2021届高三复习专练(文科)14与球有关的组合体

1、14与球有关的组合体1. 球的截面问题例1：已知A, B、C为球O的球面上的三个点，圆Q为ABC的外接圆.若圆Q的面积为4兀，AB = BC = AC = OO则球。的表面积为（）A. 64B. 48C. 36D. 32兀【答案】A【解析】依题意，ABC为等边三角形，故其外心为ABC的中心，由圆Q 的面积为4, .OlA = 2, .AB = 2y = OOl,:.OA = yOO+O1A2 = 12 + 4 = 4 ,.球0的表面积为42=4×16 = 64 ,故选A.2. 外接球问题例2:各棱长为3的正三棱柱内接于球M中，则球M的表面积为（）A. 8B. 9C. 21D 36【答

2、案】C【解析】如图，°、Q分别为两底面三角形的中心，M为°o的中点,则球M的表面积为曲2阮.3. 内切球问题例3:正四面体的四个顶点都在一个球面上，旦正四面体的高为4,则球的表面积为()A. 16(12-63) B. 36C. 18D. 64(6-42)【答案】B【解析】设正四面体的的内切球及外接球的半径分别为r及心 则r + R = 4,又有丄Sx4 = 41Sy ,贝IJr = I ,贝IIJR = 3,3所以球的表面积为471x3? =36Tr一、选择题1.已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三(2)是正确的D.以上四个图形都是正

3、诵的A.只有(4)棱锥所得的图形，如下图所示，贝IJ ()C.只有(1)【答案】A【解析】认直老虑空间图形，(4)是不可能的，其它三种情况都有可能.2.日畧是中国古代用来测定时间的仪器，利用与畧面垂直的畧针投射到畧面的影子来测定D. 2【答案】D【解析】三角形所在面过一侧棱，垂直对棱，是底为2的等腰三角形，且腰长为Jf-G=吳,得高血，面积为Q5.正方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O,平面ABlC截球所得的圆Q的半径为2,则球O的表面积为（）A. 16兀B. 18C. 24D 48兀【答案】B【解析】设正方体的棱长为J 则AAQC的边长为J元，C的中心就是圆Q的圆心,那么OiA =f&#

4、215;×rf2那么球 0 的半径 /? = BD = ×J3× y = I则球O的表面积s=4× （丁 ）2 = 18二、埴空题6.已知底面三角形的边长分别为3、4、5,高为6的直三棱柱形的容器，其内放萱一气球,使气球充气旦尽可能地膨胀（保持为球的形状），则气球表面积的最大值为【答案】4兀【解析】设气球的半径为厂，则气球表面积最大时，气球与直三棱柱相切，119故一 （3 + 4 + 5） = -x3x4 = 6=> = l ,故 S = 4r' =4 227.半球内有一个内接正方体，该正方体的一个面在半球的底面圆内，正方体的棱长为点,则半

5、球的体积为【答案】18兀【解析】设半球的半径为厂，过正方体与半球底面垂直的对角面作截面Q , 则&截半球面得一个半圆，截正方体的表面得一矩形，旦矩形内接于半圆，如图. 知矩形的一边长为A ,另一边长为×6=23 . r2 =(6)2+(3)2 =9 , . r = 3,2那么半球的体积为V = r38已知直四棱柱ABCr)-AlBlCIDI的棱长均为2, ZBAZ) = 60o I以。为球心，巧为半径的球面与侧面BCe且的交线长为【答案】【解析】在直四棱柱ABCD-ACXDX中, 取中点为O, BBl中点为F , Cq中点为E , 由题意易知QQ丄BICI I又BBl丄DP

6、,则DP丄面BBGC ,在面BBGC内取一点P,使O P/BB. t且O P =近、 .DP = yD1O2+OP2 =5 1又 D1E = 5 , D1F = 5,以9为球心，石为半径的球面与侧面BCCD的交线是以。为圆心，以血为半径的圆弧FPE ,由题意易得ZFo-,故该交线长为即岳T三、解答题9.如图，三棱锥V-ABC中，VA丄底面ABCt ZABC = 90° .(1) 求证：、A、B、C四点在同一球面上；(2) 过球心作一平面与底面内直线AB垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)取UC的中点M ,.V<4

7、丄底面 ABCf ZABC = 90°, :. BC丄VB .在RtVBC中，M为斜边VC的中点，. MB = MC = MV .同理，在 RtZXVAC 中，MA = MC = MV ,：.MA = MC = =MB , .H、A、B、C四点在同一球面上，M是球心.(2)取AC、AB. VB的中点分别为N、P、Q,连结 NP、PQ、QM、MN ,则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V - ABC的截面，易证MNPQ是平行四边形又两丄 BC , QP/VA J NP/BC J . QP 丄 PN,故截面MNPQ是矩形.10.球o的半径为馅，球心o到截面3CD的距离为J, BC为截面圆的直径，D是圆 周上一点，C是球的直径.(1) 求证：平面ABD丄平面ADC ；(2) D分BC为两部分，且BDDC = 21 ,求AC与BD所成的角.【答案】(1)证明见解析；(2) 60。.【解析】(1) BC为截面圆的直径，则CD丄加，CA是球的直径，则CD丄AD ,那么CD丄平面ABD,而CDU平面ADC I则平面ABD丄平面ADC .(2)设BC 中点为Q ,连结OoI ,则OO1 =2 ,则B = 22 ,餐 BEHCD、CE/BD ,那么 E 在截面圆周上，BC = yAC2-AB2 =2 , 而 BD.DC = 2 则 Z