯阵列表临界稳定临界稳定21038841243sss 4268A sss 3412dA sssds三江学院机械工程学院 出现全零行时：出现全零行时： 用上一行元素组成辅助方程，将其对用上一行元素组成辅助方程，将其对S S求导求导一次，一次， 用新方程的系数代替全零行系数，之后继续用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。运算。出现全零行时，系统可能出现一对共轭虚根；或一对出现全零行时，系统可能出现

32、一对共轭虚根；或一对符号相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的符号相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。复根。 三江学院机械工程学院3.6 设计实例分析例例1 1 三阶系统的控制三阶系统的控制R(s)Y(s)K 112s ss 要求设计参数要求设计参数K,K,使闭环系统稳定。使闭环系统稳定。比例控制器比例控制器P P控制器控制器控制对象控制对象 比例控制器（比例控制器（P P）是最早出现的控制器形式，可）是最早出现的控制器形式，可以看成是一切控制器的源。以看成是一切控制器的源。三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性特征方程的求法（第一种方法）：特征方

33、程的求法（第一种方法）： 1Y sKG sp sT sR sKG sq s 1212112Ks ssKT sKs ssKs ss 321232q ss ssKsssK 三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性特征方程的求法（第二种表现形式）：特征方程的求法（第二种表现形式）： 1Y sKG sT sR sKG s 10q sKG s 这种特征方程不是多项式形式，但可以容易化简成这种特征方程不是多项式形式，但可以容易化简成多项式形式多项式形式 1012Kq ss ss 三江学院机械工程学院3.3 3.3 线性系统的稳定性线性系统的稳定性特征方程为：特征方程为：3232

34、0sssK 0063*2kKK 当当0K0,0,要求设计参数要求设计参数K,K,使闭环系统稳定。使闭环系统稳定。三江学院机械工程学院3.6 设计实例分析例例2 2 解：使闭环系统稳定性只与闭环传递函数解：使闭环系统稳定性只与闭环传递函数的分母（特征多项式）有关。所以要的分母（特征多项式）有关。所以要(1)(1)先求先求闭环传递函数：闭环传递函数： 1111111szKsp s sK szGT sszGHs sspK szKsp s s 32110q ss sspK szspsKp sKz(2)得到特征方程：得到特征方程：三江学院机械工程学院3.6 设计实例分析(3)(3)基于特征方程判断闭环系

35、统稳定性基于特征方程判断闭环系统稳定性 3210q sspsKp sKz稳定，要求特征多项式所有符号相同，所以稳定，要求特征多项式所有符号相同，所以1,0pKp Kz三次多项式稳定，要求三次多项式稳定，要求1pKpKz三江学院机械工程学院3.6 设计实例分析展开，整理，得展开，整理，得右边为正数，所以闭环稳定只能：右边为正数，所以闭环稳定只能：1pz1(1)K pzp p 当当(1)1p pKpz 时时三江学院机械工程学院例例3 3 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为: : 试判断使系统稳定的试判断使系统稳定的k k值范围值范围, ,如果要求特如果要求特征值均位于征值均位于s=-1s=-

36、1垂线之左。问垂线之左。问k k值应如何调整值应如何调整? ?320.0250.3250sssk3.6 设计实例分析三江学院机械工程学院解：解：(1)(1)直接判断是可以的，但变换为我们熟直接判断是可以的，但变换为我们熟悉的正号形式，再加以判断，可能会更不容易悉的正号形式，再加以判断，可能会更不容易出错。出错。3.6 设计实例分析0325.0025.023ksss系统稳定，要求系统稳定，要求00130.3250.025*kkk三江学院机械工程学院 如果要求特征值均位于如果要求特征值均位于s=-1s=-1垂线之左。问垂线之左。问k k值应如何调整值应如何调整? ?321340400sssk3.6

37、 设计实例分析321131401400nnnsssk 将将s=ss=sn n-1-1，代入，代入q(sq(s) )得到新多项式，再用得到新多项式，再用RouthRouth判据。判据。s sn n=0=0线就是线就是s=-1s=-1线线三江学院机械工程学院 有：有：3.6 设计实例分析32101740280nnnsssk402800.74.9510*174028kkk三江学院机械工程学院0121123sasssksradn/2例例4 4 已知系统的特征方程为：已知系统的特征方程为： 若系统以若系统以 的频率作等幅振荡，的频率作等幅振荡，试确定参数试确定参数K和和a之值。之值。3.6 设计实例分析

38、 32210q ssasksk三江学院机械工程学院3.6 设计实例分析22221144nkksssaa例例4 4 解：解： Routh判据表为：判据表为： 32210q ssasksk3210121001ksakssks1120kbka2/nrad s324ka三江学院机械工程学院3.6 设计实例分析例例4 4 解：验证：解：验证： 3234304q ssss32233434044sssss三江学院机械工程学院劳斯表劳斯表: :11)2(12101112131ksakkskaskssradn/2 若系统以若系统以 的频率作等幅振荡，的频率作等幅振荡，试确定参数试确定参数K和和a之值。之值。三江

39、学院机械工程学院 由于系统处于等幅振荡状态，因此闭环系统必具有共轭纯虚根： j2和-j2。 012akak21kkaakjskas1012,122121kkaak可得：75.02ak三江学院机械工程学院第三章 小 结1. 线性系统的稳定性线性系统的稳定性 系统稳定性系统稳定性是系统的是系统的固有属性，固有属性，由特征方程由特征方程的根唯一的决定。的根唯一的决定。 稳定稳定：系统的所有极点都位于系统的所有极点都位于s s平面的左半平面平面的左半平面。 临界稳定：临界稳定：系统没有极点位于系统没有极点位于s s平面的右半平面，平面的右半平面，且位于且位于s s平面虚轴上的极点都为一阶极点。平面虚轴上的极点都为一阶极点。 不稳定：不稳定：(1)(1)系统至少有一个极点位于系统至少有一个极点位于s s平面的平面的右半平面，右半平面，(2)(2)或者位于或者位于s s平