复合函数与反函数 初等函数

1、第第3节节 复合函数与反函数复合函数与反函数 初等函数初等函数 一、复合函数一、复合函数二、反函数二、反函数三、初等函数三、初等函数四、小结与习题四、小结与习题 一、复合函数一、复合函数 映射函数 复合映射复合函数)(1DfY )(ufy )(xgf1DDx)(xgu gfgf )(Dg定义：设有两个函数 1.复合函数定义1),(DuufyDxxgu),(如果 )(xg的值域 gR与 )(uf的定义域 fD满足 fgDR 则称由函数 )(xgu 与函数 )(ufy 构成一个复合函数， 记作： gf 即Dxxgfxgf),()(）也可直接写成 )(xgfy Dx例1.设 1-)(uufy), 1

2、 (uxxgu1)()0( x则它们的复合函数为： 1-1)(xxgfy其定义域 1 , 0(D2.复合函数的复合条件 第一，只有第一个函数的定义域与第二个函数的值域的交集不等于空集时，两个函数的复合才有意义；第二，函数的复合一般与复合的次序有关，即 )(xgf与 )(xfg不是同一个函数；第三，函数的复合可由多个函数构成。 例2设 uuylg)(), 0(u2-)(xxu)(Rx由于 ,0 ,(-)(R故 ), 0()0 ,(-)()( DR所以复合函数 )(xy的定义域是一个空集，函数)(xy无意义，即此时的函数不能复合。上例中，如果考虑复合函数 )(xy时，应为 2-)(uuy)(Ru

3、xxulg)()0(x此时 2)lg-()(xxy)0(x是有意义的。 例3.设 ,lg,sin,2xvvuuy则这三个函数的复合为 22)lgsin()sin(xvy例4.求由下列函数复合而成的复合函数（1） xvvuuysec, 1,lg2（2） 12,cosxvvuuy例5.设 )()(xgxf和如下，求 )()(xfgxgf和（1） xxgxxf2)(,)(2（2） 1)(, 1lg)(xxgxxf3.复合函数的分解 分解原则分解以后的各函数为基本初等函数或简单函数（简单函数是指由基本初等函数通过四则运算而得到的一个数学关系）例6.指出下列函数的复合过程：（1） xy2cos（2） x

4、ey1（3） xey3sin（4） 2sinlgxy （5） )12(lgarcsinxy0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o二二. 反函数反函数 1. 反函数的概念 若函数)(:DfDf为单射, 则存在逆映射DDff)(:1习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 .2.反函数的性质2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ),(,xeyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线xy 对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(a

5、bQ),(baPxyo指数函数1) yf (x) 单调递增(减)其反函数,)(1存在xfy且也单调递增 (减) .3.反函数求法例1.求下列函数的反函数（1） 2-2xxy（2） )2(lg1xy例2.求函数xxxxxxfx42411)(2的反函数. 解 求分段函数的反函数，只要分别求出各区间段上函数的值域及其反函数即可由 ) 1( xxy可知其值域为 , 1y反函数为 ；yx 而 )41 (2xxy的值域为 ，161 y反函数为 ；yx 又 )4(2xyx的值域为 ，y16反函数为 .log2yx 故所求反函数为xxxxxxxf16log1611)(21 -注意：只有一一对应的函数才有反函数

6、，例如 2xy 在其定义域内就没有反函数，只有在 )0()0(22xxyxxy或情况下，才有反函数。 三、初等函数三、初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数1.基本初等函数的图像性质 (1)常数函数 ，（常数），Rxcy其图像是过点（0，c）水平直线。 (2)幂函数 为常数），且（Rxy00和分两种情况，讨论幂函数的图像、性质（单调性、奇偶性）(3)指数函数 ),(-10 xaaayx），且（101aa和分两种情况，讨论指数函数的图像（位置：）轴上方，即0yx、性质（单调性）(4)对数函数 ), 0(10logxaaxya），（101

7、aa和分两种情况，讨论对数函数的图像（位置：）轴右侧，即0 xy、性质（单调性）特别常用对数、自然对数以及对数的计算特别常用对数、自然对数以及对数的计算(5)三角函数有6种它们是正弦函数 Rxxy，sin余弦函数 Rxxy，cos正切函数 ZkkxxRxxy，2-tan余切函数 ZkkxxRxxy，-cot正割函数 ZkkxxRxxy，2-sec余割函数 ZkkxxRxxy，-csc 三角函数的图像与性质主要讨论：正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的单调区间、奇偶性、有界性和周期(6)反三角函数 反正弦函数 22- 11-arcsin，yxxy反余弦函数 0 11-arccos，yxxy反正切函数 )22(-),(-arctan，yxxy反余切函数 )(0),(-cot，yxxarcy 2.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合所构成的能够用一个数学关系式表示的函数，称为初等函数。例如： xyxyxyxy1sin2cossin1-22，是初等函数。 注：分段函数一般不是初等函数，如符号函数 xysgn不是初等函数，绝对值函数 xy 分段表示，但由于 虽然可2xx ，故仍是初等