线性动态电路的复频PPT学习教案

1、会计学1l重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念(4) 网络函数的极点和零点返 回第1页/共80页 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f (t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。1. 拉氏变换法下 页上 页返 回第2页/共80页拉普拉斯， Pierre Simon Laplace(1749 1827)，巴黎军事学院数学教授。1779 年在发表题为“On What

2、 Follows ”（下一步是什么）的论文中提出了两种函数之间的双向唯一关系，并用以求解微分方程。然而拉普拉斯变换在应用中的真正价值，在其后一个多世纪中一直未被人们认识。 20 世纪 20 年代，英国电气工程师赫维赛德（ Oliver Heaviside ）（ 1850 1925 ）提出的解决电路瞬态计算的运算微积分（运算术），行之有效而缺乏严格的证明，赫维赛德对此并不以为然，说他是否因为不完全了解消化过程而拒绝进餐。很多工程师和数学家致力于解决这一问题，终于发现拉普拉斯提出的一些积分恰好能为运算微积分提供严密的基础，形成 20 世纪 30 年代中期出现的拉普拉斯变换法。 下 页上 页返 回第

3、3页/共80页例一些常用的变换对数变换ABBAABBAlglglg 乘法运算变换为加法运算相量法IIIiii2121 相量正弦量时域的正弦运算变换为复数运算拉氏变换F(s)(频域象函数)对应f (t)(时域原函数)下 页上 页返 回第4页/共80页) s (L)( )(L) s ( FtftfF-1，简写js2. 拉氏变换的定义定义 0 , )区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式： d)(j21)( d)()(0sesFtftetfsFstjcjcst正变换反变换s 复频率下 页上 页返 回第5页/共80页000积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换

4、 。 积分域注意今后讨论的均为0 拉氏变换。tetftetftetfsFstststd)(d)( d)()(00000 ,0区间 f(t) =(t)时此项 0象函数F(s) 存在的条件：tetfstd )(0下 页上 页返 回第6页/共80页如果存在有限常数M和 c 使函数 f (t) 满足：), 0 )(tMetfcttMetetftctdd)(0)s (s0csM 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。下 页上 页象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)原函数f (t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)返 回第7页/共8

5、0页3.典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数 d)()(0tetfsFst)()(ttftettsFstd)()(L)(001stess10dtest下 页上 页返 回第8页/共80页(3)指数函数的象函数01)(taseasas1(2)单位冲激函数的象函数00d)(tetst)()(ttftettsFstd )()(L)(010seatetf)( teeesFstatatdL)(0下 页上 页返 回第9页/共80页14.2 拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质tetfAtfAstd )()(02211tetfAtetfAststd)(d)(022011)()(2211sFAsFA)(

6、)(2211sFAsFA)( )(L , )( )(L 2211sFtfsFtf若)(L)( L)()( L 22112211tfAtfAtfAtfA则)()( L 2211tfAtfA下 页上 页证返 回第10页/共80页的象函数求)1 ()( : ateKtfj1j1j21ss22s例1解 asKsK-atKeKsFL L)(-例2的象函数求) sin()( : ttf解)(sinL)(tsF)(j21L tjtjee 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。下 页上 页结论 )(assKa返 回第11页/共80页2.

7、 微分性质0)d)(0)(tsetftfestst)()0(ssFf)0()(sd)(dL fsFttf则：)()( L sFtf若：00)(ddd)(dtfetettfststttfd)(dL 下 页上 页证uvuvvudd 利用若足够大0返 回第12页/共80页0122ss22ss的象函数) (cos)( 1)( ttf例解)(sin(dd1LcosLttt)(cosd)dsin(ttt下 页上 页利用导数性质求下列函数的象函数tttd)d(sin1)(cos返 回第13页/共80页推广：)0()0()(2fsfsFs的象函数) ()( 2)( ttf解tttd)(d)(s1)(Ltd)(

8、dLnnttf)0()0()(11nnnffssFsd)(dL22ttf)0()0()(ffssFs101ssd)(dL)(Lttt下 页上 页返 回第14页/共80页下 页上 页3.积分性质) s ()(L Ftf若：) s (s1d)(L 0Fft则：证) s (d)(L 0tttf令tttfttf0d)(dd L)(L应用微分性质00d)()(s)(ttttfssFs) s () s (F0返 回第15页/共80页的象函数和求)() t () ()( : 2ttftttf下 页上 页d2L0ttt例)(Ltt2111sssd)(L0tt)(L2tt32s解返 回第16页/共80页4.延迟

9、性质tettfsttd)(00)(0sFest)()(L sFtf若：)()()(L 000sFettttfst则：tettttfttttfstd)()()()(L00000d)(0)(0tsef0 tt令延迟因子 0ste下 页上 页证d)(00sstefe返 回第17页/共80页例1)()()(TtttfTeFss1s1) s ()()()(Tttttf)()()()()(TtTTtTttttfTTeTeFss22ss1s1) s (例2求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解下 页上 页TTf(t)o1Ttf(t)o返 回第18页/共80页求周期函数的拉氏变换 设f1(t)为一

10、个周期的函数 )2()2( )()()()(111TtTtfTtTtftftf)(321 sTsTsTeeesF)(111sFesT例3解)()(L11sFtf )()()()(L1211sFesFesFtfsTsT下 页上 页.tf(t)1T/2To返 回第19页/共80页)s1s1() s (2/s1TeF)2()()(1Ttttf)11(12/sTes )(11)(L 1sFetfsT)11(112 /sTsTesse)(L tf下 页上 页对于本题脉冲序列5.拉普拉斯的卷积定理)()(L )()(L 2211sFtfsFtf若：返 回第20页/共80页下 页上 页)()( d )()(

11、L)()(L 21t02121sFsFftftftf则：证tftfetftfstdd )()()()(Lt021021tfttfestdd )()()(0210 tx 令xeefxxfsxsdd )()()(0021 0201d )(d)()(ssxefxexxf)()( 21sFsF返 回第21页/共80页14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：(1)利用公式seFtfstjjd) s (j21)(cc(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数下 页上 页(3)把F(s)分解为简

12、单项的组合)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 部分分式展开法返 回第22页/共80页利用部分分式可将F(s)分解为：)( )()()(110110mnbsbsbasasasDsNsFnnnmmm nppns 10)(D (1)个单根分别为有若下 页上 页象函数的一般形式nnpsKpsKpsKsF 2211)(待定常数讨论tptptpeKeKeKtfn21n21)( 返 回第23页/共80页n321 )(、ipssFKipsii待定常数的确定：方法1下 页上 页 nnpsKpsKpsKFps22111)() s ()(方法2求极限的方法) s ()s)

13、(s (limpDpNKisii令s = p1返 回第24页/共80页) s () s ()s)(s (limpDNpNisi)()(iiipDpNK 下 页上 页) s ()s)(s (limpDpNKisii的原函数求 6s5s5s4) s ( 2F3s2s21KK33s5s421SK72s5s43s2K例解法16s5s5s4) s (2F返 回第25页/共80页)(7)(3)(32tetetftt35254)()(2111ssspDpNK75254()(3222sss)pDpNK解法2下 页上 页tpnntptpnepDpNepDpNepDpNtf)()()()()()()(221121

14、 原函数的一般形式返 回第26页/共80页jpjp21)()()()()()(1sDjsjssNsDsNsF)()(1121sDsNjsKjsK具有共轭复根若 0)( )2(sD下 页上 页K1、K2也是一对共轭复数注意j21 )()()j)(jssDsNssFKs，返 回第27页/共80页) t ()(1)(j)(jfeeKeeKtjtj) t (1)( j)( jfeeeKttt)()cos(21tfteKtj2j1e e-KKKK设：) t ()()(1)j(2)j(1feKeKtftt下 页上 页返 回第28页/共80页)( 523)( 2tfssssF的原函数求2 j121,p452

15、5 . 050 j50) j21(2j1s1.ssK4525 . 0) j21(ss2j1s2K)452cos(2)(tetft例解的根： 0522 ss4525 . 022ss) s () s (2j1s1DNK或：下 页上 页返 回第29页/共80页 )p()(1110nmmmsasasasF nnnnpsKpsKpsKpsKsF)()()()(1111112211111 具有重根若 0)( )3(sD下 页上 页1)()(111psnsFpsK1)()(dd112psnsFpssK1s1111)()(dd)!1(1pnnnnsFpssnK返 回第30页/共80页222211) 1() 1

16、(sKsKsK) t ( ) 1(4)(2fssssF的原函数求：4) 1(4021sssK34122sssK1221)() 1(ddssFssK44dd1ssssttteetf344)(例解2) 1(4)(ssssF下 页上 页返 回第31页/共80页 n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 nnpKpKpKAF sss) s (2211由F(s)求f(t) 的步骤： 求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式 求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换) s () s () s (0DNAF下 页上 页小结返 回第32页/共80页的原函数求： 65119)(22ssss

17、sF655412sss37231ss)37()()(23tteettf例解65119)(22sssssF下 页上 页返 回第33页/共80页14.4 运算电路基尔霍夫定律的时域表示： 0)(ti 0)(tu1.基尔霍夫定律的运算形式下 页上 页 0)(sI0) s (U根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式对任一结点对任一回路返 回第34页/共80页u=Ri)()(sGUsI)()(sRIsUGsYRsZ)()(2.电路元件的运算形式 电阻R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路下 页上 页uR(t)i(t)R+-时域形式：R+-)(sU)(sI返 回第35页/共80页tiLudd)0(

18、)()0()()(LissLIissILsUsisLsUsI)0()()(sLsYsLsZ1)()( 电感L的运算形式取拉氏变换,由微分性质得L的运算电路下 页上 页i(t)+ u(t) -L+ -sL)0(LiU(s)I(s)+-时域形式：sL+ U(s)I(s )si)0( -返 回第36页/共80页d )( 1)0(0tiCuususIsCsU)0()(1)()0()()(CussCUsIsCsYsCsZ)(1)( 电容C的运算形式C的运算电路下 页上 页i(t)+ u(t) -C时域形式：取拉氏变换,由积分性质得+ -1/sCsu)0(U(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+ U(s

19、)I(s ) -返 回第37页/共80页tiMtiLutiMtiLudddddddd12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU 耦合电感的运算形式下 页上 页i1*L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：取拉氏变换,由微分性质得sMsYsMsZMM1)()(互感运算阻抗返 回第38页/共80页耦合电感的运算电路下 页上 页)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU+-+sL2+sM+ +)(2sUsL

20、1)(2sI)0(22iL)0(1Mi)(1sI)(1sU-)0(11iL)0(2Mi- +返 回第39页/共80页1211/iiRui)()(/ )()(1211sIsIRsUsI 受控源的运算形式受控源的运算电路下 页上 页时域形式：取拉氏变换 i1+_u2i2_u1i1+R)(1sU)(1sI)(2sU)(1sI+_+R)(2sI返 回第40页/共80页3. RLC串联电路的运算形式下 页上 页u (t)RC-+iLU (s)R1/sC-+sLI (s)时域电路 0)0( 0)0(Lciu若：tctiCtiLiRu0d1dd)(1)()()(sIsCssLIRsIsU拉氏变换运算电路)(

21、)()1)(sZsIsCsLRsIsCsLRsYsZ1)(1)(运算阻抗返 回第41页/共80页)()()()()()(sUsYsIsIsZsU下 页上 页运算形式的欧姆定律u (t)RC-+iL0)0( 0)0(Lciu若：+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)suc)0(拉氏变换返 回第42页/共80页suLisUsIsZsIsCsLR)0()0()()()()()1(C下 页上 页susIsCLisLIRsIsU)0()(1)0()(s)()(C+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)suc)0(返 回第43页/共80页 电压、电流用象函数形式； 元

22、件用运算阻抗或运算导纳表示； 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。下 页上 页电路的运算形式小结例给出图示电路的运算电路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解t=0 时开关打开uc(0-)=25V iL(0-)=5A时域电路返 回第44页/共80页注意附加电源下 页上 页1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t 0 运算电路返 回第45页/共80页14.5 应用拉普拉斯变换法 分析线性电路由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) ；画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；应用前面各

23、章介绍的各种计算方法求象函数；反变换求原函数。下 页上 页1. 运算法的计算步骤返 回第46页/共80页例10)0( Li(2) 画运算电路sL1s s11s11sCV1)0(cu解(1) 计算初值下 页上 页电路原处于稳态，t =0 时开关闭合，试用运算法求电流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回第47页/共80页(3) 应用回路电流法下 页上 页1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s)(1sI)(2sI0)0(1) s (1)()11 (C21susIssIssssuIsIs1)0() s ()11 () s (1C21-返

24、 回第48页/共80页下 页上 页2)2(1)()(21ssssIsI) j1s (j1)(321KsKsKsI(4)反变换求原函数j1j10 :30)(D321ppps，个根有21) s (01ssIKj)2(11) j1)(j12sssIKj)2(11) j1)(j13sssIK返 回第49页/共80页下 页上 页) j1() j1 (21j1) j1 (2121)(ssssI)sinecose1 (21)()(L1tttisItt例2，求uC(t)、iC(t)。0)0(),(csuti图示电路RC+ucis解画运算电路1/sC+Uc(s)( )1sI s R)(CsI返 回第50页/共8

25、0页sCsIsCRRsUsC1)(/1)()/1(RCsRCR1)()(RsCRsCsCsUsICC111RsC)0(1/teCuRCtc)0(1)(/teRCtiRCtc下 页上 页1/sC+Uc(s)( )1sI s R)(CsI返 回第51页/共80页t = 0时打开开关 ,求电感电流和电压。0)0(A5)0(21ii例3下 页上 页解计算初值+-i10.3H0.1H10V23i2画运算电路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回第52页/共80页s.ssI4055110)(1ss.s.)405(51105 .1275. 12ss25 .12175. 12ieits

26、ss)5 .12(75. 325下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23注意)0()0(11 ii)0()0(22 ii返 回第53页/共80页5 . 1) s (s3 . 0)(11IsUL375. 05 .1256. 6sUL1(s)(1 . 0)(2ssIsUL5 .1219. 2375. 0stLettu5 .12219. 2)(375. 0)(tLetu5 .12156. 6)(375. 0) t (下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回第54页/共80页3.75ti1520tLettu5 .12156. 6)(375.

27、 0)(tLettu5 .12219. 2)(375. 0)(下 页上 页25 .12175. 12ieituL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返 回第55页/共80页A75. 31 . 0375. 0)0()0(22iiiLAi75. 33 . 0375. 053 . 0)0(1下 页上 页注意由于拉氏变换中用0- 初始条件，跃变情况自动包含在响应中，故不需先求 t =0+时的跃变值。两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。 满足磁链守恒。返 回第56页/共80页)0()()0()0(212211iLLiLiL75. 34 .

28、 0053 . 0下 页上 页返 回第57页/共80页14.6 网络函数的定义1. 网络函数H（s）的定义 线性线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数H(s)。)()( L )(L L L )(defsEsRtetrsH）激励函数零状态响应下 页上 页返 回第58页/共80页由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。下 页上 页注意若E(s)=1，响应R(s)=H(s)，即网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激

29、响应 h(t)。2.网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应返 回第59页/共80页)()()(sEsRsH)()()(sEsHsR例)()()()(2121stStSuutti、求阶跃响应，、，响应为图示电路，下 页上 页1/4F2H2i(t)u1+-u21解画运算电路返 回第60页/共80页6544221141)()()(11ssssssIsUsH2S65422)(2)()()(2112ssssssUsIsUsHS)65(44)()()(211sssssIsHsUS)65(4)() s ()(222sssssIHsUStteetS32138232)(tteetS32244)(下 页

30、上 页I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2( )2+-1返 回第61页/共80页例下 页上 页解画运算电路电路激励为)()(Stti)(tuC，求冲激响应GC+ucissC+Uc(s)(sIsGRCsCGsCsZsUsEsRsHC1111)(1)()()()(1 11111( )( )L ( )Le( )1tRCCh tutH stCCsRC1 11111( )( )L ( )Le( )1tRCCh tutH stCCsRC返 回第62页/共80页下 页上 页3. 应用卷积定理求电路响应)()()(sEsHsRt0t01d)()(d)()( )(*)()()(L)(thehtethtes

31、HsEtr结论 可以通过求网络函数H(s)与任意激励的象函数E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应 。 返 回第63页/共80页2126 . 015)(21sKsKsssUCK1=3 , K2= -3ttceeu332例)()(L)()(1CsEsHtrtu解下 页上 页teth 5)(图示电路 tseu26 . 0，冲激响应，求uC(t)。线性无源电阻网络+-usCuc+-返 回第64页/共80页14.7 网络函数的极点和零点1. 极点和零点)()()()()()()(21210nmpspspszszszsHsDsNsH 下 页上 页njjmiizszsH110)()(当

32、 s =zi 时，H(s)=0， 称 zi 为零点， zi 为重根，称为重零点；当 s =pj 时，H(s) ， 称 pj 为极点，pj 为重根，称为重极点；返 回第65页/共80页2. 复平面（或s 平面）js 在复平面上把 H(s) 的极点用 表示 ，零点用 o 表示。零、极点分布图下 页上 页zi ， Pj 为复数joo返 回第66页/共80页42 )(21zzsH，的零点为：23231 ) s (3 , 21jppH，的极点为：例36416122)(232ssssssH绘出其极零点图。解)4)(2(216122)(2sssssN)23j23)(23j23)(1( 364)(23sssssssD下 页上 页返 回第67页/共80页下 页上 页24 -1jooo返 回第68页/共80页14.8 极点、零点与冲激响应零状态e(t)r(t)激励 响应)()()(sEsHsR 1)( )()( sEtte时，当下 页上 页1. 网络函数与冲击响应)(L)()( )()( 1sHthtrsHsR零状态(t)h(t) 1 R(s)冲击响应H(s) 和冲激响应构成一对拉氏变换对。结论返 回第69页/共80页) 1() 1()(0sssHsHH0=-10例 已知网络函数有两个极点为s =0、s =-1，一个单零点为s=1，且有 ，求H(s) 和 h(t)10)(limtht