复变函数积分变换总复习-2013

1、123)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式1、明确、明确复数的三种表示，能相互转换复数的三种表示，能相互转换 yixz复数的代数表示复数的代数表示:42、明确与、明确与复数相关的各种计算复数相关的各种计算 yixz复数不能比较大小复数不能比较大小!22 yxrz复数的辐角：复数的辐角：zArg 说明说明:,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1是是其其中中一一个个辐辐角角如如果果 ).( 2Arg1为为任任意意整整数数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地的全部辐角为的全部辐角为那么那么

2、 z辐角不确定辐角不确定.xz Reyz Im复数的实部与虚部：复数的实部与虚部：复数的模：复数的模：5辐角主值的定义辐角主值的定义:.arg , Arg , )0( 000zzz 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在, 0 x)2arctan2( xy其中其中辐辐角角的的主主值值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,第二象限的角取第二象限的角取+，第三象限的角取第三象限的角取-6例例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:(1)122zi 解解zr )

3、1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos4 iz指数表示式为指数表示式为.465iez 7, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数和差和差:).()(212121yyixxzz 积积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 商商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 3、掌握复数的代数运算、掌握复数的代数运算共轭复数共轭复数:. , iyxziyxz 则则若若纯实数和纯虚数的共轭纯实数和纯虚数的共轭的计算。的计算。8定理一

4、定理一 两个复数乘积的模等于它们的两个复数乘积的模等于它们的模的乘模的乘积积; 两个复数乘积的辐角等于它们的两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和辐角的和.)(212121ierrzz定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的两个复数的商的模等于它们的模的商模的商; 两两个复数的商的辐角等于被除数与除数的个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差辐角之差.)(121212ierrzz4、复数、复数的乘积与商的指数式表示乘积与商的指数式表示91). n次幂次幂:, , nznzzn记作记作次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数. 个个nnzzzz . )sin(cos , ninrzn

5、nn 有有对对于于任任何何正正整整数数5、掌握复数的乘幂与方根、掌握复数的乘幂与方根10,sincos , 1 izrz 即即的模的模当当.sincos)sin(cos ninin . , ).3为已知复数为已知复数其中其中的根的根方程方程zwzwn nkinkrzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk2).2).棣莫佛棣莫佛(De Moivre(De Moivre) )公式公式11例例.43,55212121zzzziziz与与，求，求设设解解iizz435521)43)(43()43)(55(iiiiii5157169)2015()2015(izz5157)(2112

6、例例 21?zz 解解(2)1ike 21 2221 cossin22kki(0,1).k 21 cossin22ii2221 cossin22ii 13P31-33：1，7，8，1414151、掌握复变函数的导数以及解析函数的概念。、掌握复变函数的导数以及解析函数的概念。, , , )( 00的范围的范围不出不出点点点点中的一中的一为为定义于区域定义于区域设函数设函数DzzDzDzfw . )( 0可导可导在在那末就称那末就称zzf , )()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz . )( , )(000解析解析在在那末称那末称导导的邻域内处处可的邻域内处处可及及在在如果函

7、数如果函数zzfzzzf函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概的概念念. 即函数在一点处可导即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析不一定在该点处解析.162、掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。、掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.求导公式与法则与实变函数完全一样。求导公式与法则与

8、实变函数完全一样。17定理一定理一. , , ),( ),( ),( : )( , ),(),()( xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf 点满足柯西黎曼方程点满足柯西黎曼方程并且在该并且在该可微可微在点在点与与件是件是可导的充要条可导的充要条内一点内一点在在则则内内定义在区域定义在区域设函数设函数3、熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并、熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西能灵活应用柯西-黎曼方程。黎曼方程。 18 内解析的充要条件内解析的充要条件函数在区域函数在区域 D. , ),( ),( : ),(),()( 程程并且满足柯西黎曼方并且满

9、足柯西黎曼方内可微内可微在在与与内解析的充要条件是内解析的充要条件是域域在其定义在其定义函数函数定理二定理二DyxvyxuDyxivyxuzf 19例例 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:(1), (2)( )(cossin)xwzfzeyiy 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程, . ,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw 20)sin(cos)()2(yiyezfxyevyeuxxsin ,cos sin ,cosyeyuyexuxxyeyvyexv

10、xxcos ,sin 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程,并且上面这四个一阶偏导数都是连续的。并且上面这四个一阶偏导数都是连续的。 所以该函数在复平面内处处可导，处处解析，其导数为：所以该函数在复平面内处处可导，处处解析，其导数为：211).指数函数指数函数:4、熟悉复变初等函数、熟悉复变初等函数 )sin(cosexp yiyezx )(,2)(expArg,|exp|为任何整数为任何整数其中其中kkyzezx 加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz , exp ,的周期性的周期性可以推出可以推出根据加法定理根据加法定理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikz

11、eeee 即即)(为任何整数为任何整数其中其中k222).对数函数对数函数： .2 , )( , Arg的整数倍的整数倍并且每两值相差并且每两值相差也是多值函数也是多值函数所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于izfwz zizzwArglnLn,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果将如果将 . Ln ln Ln 的主值的主值称为称为，记为记为为一单值函数，为一单值函数，那末那末zzz.arglnlnzizz 其余各值为其余各值为), 2, 1(2lnLn kikzz23性质：性质：2121LnzLnz)z(1)Ln(z2121LnzLnz)zz(2)

12、Ln(nLnz(1)LnznLnzn1z(2)Lnn的正整数的正整数为大于为大于1nz1)(Lnz, (3)Lnz且且解析解析处处连续，处处处处连续，处处复平面内复平面内在除去原点与负实轴的在除去原点与负实轴的24例例1 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以(0 2)22ike zizzwArglnLn253). 乘幂的定义乘幂的定义即即定义为定义为乘

13、幂乘幂复数复数为任意一个为任意一个为不等于零的一个复数为不等于零的一个复数设设 , , , LnabbeabaabbeaLn 注意注意: :. , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的因而因而是多值的是多值的由于由于bakaiaa 26例例2 2 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中274). 三角函数三角函数,2cos izizeez余弦函数为余弦函数为.2sin izizeez正弦函数为正弦函数为,cossintan

14、 zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数,2 zzeechz双曲余弦函数为双曲余弦函数为,2sh zzeez 双曲正弦函数为双曲正弦函数为. zzzzeeeethz 双曲正切函数为双曲正切函数为5). 反三角函数反三角函数).1Ln(cosArc2 zziz28P66-68：6，8，12：3)，15，182930.d)()( ttztzf Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i Czzfd)(CznCznCzni000. 0, 0. 0, 0, 0,2 Cnzzzd)(1

15、102.熟记一个重要的积分熟记一个重要的积分1.掌握复积分计算的一般方法掌握复积分计算的一般方法 31复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )4(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线估值不等式估值不等式3、掌握复积分性质的应用、掌握复积分性质的应用32B4.掌握柯西基本定理掌握柯西基本定理. 0d)( :

16、)( , )( czzfCBzfBzf的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数C定理中的定理中的 C 可以不是简单曲可以不是简单曲线线.此定理也称为此定理也称为柯西积分定理柯西积分定理.33 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内解析内解析在在如果如果Dzf

17、DC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC均沿逆时针方向均沿逆时针方向5、掌握复合闭路定理、掌握复合闭路定理34DC1C2C3C. 0d)()2( zzf). , , , , :( , , , , 2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC 35 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且析函数析函数内的一个解内的一个解必为必为那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果

18、函数 6、理解原函数与不定积分、理解原函数与不定积分. , )()(d )( , )( )( , )( 100110内的两点内的两点为域为域这里这里那末那末的一个原函数的一个原函数为为内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (类似于牛顿类似于牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )36定理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数

19、D 0zC7、掌握柯西积分公式的应用、掌握柯西积分公式的应用37定理定理. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而而且且它它的的内内部部全全含含于于线线任任何何一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲的的内内围围绕绕的的解解析析区区域域为为在在函函数数其其中中导导数数为为阶阶它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分. .8、掌握解析函数高阶导数的应用、掌握解析函数高阶导

20、数的应用38求积分的基本思路：求积分的基本思路：1.1.如果是基本的初等函数，直接由原函数得出：如果是基本的初等函数，直接由原函数得出： 0cosizdz 如：如：0sinsinizi2.2.判断在积分区域内，被积函数是否解析，如判断在积分区域内，被积函数是否解析，如果解析，则积分为零：果解析，则积分为零： 1(3 )(3)zzedzziz 如：如：0 393.3.判断在积分区域内，被积函数是否解析，如判断在积分区域内，被积函数是否解析，如果果不解析，且只包围一个奇点不解析，且只包围一个奇点，则积分利用以，则积分利用以下三种办法：下三种办法：CznCznCzni000. 0, 0. 0, 0,

21、 0,2 Cnzzzd)(1101 1）利用）利用00( )2()Cf zdzif zzz 2 2）利用）利用3 3）利用）利用 ( )010( )2()()!nnCf zidzfzzzn 4. 4. 如果在积分区域内，被积函数不解析，但如果在积分区域内，被积函数不解析，但只包围两个以上奇点，则必须挖去，利用只包围两个以上奇点，则必须挖去，利用“复复合闭路定理合闭路定理”1( )( )knCkCf z dzf z dz 柯西积分公式柯西积分公式解析函数高阶导解析函数高阶导数公式数公式40作业选解：作业选解：P99：614)12zdzz 2 i 15)zze zdz 0 1），），2），），3）

22、同理）同理16)()(2)2zdzizz 11(2)()2zzdziz 2142(2)(4)iziizi 解析解析一个重要的积分一个重要的积分柯西积分公式柯西积分公式41举例说明：举例说明：22sin1)1zzdzz 包围了两个奇点包围了两个奇点2sin()()zzdzzizi 方法一：将分母拆方法一：将分母拆（一般分母为一次方）（一般分母为一次方）221sinsin1)2()()zzzzdzdzizizi柯西积分公式柯西积分公式12sin2sin2 sin2z iziizizii方法二方法二 ：将积分路径拆：将积分路径拆：11sinsin1)()()()()z iz izzdzdzziziz

23、izi 11sinsin()()()()z iz izzzizidzdzzizi sinsin22 sinz izizziizizi 柯西积分公柯西积分公式式42222sin2)(1)zzdzz 包围了两个奇点包围了两个奇点222sin() ()zzdzzizi 将积分路径拆：将积分路径拆：222211sinsin1)() ()() ()z iz izzdzdzzizizizi 222211sinsin()()()()z iz izzzizidzdzzizi 222sinsin()()1!()()z iziizzzizi 解析函数高阶导解析函数高阶导数公式数公式22442cos ()2()si

24、ncos ()2()sin()()1!()()z iziiz zizizz zizizzizi 0 4322sin3)(1)zzdzz z 包围了两个奇点包围了两个奇点将积分路径拆：将积分路径拆：解析函数高阶导解析函数高阶导数公式数公式0 2121 12sinsin(1)3)(1)zzzzzzdzdzzz 柯西积分公式柯西积分公式210sin2sin2()(1)1!zzzizizz 44P99-101：6，7：2)，3 )，4)，6)，9)，9：2)，3)，5)45461、熟悉复数列收敛的充分必要条件、熟悉复数列收敛的充分必要条件 ),2,1( 的充要条件是的充要条件是收敛于收敛于复数列复数列

25、 nn.lim,limbbaannnn , 0 数数相相应应地地都都能能找找到到一一个个正正如如果果任任意意给给定定 , ),(时成立时成立在在使使NnNn , 时时的的极极限限当当称称为为复复数数列列那那末末 nn 记作记作.lim nn . 收收敛敛于于此此时时也也称称复复数数列列n , ), 2 , 1( 其其中中为为一一复复数数列列设设 nn ,nnniba , 为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba 471).收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收敛收敛, z那末对那末对的的级数必绝对收敛级

26、数必绝对收敛,如果如果 在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足2、理解阿贝尔定理，掌握收敛半径的求法、理解阿贝尔定理，掌握收敛半径的求法 482). 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1) 对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛. .(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时, 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.49(3) 既存在使

27、级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.;,级数收敛级数收敛时时设设 z.,级数发散级数发散时时 z如图如图:xyo . .R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以的收敛范围是以原点原点为为中心中心的的圆域圆域.50如果如果:, 0在复平面内处处收敛在复平面内处处收敛则级数则级数 nnnzc即即. R, 0. 1 注意注意:nnncc1lim 存在且不为零存在且不为零 .定理中极限定理中极限 . 2(极限不存在极限不存在),即即. 0 R, 0 0均发散均发散以外的一切以外的一切对于复平面内除对于复平面内除则级

28、数则级数zzzcnnn 3). 收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1: 比值法比值法(DAlembert)( (定理二定理二) ):, 0lim 1 nnncc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R51方法方法2: 根值法根值法(Cauchy)(Cauchy)(定理三定理三), 0lim nnnc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R说明说明: 0 0 RR(与比值法相同与比值法相同)如果如果52, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界

29、上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时, 00)()(nnnzzczf成立成立,当当3、泰勒展开定理、泰勒展开定理53常用方法常用方法: 直接法和间接法直接法和间接法. .1).直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数4、掌握函数展开成泰勒级数的方法，、掌握函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数。能比较熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数。 542). 间接展开法间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些

30、已知函数的展开式 , 结合解析结合解析函数的性质函数的性质, 幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导, 积分积分等等)和其它数学技巧和其它数学技巧 (代换等代换等) , 求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 .55附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz)1( z)1( z

31、)( z56nnnzzc)(. 10 双边幂级数双边幂级数负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 5、掌握双边级数的概念、性质。、掌握双边级数的概念、性质。 57nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收敛半径收敛半径收敛收敛时时,R 101RRzz 收敛域收敛域收敛半径收敛半径2R20Rzz 收敛域收敛域:)1( 21RR 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,:)2(21RR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201RzzR R

32、58结论结论:的的收收敛敛区区域域为为双双边边幂幂级级数数nnnzzc)(0 .201RzzR 圆环域圆环域1R2R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z59定理定理:内内处处处处解解析析，在在圆圆环环域域设设 )( 201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 0z为洛朗系数为洛朗系数.内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在那那末末Dzf )( 6、理解洛朗展开定理、理解洛朗展开定理60说

33、明说明:函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. nnnzzczf)()(0 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .61常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc), 2

34、, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点缺点: 计算往往很麻烦计算往往很麻烦.7、熟练地把一些解析函数在不同的圆环域内、熟练地把一些解析函数在不同的圆环域内展开成罗朗级数。展开成罗朗级数。62根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 .2. 间接展开法间接展开法63作业选解：作业选解：P143：12011),11zzz 解：解：1( )1zf zz 函数不解析的点为，函数不解析的

35、点为，1z 而展开的点为：而展开的点为：01z 于是函数的解析域为：于是函数的解析域为：12z 121zz 122122zz 111212zz 011( 1) ()22nnnzz 101( 1) ()2nnnz 收敛半径收敛半径R26402),2(1)(2)zzzz 解：解：( )(1)(2)zf zzz 函数不解析的点为，函数不解析的点为，1, 2z 而展开的点为：而展开的点为：02z 于是函数的收敛域为：于是函数的收敛域为：23z 收敛半径收敛半径R314221()22121zzzz0111112( 1) ()(2)24(2)44414nnnzzzz1111112( 1) ()(2)13(

36、2)33313nnnzzzz012212( 1) ()( 1) ()(1)(2)4433nnnnnnzzzzz211011( 1) ()(2)23nnnnnz2011(2)1(2)( 1)( 1)2233nnnnnnnnzz21101(2)(2)( 1)( 1)23nnnnnnnnzz65作业选解：作业选解：0213),1zz 解：解：11(1)11(1)zz 函数不解析的点为，函数不解析的点为，0z 而展开的点为：而展开的点为：01z 于是函数的收敛域为：于是函数的收敛域为：11z 1z先获得的级数，再依导数公式得出的级数先获得的级数，再依导数公式得出的级数21z0(1)nnz 211( )

37、zz 1z0(1) nnz 11(1)nnn z 0(1)(1)nnnz 收敛半径收敛半径R166P142-144：4，6， 1)，2)，3)，4)11：1)，2) 12： 1)， 2)，3)16：2）6768定义定义 如果如果函数函数0z)(zf在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心邻域的某一去心邻域 00zz内处处解析内处处解析, 则称则称0z)(zf为为的孤立奇点的孤立奇点.1 1、理解孤立奇点的概念及其分类、理解孤立奇点的概念及其分类 孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据)(zf在其孤立奇点在其孤立奇点0z的去心邻域的去心邻域 00zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级

38、数的情况分为三类:1可去奇点可去奇点; 2极点极点; 3本性奇点本性奇点.69孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点)(lim0zfzz 存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为 无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项10)( zzmzz )(0关于关于的最高幂的最高幂为为0)()(lim00mmzzczfzz701).零点的定义零点的定义 不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数)(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z 解析且解析且m

39、为某一正整数为某一正整数, 那末那末0z称为称为)(zf的的 m 级零点级零点.例例的一级零点，的一级零点，是函数是函数3)1()(0 zzzfz注意注意: : 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.)1()(13的三级零点的三级零点是函数是函数 zzzfz2、熟悉函数的零点与极点的关系、熟悉函数的零点与极点的关系712).零点的判定零点的判定零点的充要条件是零点的充要条件是0zm0z如果如果在在解析解析, 那末那末为为的的级级)(zf)(zf; )1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn. 0)(0)( zfm3).零点与极点的关系零点与极点的

40、关系定理定理如果如果0z是是)(zf的的 m 级极点级极点, 那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 级零点级零点. 反过来也成立反过来也成立.72定义定义 记作记作.),(Res0zzf域域内内的的洛洛朗朗级级数数中中负负.)(101的的系系数数幂幂项项 zzc为为中中心心的的圆圆环环在在即即0)(zzf)(0zfz 为为函函数数的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿Rzzz 000的的某某个个去去心心邻邻域域在在内包含内包含0z的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的数称为后所得的数称为.)(0的的留留数数在在zzf以以如果如果

41、zzficCd )(211 即即),(Res0zzf 的的留留数数在在0)(zzf3、理解留数的概念、理解留数的概念 73(1) 如果如果0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点, . 0),(Res0 zzf则则).()(lim),(Res000zfzzzzfzz如果如果 为为 的一级极点的一级极点, 那末那末0z)(zf规则规则1 1成洛朗级数求成洛朗级数求.1 c(2) 如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点, )(zf(3) 如果如果0z为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf)(zf展开展开则需将则需将4、掌握留数的计算方法、掌握留数的计算方法如果如果 为为 的的 级极

42、点级极点, 0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz 规则规则2 2那末那末74作业选解：作业选解：P183：12211)(1)z z 解：解：221() ()z zizi是一级极点，二级极点是一级极点，二级极点0z zi 3212)1zzz21(1)(1)zz是一级极点，二级极点是一级极点，二级极点1z 1z 75作业选解：作业选解：P184：8211)2zzz 解：解：一阶极点为一阶极点为z0，21( )(2)zf zz z 76作业选解：作业选解：P184：8解：解：2412)zez 77作业选解：作业选解：P184：8解：解：423

43、13)(1)zz 4331(1) (1)zzz 三阶极点为三阶极点为z-1，+178P183-184：1：1)，2)，6)8：1) ，2)，3)，4) 7980若若 f(t) 在在(- , + )上满足下列条件上满足下列条件:1) f(t) 在任一有限区间上满足在任一有限区间上满足Dirichlet条件条件;2) f(t) 在无限区间在无限区间(- , + )上绝对可积上绝对可积.则有则有（在在绝绝对对可可积积即即收收敛敛）(,)|( )|df tt 1 1、掌握、掌握FourierFourier积分定理积分定理定理定理:eejj1( )( )dd2tf tf 成成立立. .FourierFo

44、urier积分公式的复数形式积分公式的复数形式81 如如果果左左端端的的在在它它的的间间断断点点 处处 应应以以来来代代替替( ),(0)(0).2f ttf tf teejj(0)(0)1( )dd22tf tf tf 即即82eejj1( )( )dd2tf tf je1j11cossindd2t 11( )0tf t ， 求求函函数数 的的FourierFourier积积分分表表达达式式. .， 其其他他根根据据F Fo ou ur ri ie er r积积分分公公式式的的复复数数形形式式，有有例：例：解：解：e1j01cosddt 83e1j01cosddtt j1sincossind

45、tt 02sincosd1tt ( 1 0)( 1 0)122ff 1t ( )f t当当 时，时， 应以应以 代替代替0( )12sincosd112f tttt ， 即：即：FourierFourier积分表达式积分表达式84 当当 为为奇函数奇函数, ,则则 和和 分别是关于分别是关于 的奇函数和偶函数的奇函数和偶函数, ,因此因此( )cosf( )sinf f tFourierFourier正弦积分公式正弦积分公式d002( )( )sinsindf tft 当当 为为偶函数偶函数时时, ,同理可得同理可得 f t002( )( )cosdcosdf tft FourierFouri

46、er余弦积分公式余弦积分公式2 2、 掌握掌握FourierFourier正弦和余弦积分公式正弦和余弦积分公式851 1）. .FourierFourier正变正变换换j( )( )edtFf tt 记作记作:F F( ( ) )叫做叫做 f (t) 的的象函数象函数. .3 3、 掌握掌握FourierFourier正逆变换正逆变换 ，( )Ff t F2 2）. . FourierFourier逆变换逆变换j1( )( )ed2tf tF 记作记作:f (t) 叫做叫做 F ( )的的 ，1( )f tF F象原函数象原函数.863 3）.Fourier.Fourier正弦变换及正弦逆变换

47、正弦变换及正弦逆变换: :s0()( )sind dFf tt t FourierFourier正弦变换正弦变换 ss( ).即即 Ff t F02( )()sindf tFt sFourierFourier正弦逆变换正弦逆变换ss1( )( ) .即即 f tF F870()( )coscFf tt t d dFourierFourier余弦变换余弦变换 ( ).ccFf t 即即 F02( )( )cosdcf tFt FourierFourier余弦逆变换余弦逆变换 1( ) .ccf tF 即即 F881,01( )0,1tf tt 的正弦变换和余弦变换的正弦变换和余弦变换. .0(

48、)( )sindsFf ttt 由由得：正弦变换为得：正弦变换为 ss( )( )Ff t F例：例：解：解：0( )sindf ttt 余弦变换为余弦变换为 ( )( )ccFf t F100sin( )cosdcosdf ttttt 10sindtt 1 cos 894 4、 熟悉熟悉FourierFourier变换的性质变换的性质 1122( ) ( ),( ) ( ),Ff tFf t FF设设 1212( )( )( )( )f tf tFF F则则是常数是常数, , -11212( )( )( )( )FFf tf t F1 1）线性性质）线性性质2 2）位移性质）位移性质 00()( )tf ttf t FFj je e010 ()( )eFj j tFf t 90( ) (