复变函数与积分变换第1章15初等函数h

1、1.5 初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂 ab 与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考2一、指数函数一、指数函数 yiyeexzsincos 1.指数函数的定义指数函数的定义:的的指指数数函函数数定定义义为为我我们们将将复复变变数数iyxz 性质: )(Arg为任何整数为任何整数其中其中kkyeeezxz , ,2 2) )( (, ,| | |) )1 1( (zikzikzeeee 2 22 2) )3 3( (为周期的周期函数。为周期的周期函数。是以是以说明说明ikez2 2 . 所没有的所没有的该性质是实变指数函数该性质是实变指数函数xe2 21

2、 12 21 1zzzzeee (2) 加法定理：加法定理：3 加法定理加法定理2 21 12 21 1zzzzeee 证证 , , 222111iyxziyxz 设设2 21 1zzee 左端左端)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx . .2 21 1右端右端 zze4例例1 的周期的周期求函数求函数. )( 5zezf 解解,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期

3、是故函数故函数.10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 5二、对数函数二、对数函数1. 定义定义.ArglnLn , )( zizzwzfwezw记为称为对数函数的反函数 .2 , )( , Arg的整数倍的整数倍并且每两值相差并且每两值相差也是多值函数也是多值函数所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于izfwz 6,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果将如果将 . Ln ln Ln 的主值称为，记为一单值分支函数，得zzz.arglnlnzizz 其余各值为其余各值为), 2, 1(2lnLn kikzz. Ln , , 的一个分支的一个分支

4、称为称为上式确定一个单值函数上式确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的zk7例例2 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.8例例3解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln i

5、z 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k9例例4解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii . .2 22 23 3arctanarctan1313lnln2 21 1 ki), 2, 1, 0( k10.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln112. 性质性质,LnLn)(Ln)1(

6、2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 12三、乘幂三、乘幂 与幂函数与幂函数ba1. 乘幂的定义乘幂的定义 , , , Lnabbeaba定义为定义为乘幂乘幂复数复数为任意一个为任意一个为不等于零的一个复数为不等于零的一个复数设设 . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的因而因而是多值的是多值的由于由于bakaiaa , )1(为整数时为整数时当当b Lnabbea )2arg(ln kaiabe13ikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具有单一的值具有单一的值ba ,0) ,( )2(时时为互质的整数为互质的整数

7、与与当当 qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 个值个值具有具有 qab .)1( , 2 , 1 , 0 时相应的值时相应的值即取即取 qk14特殊情况特殊情况: ,)( )1时时正整数正整数当当nb Lnannea LnLnLnaaae ) (项项指数指数 n LnLnLnaaaeee ) (个个因子因子 n.aaa ) (个个因子因子 n ,)( 1 )2时时分数分数当当nb Ln11annea nkainkaean2argsin2argcos ln115 nkain

8、kaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中; , bzwza 就得到一般的幂函数就得到一般的幂函数为一复变数为一复变数如果如果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的反函数的反函数及及数数就分别得到通常的幂函就分别得到通常的幂函时时与与当当16例例5 5 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案课堂练习课堂练习.3)( 5 计算计算), 2, 1, 0( .)12

9、(5sin)12(5cos3)3(55 kkik17四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义cossin ,ixex ix cossin ,ixexix将两式相加与相减将两式相加与相减, 得得cos,2ixixeexsin.2ixixeexi现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况.18,2cos izizeez 我们定义余弦函数为我们定义余弦函数为.sin ieeziziz2 2 正弦函数为正弦函数为.cos , sin ,是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数容易证明容易证明zz.cos)c

10、os(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .2 为周期的为周期的是以是以正弦函数和余弦函数都正弦函数和余弦函数都 19有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos

11、,cos)(sinzzzz 20 , 时时为纯虚数为纯虚数当当yiz, ,2 2coscoschyeeyiyy . .2 2sinsinishyieeyiyy . .coscossinsin) )sin(sin(, ,sinsincoscos) )cos(cos() )3 3( (xshyixchyyixxshyixchyyix .cos ,sin , yiyiy时时当当( (注意：这是与实变函数完全不同的注意：这是与实变函数完全不同的) )21其他复变数三角函数的定义其他复变数三角函数的定义,cossintan zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1

12、sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数 . , , , cos sin 解析性解析性奇偶性奇偶性周期性周期性我们可以讨论它们的我们可以讨论它们的类似类似和和与与zz222. 双曲函数的定义双曲函数的定义, ,2 2zzeechz 为为我我们们定定义义双双曲曲余余弦弦函函数数, ,2 2zzeez sh 双曲正弦函数为双曲正弦函数为. chzshzthz 双曲正切函数为双曲正切函数为. , 的定义完全一致的定义完全一致函数函数它与高等数学中的双曲它与高等数学中的双曲时时为实数为实数当当xz23. .是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数容易证明容易证明zshzch ,

13、,它们的导数分别为它们的导数分别为, ,) )( (chzshz 并有如下公式并有如下公式:, ,coscosychyi . .sinsincoscos) )( (, ,sinsincoscos) )( (yichxyshxyixshyishxychxyixch它们都是以它们都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数,i 2. .) )( (shzchz . .sinsinyishyi 24五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数1. 反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , cos zwwz记作称为反余弦函数的反函数,2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwi

14、wzee得得, 1 2 zzeiw方程的根为方程的根为两端取对数得两端取对数得).1Ln(cosArc2 zziz25 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤重复以上步骤, 可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:),1Ln(Arcsin2ziziz .11Ln2Arctaniziziz 2. 反双曲函数的定义反双曲函数的定义),Ln(Arsh 1 12 2 zzz反双曲正弦反双曲正弦),Ln(hAr 1 12 2 zzzc反双曲余弦反双曲余弦.Ln1Artanh zzz 1 11 12 2反双曲正切反双曲正切26六、小结与思考六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性质本性质, 又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性. 如如: 1. 指数函数具有周期性指数函数具有周期性) 2 (i周期为周期为2. 负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立3. 三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性4. 双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数27思考题思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同哪些异同?28思考题答案思考题答案