高中物理奥林匹克竞赛专题：第10章-机械振动ppt课件

1、第十章第十章机机 械械 振振 动动1 10.2 10.2 阻尼振动阻尼振动 10.3 10.3 受迫振动受迫振动 共振共振 10.4 10.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 拍拍 第十章第十章 机械振动机械振动10.1 简谐振动简谐振动2 机械振动：机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化物体位置在某一值附近来回往复的变化 广义振动：广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动方式称为振动该物理量的运动方式称为振动 物理量：物理量：iQHEr等等等等10.1 简谐振动简谐振动3共振共振( (简谐振动简谐振动 振动振动受迫振动受迫振动自在振动

2、自在振动阻尼自在振动阻尼自在振动无阻尼自在振动无阻尼自在振动无阻尼自在非谐振动无阻尼自在非谐振动无阻尼自在谐振动无阻尼自在谐振动振动的方式振动的方式: :4重要的振动方式是重要的振动方式是 简谐振动简谐振动物理上：普通运动是多个简谐振动的合成物理上：普通运动是多个简谐振动的合成数学上：数学上： 付氏级数付氏级数 付氏积分付氏积分也可以说也可以说 简谐振动是振动的根本模型简谐振动是振动的根本模型或说或说 振动的实际建立在简谐振动的根底上振动的实际建立在简谐振动的根底上留意：以机械振动为例阐明振动的普通性质留意：以机械振动为例阐明振动的普通性质5一、谐振动的判据一、谐振动的判据表征了系统的能量表征

3、了系统的能量位移位移xkm0 xxA振幅振幅最大位移最大位移由初始条件决议由初始条件决议tAxcos1.1.运动学表达式运动学表达式广义：振动的物理量广义：振动的物理量弹簧谐振子弹簧谐振子特征量：特征量：6位相位相 周相周相系统的周期性系统的周期性 固有的性质固有的性质称固有频率称固有频率21T圆频率圆频率t相位相位初相位初相位角频率角频率tAxcos 取决于时间零点的选择取决于时间零点的选择初位相初位相频率频率T周期周期72. 2. 动力学方程动力学方程以弹簧谐振子为例以弹簧谐振子为例kmx0 xkx设弹簧原长为坐标原点设弹簧原长为坐标原点22dtxdmkx 022xmkdtxd0222xd

4、txd由牛顿第二定律由牛顿第二定律令令mk2简谐振动简谐振动整理得整理得8例题例题1 1 复摆物理摆的振动复摆物理摆的振动mg22sindtdJmgl0sin22Jmgldtd对比谐振动方程知：对比谐振动方程知：但假设做小幅度摆动但假设做小幅度摆动 即当即当sincol由转动定律由转动定律022Jmgldtd得得动力学方程动力学方程0222xdtxd普通情况不是谐振动普通情况不是谐振动时时满足的方程：满足的方程：9Jmgl2Jmgl21mglJT2振动的物理量振动的物理量 tJmglmcos固有圆频率固有圆频率角位移角位移振动表达式振动表达式0222xdtxd022Jmgldtd对比对比10思

5、索思索: :1.1.证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动并求出振动的频率。并求出振动的频率。2.2.假设令一单摆的频率与本例中的复摆的频率假设令一单摆的频率与本例中的复摆的频率相等相等, ,单摆的摆长单摆的摆长l l 应为多少？应为多少？此摆长此摆长 l l 叫复摆的等值单摆长叫复摆的等值单摆长111 1简谐振动表达式简谐振动表达式0222xdtxdtAxcos从对象的运动规律出发从对象的运动规律出发电学规律电学规律 力学规律等力学规律等简谐振动的规范方式简谐振动的规范方式T小结小结2 2动力学方程动力学方程简谐振动的判据简谐振动的判据12二、简谐振动的描画

6、二、简谐振动的描画tAxcostAdtdxsin2costAxtAdtda22coscos2tAa1.1.解析描画解析描画均是作谐振动的物理量均是作谐振动的物理量ax,13频率一样频率一样振幅的关系振幅的关系Am2Aam相位差相位差超前超前 落后落后例题例题2 一质点沿一质点沿 x 轴作简谐振动，原点为平衡轴作简谐振动，原点为平衡位置。知周期位置。知周期T=0.2s,当计时开场当计时开场t =0时，质点时，质点的位移的位移 x0= 0.3m, 初速度初速度 =9.42 m/s。求：质点的运动方程。求：质点的运动方程。0解：由解：由tAxcostA sin14代入初始条件：代入初始条件：cos0

7、Ax sin0A)(001xtg得得22020 xAm424. 01042. 93 . 0222）（A质点的圆频率质点的圆频率rad/s102 . 022T质点的振幅质点的振幅154)3 . 01042. 9(1tg质点的初位相质点的初位相质点的振动方程质点的振动方程m)410cos(424. 0tx2.2.曲线描画曲线描画ToxtAAaA216例题例题3. 3. 简谐振动的振动曲线如下图。简谐振动的振动曲线如下图。 求：求： 、及振动方程。及振动方程。 xA1ot-AA/2解：由图可知解：由图可知0t2/0Ax 003代入振动方程，得：代入振动方程，得：00111xt23165 )365co

8、s(tAx振动方程振动方程看斜率看斜率173.3.旋转矢量描画旋转矢量描画用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描画谐振动几何地描画谐振动规定规定xoAAA tAxcosx端点在端点在 x x 轴上的投影式轴上的投影式逆时针转逆时针转以角速度以角速度)cos(tAxt 上半圆谐振上半圆谐振动速度小于零动速度小于零; 下半圆谐振下半圆谐振动速度大于零动速度大于零;18tAxcos1 1直观地表达振动形状直观地表达振动形状优点优点当振动系统确定了振幅以后当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是相位表述振动的关键就是相位 即即表达式中的余弦函数的综量表达式中的余弦函数的综量)(t而旋转矢量图而旋转矢

9、量图可直观地显示该综量可直观地显示该综量分析解析式分析解析式可知可知用图替代了文字的表达用图替代了文字的表达xoAxt19x旋转矢量与轴夹角为零旋转矢量与轴夹角为零12xoAA如如 在在 t t 时辰弹簧振子质点时辰弹簧振子质点 在正的端点在正的端点Ax 0t意味意味3t 质点经二分之一振幅处质点经二分之一振幅处向负方向运动向负方向运动意味意味2Ax 020A质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡位置向负方向运动32t43t5Axt同样同样432 0 0向负方向运动向负方向运动2Ax 00 x 02或或2Ax 0 xoxAAA6786780 向正向运动向正向运动22cos2coscos2tAat

10、AtAxxaAAA2由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2称两振动同相称两振动同相2 2 方便地比较振动步伐方便地比较振动步伐位移与加速度位移与加速度称两振动反相称两振动反相0假假设设23例题例题4 4 质量为质量为m m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k k的弹簧的弹簧组成的弹簧谐振子组成的弹簧谐振子,t =0,t =0时时, ,质点过平衡位置质点过平衡位置且向正方向运动。且向正方向运动。3方便计算方便计算用熟习的圆周运动替代三角函数的运算用熟习的圆周运动替代三角函数的运算求：物体运动到负的二分之一振幅处求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间

11、。时所用的最短时间。解：设解：设t t时辰到达末态时辰到达末态由知画出由知画出t=0t=0时辰的旋转矢量图时辰的旋转矢量图24tt67mk/670txo再画出末态的旋转矢量图再画出末态的旋转矢量图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为得得繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得t由于由于25如如 弹簧谐振子弹簧谐振子系统机械能守恒系统机械能守恒以弹簧原长为势能零点以弹簧原长为势能零点ckxm222121)(cos21)(sin2122222tkAtmAkm22222212121mAkx

12、m221kA三、简谐振动的能量三、简谐振动的能量kmx0 x26222212121kAkxm讨论讨论1) 1) 普适普适2AE 2) 2) 时间平均值时间平均值PKEE241kA3) 3) 由谐振动能量求振动由谐振动能量求振动Ckxm)2121(22dtddtddtdx022 kxdtxdm0222xdtxd27例题例题5 5 劲度系数为劲度系数为k k的轻弹簧挂在质量为的轻弹簧挂在质量为m m半径为半径为R R的匀质圆柱体的对称轴上的匀质圆柱体的对称轴上使之作无滑动的滚动使之作无滑动的滚动证明：圆柱体的质心作谐振动证明：圆柱体的质心作谐振动 并求出谐振动的角频率并求出谐振动的角频率有时由谐振

13、动能量求谐振动的特征量会更方便有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便kc28const.212121222cccJmkx弹簧原优点为坐标原点弹簧原优点为坐标原点设原点处为势能零点设原点处为势能零点质心在质心在 xc xc 位置时系统的机械能位置时系统的机械能为为解：振动系统解：振动系统 机械能守恒机械能守恒 建坐标如图建坐标如图留意上式中的留意上式中的是刚体转动的角速度是刚体转动的角速度kcxo29.const212121222cccJmkx221mRJcRccmkxcc224321两边对两边对 t t 求导数求导数, , 得得03222ccxmkdtxd将将代入上式代入上式得得 与动力学方

14、程比较知与动力学方程比较知物理量物理量xcxc的运动方式是简谐振动的运动方式是简谐振动30mk32kmT232圆频率圆频率周期周期作业作业10.2 10.3 10.8 10.9 10.11 10.1431一、阻尼振动一、阻尼振动 系统在振动过程中遭到粘性阻力作用后系统在振动过程中遭到粘性阻力作用后, , 能量将随时间逐渐衰减。能量将随时间逐渐衰减。 系统受的粘性阻力与速率成正比系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数比例系数 叫阻力系数叫阻力系数 关系式为关系式为: : f二、阻尼振动的动力学方程二、阻尼振动的动力学方程10.2 10.2 阻尼振动阻尼振动3222dtxdmdtdxkx022dt

15、dxmxmkdtxdm2令令称阻尼系数称阻尼系数mk20系统固有频率系统固有频率由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有整理得整理得式中式中kmxox弹性F阻力f33022022xdtdxdtxd假设无阻尼假设无阻尼是谐振动的方式是谐振动的方式存在阻尼存在阻尼仍振动但能量会衰减仍振动但能量会衰减从物理上思索：从物理上思索：阻尼振动方程为阻尼振动方程为三、振动表达式三、振动表达式 所以所以, ,解的方式必定是在谐振动的根解的方式必定是在谐振动的根底上乘上一衰减因子底上乘上一衰减因子. .34)cos(0teAxt220即方式为：即方式为：可以证明：可以证明：tx三种阻尼振动三种阻尼振动过阻尼：过阻尼：0

16、临界阻尼：临界阻尼：0欠阻尼：欠阻尼：0过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼xt03510.3 受迫振动受迫振动 共振共振 一、受迫振动一、受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 1.受迫振动的动力学方程受迫振动的动力学方程 设驱动力按余弦规律变化设驱动力按余弦规律变化 即即tFFdcos0tFdtdxkxdtxdmdcos022由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有36mk20m2mFh0thxdtdxdtxdcos22022整理得整理得其中其中固有频率固有频率阻尼因子阻尼因子2.2.稳定形状的振动表达式稳定形状的振动表达式 受迫振动系统到达

17、稳定时受迫振动系统到达稳定时, ,应做与驱应做与驱动力频率一样的谐振动。动力频率一样的谐振动。其表达式为：其表达式为：)cos(tAxd37用旋转矢量法可求出上式的用旋转矢量法可求出上式的A A和和thxdtdxdtxddcos22022)cos(tAxd)2cos(tAdtdxd)cos(222tAdtxddd代入上式，得到：代入上式，得到：38A20dA22dAh222022)()2(AAAhdd2220222)()2(ddhA画恣意时辰旋转矢量图画恣意时辰旋转矢量图由图可知：由图可知：得得驱动力初驱动力初相为零相为零2202arctgdd位移与驱动力的相位差位移与驱动力的相位差thtAt

18、AtAddddddcos)cos()2cos(2)cos(20239在弱阻尼即在弱阻尼即 0 0的情况的情况下下系统的振动速度和振幅都到达最大值系统的振动速度和振幅都到达最大值 共振共振当当 = = 0 0 时时2220222)()2(ddhA二、共振二、共振 2202共振 共振景象共振景象 普遍普遍 有利有弊有利有弊4010.4 10.4 谐振动的合成谐振动的合成一、两个振动方向一样的简谐振动的合成一、两个振动方向一样的简谐振动的合成二、二、N N个振动方向一样的简谐振动的合成个振动方向一样的简谐振动的合成三、三、 拍拍四、四、 两个垂直方向简谐振动的合成两个垂直方向简谐振动的合成41 当一

19、个物体同时参与几个谐振动时当一个物体同时参与几个谐振动时 就需思索振动的合成问题就需思索振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果本节所讨论的同频率的谐振动合成结果 是波的干涉和偏振光干涉的重要根底是波的干涉和偏振光干涉的重要根底 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果 可以给出重要的实践运用可以给出重要的实践运用42一、振动方向一样、振动频率一样一、振动方向一样、振动频率一样的的 两个谐振动的合成两个谐振动的合成21xxcos(cos(21AA)2010tt线性叠加线性叠加21xxxxo1A1

20、02A20A0t结果：结果：仍是谐振动仍是谐振动振动频率仍是振动频率仍是振动的振幅振动的振幅cos2212221AAAAA双光束干涉的实际根底双光束干涉的实际根底43cos2212221AAAAA 假假设设021AAA21AAA反相反相 合振动减弱合振动减弱同相同相 合振动加强合振动加强特殊结果：特殊结果： 假假设设21AA 假假设设两振动同相两振动同相两振动反相两振动反相12AA 0A能够的最强振动能够的最强振动“振动加振动振动加振动不振不振动动102044 二、振动方向一样、振动频率一样、振幅一二、振动方向一样、振动频率一样、振幅一样、相邻相位差一样的样、相邻相位差一样的N N个简谐振动的

21、合成。个简谐振动的合成。 taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosNtaxN45xaARN2sin2aR 2sin2RA2sin2sinNaNxxxxx321线性相加线性相加用旋转矢量法求解用旋转矢量法求解由图得由图得462sin2sinNaA 普通情况普通情况特例特例1 12k, 2, 1, 0kaNaA aa主极大主极大A2 22kNNk , 0的倍数的整数的倍数的整数0A极小极小xaR473 3) 12(kN, 2, 1, 0kRA2次极大次极大多光束干涉的实际根底多光束干涉的实际根底特例特例1 12k, 2, 1, 0kaNaA aa主极大主极大A2 22kN

22、Nk , 0的倍数的整数的倍数的整数0A极小极小48三、三、 振动方向一样、频率略有差别的、振动方向一样、频率略有差别的、 振幅相等的、两个谐振动的合成振幅相等的、两个谐振动的合成-拍拍分振动：分振动：tAxtAx202101coscos21线性相加：线性相加：ttAxxx2cos2cos22121021结论：结论： 合成已不再是谐振动合成已不再是谐振动 但思索到但思索到 1 1 2 2 可以用谐振动表达式等效来加深认识可以用谐振动表达式等效来加深认识49ttAxxx2cos2cos22121021分析：分析：2121221那么那么tA2cos2210较较t2cos21随时间变化缓慢随时间变化缓慢将合成式写成谐振动方式将合成式写成谐振动方式ttAxcos)(tAtA2cos2)(210509tx1 2tx2 1 = 1- 2 tx合振动可看做是振幅缓变的谐振动合振动可看做是振幅缓变的谐振动合成振动如图示合成振动如图示表达式为表达式为ttAx2cos2cos22121051| 21vvv拍 拍拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍频拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数单位时间内合振动加强或减弱的