广东省2026年初中学业水平考试数学模拟卷附答案

初中学业水平考试数学模拟卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列四个数中，比一2小的数是()A．0 B．-1 C． D．2．线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位.如图是一个线锤，它的左视图为()A． B．C． D．3．下列运算正确的是（）A． B．C． D．4．不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（）A． B．C． D．5．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.5，下列说法正确的是()A．小星定点投篮1次，不一定能投中B．小星定点投篮1次，一定可以投中C．小星定点投篮10次，一定投中5次D．小星定点投篮5次，一定投中1次6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D，E分别为边AB，AC的中点，连接DE，CD，若则CD的长度为()A．3 B． C．3.5 D．47．数学文化《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金?设每头牛值x金，每只羊值y金，则可列方程组为()A． B．C． D．8．数学实践数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点D，交AB于点C，测出AB=16cm，CD=4cm，则圆形工件的半径为()

A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-6，0)，点C的坐标为(0，3).以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐标为()

A．(-6，-3) B．(-6，3)C．(3，6) D．(6，3)10．如图，正比例函数y1=mx，一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中，若y3>y1>y2，则自变量x的取值范围是()

A．x<-1 B．-0.5<x<0或x>1C．0<x<1 D．x<-1或0<x<1二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．请写出一个只含字母x，y的五次单项式12．计算的结果等于.13．如图为化学实验过滤操作的示意图，其中烧杯中的液面AB与漏斗架CD平行.若∠1=76°，∠2=120°，则∠3的度数为.

14．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为.15．如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF=AE，连接CF.若AC=6.5，BC=5，则四边形EBFC的面积为.

三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.16．计算：17．最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活.小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的.在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表：地面所受压强p/Pa…4×1046×1048×1041×105…接触面积S/m2…1.2×10-26×10-34.8×10-3…（1）求地面所受压强p(Pa)关于接触面积，的函数表达式；（2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米?18．综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师要求九年级(2)班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：【实地测量】（1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE=∠ACB.小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE=1.5米，小康到镜面的距离EC=3米，镜面到旗杆的距离CB=15米.求旗杆的高度AB.（2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE=1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，BF=9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行.求旗杆的高度AB.四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作且CF=DE，连接AE，BF，EF.（1）求证：（2）请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论.条件①：条件②：AE=EF；条件③：连接AF，(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分)已知：▲.(填写序号)20．为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷(1人只能投1票)，共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人.如图是根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图.请根据统计图回答下面的问题：（1）调查总人数a=.（2）请补全条形统计图.（3）若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人?（4）改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果(分数)如下：项目小区休闲儿童娱乐健身甲7798乙8879若以1∶1∶1∶1进行考核，小区满意度(分数)更高；若以1∶1∶2∶1进行考核，小区满意度(分数)更高.21．综合与实践【主题】扇面制作.【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格.某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示，弦AB与相切.【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为的卡纸【任务】（1）猜想与证明：猜想OD与OA之间的数量关系，并证明.（2）设计扇面：若要求制作的扇面的宽AD=BC=15cm.①求要制作的扇面中弦AB的长.②在⊙O1中能否设计出满足条件的扇面?若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面(标出相关角的度数，保留作图痕迹)；若不能，请说明理由.五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于点H.（1）求证：（2）若点P为CD的中点，正方形ABCD的边长为2，求HP的长；（3）若四边形ABCD为矩形，连接BG，DC=2，点P为CD的中点，点H为BC的中点，求BG的长.23．【问题背景】已知抛物线(a，k为常数，a>0))的顶点为P，对称轴与x轴相交于点D，点M(m，1)在抛物线上，m>1，O为坐标原点.【构建联系】（1）如图1，当a=1，抛物线与y轴交于点(0，-1)时，求该抛物线的顶点P的坐标；（2）如图2，当时，求a的值；（3）【深入探究】如图3，若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，点E在线段MN上，点F在线段DN上，当DE+MF取得最小值为时，求a和k的值.

答案1．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得＜-2，-2＜-1＜＜0，

故答案为：D

【分析】根据题意直接比较实数的大小，进而即可求解。2．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得它是左视图为

故答案为：A

【分析】根据题意从组合体的左边看，进而即可得到其左视图。3．【答案】B【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D错误，故答案为：B.【分析】根据同类二次根式的性质即可判断A；根据二次根式的乘法即可判断B；根据二次根式的除法即可判断C；根据二次根式的性质即可判断D.4．【答案】C【解析】【解答】解：不等式的解集在数轴上的表示如下所示：

，故答案为：C．【分析】根据不等式解集在数轴上表示的规则，大（小）于向右（左），包括界点用实心点，不包括界点用空心圈，即可得出答案。5．【答案】A【解析】【解答】解：用频率估计得到的概率0.5，仅表示大量重复试验中投中事件发生的可能性大小，不代表有限次试验中一定会出现对应结果。

投篮1次时，投中的可能性为50%，属于随机事件，不一定投中，因此A正确，B错误；

投篮10次或5次均属于有限次试验，投中次数是随机的，不一定恰好为5次或1次，因此C、D错误。

故答案为：A

【分析】本题考查概率的意义，核心是理解频率估计概率的内涵。解题时需明确，概率反映的是事件在大量重复试验中发生的规律性趋势，仅代表事件发生的可能性大小，不能保证有限次试验中一定会出现某种确定结果；单次试验的结果具有随机性，因此不能用“一定”描述有限次投篮的投中次数，据此逐一判断选项即可。6．【答案】D【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点，，

∴BC=2DE=，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴，

∴AB=8，

∵CD为斜边上的中线，

∴CD=4，

故答案为：D

【分析】先根据三角形中位线定理得到BC=2DE=，进而根据余弦函数解直角三角形，从而求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。7．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，第一个等量关系：5头牛的总价加2只羊的总价等于10金，即；第二个等量关系：2头牛的总价加5只羊的总价等于8金，即。联立两个方程可得方程组。故答案为：A【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于古代数学问题的建模。解题时需先梳理题目中的两个等量关系，分别将牛的单价乘以数量、羊的单价乘以数量，相加后等于总价值，再将两个等量关系转化为对应的二元一次方程，联立后即可得到所求方程组。8．【答案】C【解析】【解答】解：∵CD垂直平分AB，∴直线CD必过圆心，设圆心为O，连接OB。由垂径定理得，。设圆形工件的半径为，则，。在中，由勾股定理得：，即，展开得，化简得，解得。故答案为：C【分析】本题考查垂径定理与勾股定理在圆半径计算中的应用。解题时首先根据垂直平分线的性质确定CD经过圆心，结合垂径定理求出弦长一半BD的长度；再设半径为未知数，用半径表示出圆心到弦的距离OD，最后在直角三角形OBD中利用勾股定理列方程，求解方程即可得到圆形工件的半径。9．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴，，且。矩形绕点O顺时针旋转90°后，，，且落在y轴正半轴上，垂直于y轴向右延伸。因此点坐标为，点横坐标与长度相等为3，纵坐标与相同为6，即。故答案为：C【分析】本题考查坐标与图形的旋转变换，结合矩形的性质求解旋转后点的坐标。解题时先根据矩形的性质，由已知点坐标得出矩形的边长OA与AB的长度；再依据旋转的性质，确定旋转后对应边、的长度与位置，结合顺时针旋转90°后坐标轴方向的变化，推导出点的横、纵坐标数值。10．【答案】D【解析】【解答】解：的几何意义是：同一横坐标下，反比例函数图象位于正比例函数图象上方，且正比例函数图象位于一次函数图象上方。观察函数图象，三个函数的交点横坐标分别为-1、0、1：当时，反比例函数图象在最上方，正比例函数次之，一次函数在最下方，满足；当时，正比例函数在最上方，不满足条件；当时，反比例函数图象在最上方，正比例函数次之，一次函数在最下方，满足；当时，一次函数在最上方，不满足条件。综上，x的取值范围是或。故答案为：D【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象交点问题，核心是利用数形结合判断函数值的大小关系。解题时需理解函数值大小关系对应的图象位置关系：函数值越大，对应图象在坐标系中位置越靠上。先找到三个函数图象的交点横坐标，以此为分界点将x轴分为多个区间，逐一判断每个区间内三个函数图象的上下位置关系，筛选出满足的区间即可。11．【答案】（答案不唯一）【解析】【解答】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为，故答案为：（答案不唯一）．【分析】根据单项式及单项式的次数的定义，即可得出答案（答案不唯一）。12．【答案】3【解析】【解答】解：两个分式分母相同，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：对分子提取公因式得，约去分母的公因式（），结果为3。故答案为：【分析】本题考查同分母分式的减法运算与分式化简。解题时先依据同分母分式加减法则，保持分母不变，将两个分子相减；再对分子提取公因式，约去分子分母的公因式，将分式化为最简形式即可得到计算结果。13．【答案】44°【解析】【解答】解：∵，根据平行线的性质，等于与的和，即。∴。故答案为：【分析】本题考查平行线的性质与角度计算。解题时利用AB与CD平行的条件，结合角的位置关系，可推出是由与组成的同位角之和，因此等于加；将已知角度代入等式，通过减法运算即可求出的度数。14．【答案】m≥1【解析】【解答】解：先解不等式，两边除以2得，解得。不等式组为，若不等式组无解，说明两个不等式的解集没有公共部分，根据“大大小小无处找”的规律，可得。故答案为：【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的取值范围。解题时先求解第二个不等式，得到x的取值范围；再结合不等式组无解的条件，即两个解集无公共部分，依据一元一次不等式组解集的判断规律，确定参数m的取值边界，最终得到m的取值范围。15．【答案】15【解析】【解答】解：过点C作于M，于N，∵，∴。∵，∴，∴，即BC平分。根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，因此。∵，，且，∴。∴。设，则。在和中，由勾股定理得：，代入得，展开计算得，整理得，解得。则。∴，即四边形EBFC的面积为15故答案为：【分析】本题综合考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质与三角形面积计算。解题时首先通过等腰三角形等边对等角、平行线内错角相等的性质，推导出BC平分∠ABF；再利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到两个三角形的高相等，结合BF=AE的条件，证明△CBF与△ACE面积相等，进而将四边形面积转化为△ABC的面积；最后通过设未知数，利用勾股定理在两个直角三角形中表示公共高CM，列方程求出高的长度，代入三角形面积公式计算即可。16．【答案】解：原式【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，综合了绝对值化简、特殊角三角函数值、二次根式乘法运算以及零指数幂的性质。解题时先分别对每一项进行化简：先比较与3的大小，依据绝对值的代数意义去掉绝对值符号；代入45°角的正切值；按照二次根式乘法法则计算根式乘法并化为最简二次根式；根据非零数的零次幂等于1化简最后一项；再将所有化简后的项进行加减运算，合并同类二次根式后得到最终结果17．【答案】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系.设地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m2)的函数表达式为将(4×104，1.2×10-2)代入入得..∴地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m2)的函数表达式为.（2）解：将代入时，∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa|时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为【解析】【分析】（1）根据表格数据可知压力一定时，压强与接触面积成反比例关系，因此设函数解析式为；选取表格中一组对应的P与S数值代入解析式，计算出比例系数F的值，即可确定压强关于接触面积的函数表达式；

（2）将玻璃通道能承受的最大压强代入已求得的反比例函数解析式，通过解分式方程求出对应的接触面积，该值即为满足压强要求的最小接触面积。18．【答案】（1）解：∵∠DCE=∠ACB，∠DEC=∠ABC=90°，∴AB=7.5.答：旗杆的高度AB为7.5米.（2）解：∵DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行，∴∠CGD=∠AHD=90°，GF=BH=DE=1.5米.∵∠CDG=∠ADH，∴△CDG∽△ADH.∴∵CG=CF-GF=4-1.5=2.5(米)，DG=EF=3米，DH=BF+EF=9+3=12(米)，∴AB=AH+BH=10+1.5=11.5(米).答：旗杆的高度AB为11.5米.【解析】【分析】（1）首先根据镜面反射的等角条件，结合人与旗杆均垂直于地面得到的两个直角，依据两角分别相等的两个三角形相似，证明；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知线段长度，通过计算求出旗杆AB的高度。（2）先根据所有竖直线段均垂直于地面、DH平行于水平面的条件，构造出两个直角三角形，结合公共角证明；先计算出标杆高出人眼的长度CG，以及两个三角形对应的水平边长DG与DH，代入相似三角形的比例式求出AH的长度；最后将AH与人眼高度BH相加，得到旗杆AB的总高度。19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.∴∠ADB=∠DBC.∵CF∥BD，∴∠DBC=∠BCF.∴∠ADB=∠BCF.又∵DE=CF，∴△ADE≌△BCF(SAS).（2）解：①结论：四边形ABFE是矩形.证明如下：∵CF∥BD且CF=DE，∴四边形CDEF是平行四边形.∴EF∥CD，EF=CD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∴AB∥EF，AB=EF.∴四边形ABFE是平行四边形.∵AB∥EF，CF∥BD，∴∠ABE=∠BEF=∠EFC.∵∠BFC-∠ABE=90°，∴∠BFC-∠EFC=90°，即∠BFE=90°.∵四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是矩形.(或②结论：四边形ABFE是菱形.证明如下：∵CF∥BD且CF=DE，∴四边形CDEF是平行四边形.∴EF∥CD，EF=CD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∴AB∥EF，AB=EF.∴四边形ABFE是平行四边形.∵AE=EF，∴四边形ABFE是菱形.或③结论：四边形ABFE是菱形.证明如下：如图.∵CF∥BD且CF=DE，∴四边形CDEF是平行四边形.∴EF∥CD，EF=CD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∴AB∥EF，AB=EF.∴四边形ABFE是平行四边形.∵AF⊥BD，∴四边形ABFE是菱形.）【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形对边相等、内错角相等的性质，得到，；再结合CF平行于BD的条件，利用平行线内错角相等推出，通过等量代换得到；最后结合已知的条件，依据SAS判定定理证明与全等。（2）先通过CF平行且等于DE，判定四边形CDEF是平行四边形，得到EF平行且等于CD；再结合平行四边形ABCD中AB平行且等于CD的性质，推导出AB平行且等于EF，先证出四边形ABFE是平行四边形，再结合所选条件进一步判定特殊形状：选条件①时，利用平行线的同位角相等，将∠ABE转化为∠EFC，通过角度差推出∠BFE为直角，依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出结论；选条件②时，依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”直接判定；选条件③时，依据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行判定。20．【答案】（1）100（2）解：100-17-13-40=30(人).补全的条形统计图如图.

（3）解：(万人).答：愿意改造“娱乐设施”的约有3万人.（4）乙；甲【解析】【解答】解：（1）（人），调查总人数人；故答案为：100；（4）若以进行考核，甲小区得分为，乙小区得分为，∴若以进行考核，乙小区满意度（分数）更高；若以进行考核，甲小区得分为，乙小区得分为，∴若以进行考核，甲小区满意度（分数）更高；故答案为：乙；甲．【分析】（1）首先从扇形统计图中获取健身设施人数所占的百分比，从条形统计图中获取选择健身设施的具体人数，用健身人数除以其对应的百分比，即可求出调查的总人数。（2）用总人数依次减去休闲、儿童、健身三类的人数，计算出选择娱乐设施的人数，再根据计算结果补全条形统计图即可。（3）先计算样本中愿意改造娱乐设施的人数占总调查人数的比例，再用城区总居民数乘以该比例，通过样本估计总体的方法，估算出城区愿意改造娱乐设施的人数。（4）分别按照两种权重比例，计算甲、乙两个小区的加权平均分：权重为1：1：1：1时即计算算术平均数，权重为1：1：2：1时按权重比例计算加权和再除以权重总和，比较两个小区的得分高低即可得出结论。21．【答案】（1）解：猜想：证明如下：如图1，记弦AB与CD相切于点M，连接OM，则OM⊥AB.∴∠AMO=90°.∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠MAO=∠MBO=30°.（2）解：①如图1，∵OA=OB，OM⊥AB，∴AM=BM.由(1)知∴在Rt△AOM中，②能，画图如图2、图3所示.(画法不唯一，正确画出一种即可)【解析】【分析】（1）首先设弦AB与弧CD的切点为M，连接OM，根据圆的切线性质得到OM垂直于AB；再由、，结合等腰三角形性质求出底角；在直角三角形AOM中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”得到OM等于OA的一半，又因为OD与OM均为内弧的半径长度相等，通过等量代换即可证明OD与OA的数量关系。（2）①先根据AD的长度结合（1）中半径的比例关系，求出OA的长度；再由垂径定理得到，在直角三角形AOM中利用勾股定理求出AM的长度，乘以2即可得到弦AB的总长。②先计算出满足条件的扇面所需的最大尺寸，与卡纸圆的直径对比，判断是否可以容纳；作图时先确定圆心位置，利用量角器作出120°的圆心角，再分别以两个半径画弧，即可得到符合要求的扇面轮廓。22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，由翻折，得∠EPG=∠A=90°.∴∠CPH+∠EPD=90°.∴∠EPD=∠PHC.又∠D=∠C，∴△EDP∽△PCH.（2）解：如图1，设DE=x，则AE=PE=2-x.

∵点P为CD的中点，CD=2，∴PD=PC=1.由得.解得由(1)知△EDP∽△PCH.即（3）解：如图2，延长AB，PG交于点M，连接AP.

由翻折，得AE=EP.∴∠EAP=∠EPA.∵∠EAB=∠EPG=90°，∴∠MAP=∠MPA.∴MA=MP.∵点P为CD的中点，∴DP=CP=1.由翻折，得PG=AB=CD=2.∵点H为BC的中点，∴BH=CH.∵∠BHM=∠CHP，∠HBM=∠HCP，∴△MBH≌△PCH(ASA).∴BM=CP=1，HM=HP.∴MP=MA=BM+AB=3.在Rt△PCH中，在Rt△APD中，由翻折，得AP⊥EF，BG⊥直线EF..【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，进而根据正和岛的性质得到∠EPG=∠A=90°，从而等量代换，根据相似三角形的判定（AA）即可求解；

（2）设DE=x，则AE=PE=2-x，根据中点结合勾股定理求出x，再根据相似三角形的性质得到，代入数值即可求解；

（3）延长AB，PG交于点M，连接AP，根据折叠得到AE=EP，再根据等腰三角形的性质结合题意等量代换得到∠MAP=∠MPA，根据折叠得到PG=AB=CD=2，进而根据题意等量代换，根据三角形全等的判定与性质证明△MBH≌△PCH(ASA)得到BM=CP=1，HM=HP，再结合勾股定理求出AP，根据