正弦定理余弦定理应用举例

1、1.2 正弦定理余弦定正弦定理余弦定理应用举例理应用举例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量测量:距离问题、高度问题、角度问题、距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题中的常用角实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角视线的夹角,目标视线在水平视线目标视线在水平视线 叫仰角叫仰角, 目标视线在水平视线目标视线在水平视线 叫俯角（如图）叫俯角（如图）. 上方上方下方下方(2)

2、方位角方位角指从指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，方向顺时针转到目标方向线的水平角，如如B点的方位角为点的方位角为（如图）（如图）.正北正北（3）坡度：坡面与水平面所成的角的度数）坡度：坡面与水平面所成的角的度数.例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55cm，BAC45o， ACB75o，求求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理

3、解三角形BACCABsinsin题型一题型一 与距离有关的问题与距离有关的问题要测量对岸要测量对岸A、B两点之间的距离两点之间的距离(不可到达不可到达)，选取，选取相距相距 km的的C、D两点两点,并测得并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45,求求A、B之间的距离之间的距离. 分析题意，作出草图，综合运用正、分析题意，作出草图，综合运用正、 余弦定理求解余弦定理求解.3解解 如图所示在如图所示在ACD中，中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在在BCD中，中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得3

4、sin 7562.sin 602BC 2226262( 3)()23cos 752232335,5(km).5km.ABABAB 、 之之间间的的距距离离为为3 求距离问题要注意：求距离问题要注意：（1 1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解解. .（2 2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理用，就选择更便于计算的定理

5、. .(3)(3)阅读课本第阅读课本第1111页和第页和第1212页的例页的例1,1,例例2 2的的距离测量方法距离测量方法. .变式变式1（2009海南海南,宁夏理宁夏理, 17） 为了测量两山顶为了测量两山顶M、N间的间的 距离，飞机沿水平方向在距离，飞机沿水平方向在A、B 两点进行测量，两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面在同一个铅垂平面 内（如示意图）内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和飞机能够测量的数据有俯角和 A、B间的距离，请设计一个方案，包括：指间的距离，请设计一个方案，包括：指 出需要测量的数据出需要测量的数据(用字母表示用字母表示,并在图中标并在图中标 出出)

6、；用文字和公式写出计算；用文字和公式写出计算M、N间的距离间的距离 的步骤的步骤.解解 方案一方案一：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A点到点到M、N点的俯角点的俯角1、1；B点到点到M、N点的俯角点的俯角2、2；A、B的距离的距离d(如图所示如图所示).第一步：计算第一步：计算AM.由正弦定理由正弦定理第二步：计算第二步：计算AN.由正弦定理由正弦定理第三步：计算第三步：计算MN.由余弦定理由余弦定理212sin;sin()dAM 221sin;sin()dAN 22112cos()MNAMANAMAN方案二方案二：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A点到点到M、N点的点的俯角俯角1、

7、1；B点到点到M、N点的俯角点的俯角2、2;A、B的距离的距离d（如图所示）（如图所示）.第一步：计算第一步：计算BM.由正弦定理由正弦定理第二步：计算第二步：计算BN.由正弦定理由正弦定理第三步：计算第三步：计算MN.由余弦定理由余弦定理112sin;sin()dBM 121sin;sin()dBN 22222cos().MNBMBNBMBN例例2.在在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是俯角分别是30，60,则塔高为则塔高为 （ ） 解析解析 作出示意图如图，作出示意图如图， 由已知：在由已知：在RtOAC中，中，OA=200，OAC=3

8、0，则，则OC=OAtanOAC =200tan 30= 在在RtABD中，中，AD= ，BAD=30， 则则BD=ADtanBAD=400400200200A.mB.3mC.3mD.m3333200 3.3200 33200 33 200tan 30,3 200400200.33BCCDBDA题型二题型二 与高度有关的问题与高度有关的问题 解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求；）准确理解题意，分清已知与所求；（2）依题意画出示意图；）依题意画出示意图；（3）分析与问题有关的三角形；）分析与问题有关的三角形；（4）运用正、余弦定理，有序

9、地解相关的三角形）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形, 逐步求解问题的答案；逐步求解问题的答案；（5）注意方程思想的运用；）注意方程思想的运用；（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.变式变式2 如图所示，测量河对岸的如图所示，测量河对岸的 塔高塔高AB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B在同一水在同一水 平面内的两个测点平面内的两个测点C与与D，现测得，现测得 BCD=，BDC=，CD=x，并，并 在点在点C测得塔顶测得塔顶A的仰角为的仰角为，求塔高，求塔高AB. 解解 在在BCD中，中，CBD= ,sinsinsinsinsinsin()tans

10、inRt,tan.sin()BCCDBDCCBDxCDBDCBCCBDxABCABBCACB 由由正正弦弦定定理理得得所所以以在在中中例例3.在海岸在海岸A处处,发现北偏东发现北偏东45方向方向,距离距离A n mile的的B处有一艘走私船，在处有一艘走私船，在A处北偏西处北偏西75的的 方向方向,距离距离A 2 n mile的的C处的缉私船奉命以处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船的速度追截走私船.此时，走私船正以此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从的速度从B处向北偏东处向北偏东30方向逃窜方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？问缉私船沿什么方向能最快

11、追上走私船？ 分析分析 如图所示，注意到最快追上走如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在处相遇，则可先在ABC中求出中求出BC， 再在再在BCD中求中求BCD.31 3题型三题型三 与角度有关的问题与角度有关的问题则有则有CD=10 t，BD=10t.在在ABC中，中，AB= -1，AC=2，BAC=120, 由余弦定理，由余弦定理，得得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=（ -1）2+22-2（ -1）2cos 120=6,BC= ， 即即CBD=90+30=120，在在BCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得B

12、CD=30.即缉私船北偏东即缉私船北偏东60方向能最快追上走方向能最快追上走私船私船. 3336sin10 sin1201sin,210 3BDCBDtBCDCDt3解解:设缉私船用设缉私船用t h在在D处追上走私船，处追上走私船，2sin1202sin4526ABCABC 由由正正弦弦定定理理，例例4 如图所示，已知半圆的直径如图所示，已知半圆的直径AB=2， 点点C在在AB的延长线上，的延长线上，BC=1，点，点P为半圆上的为半圆上的 一个动点，以一个动点，以DC为边作等边为边作等边PCD，且点，且点D与与 圆心圆心O分别在分别在PC的两侧，求四边形的两侧，求四边形OPDC面积的面积的 最大值最大值.题型四题型四 正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平面几何中的综合应用解解 设设POB=，四边形面积为，四边形面积为y，则在则在POC中，由余弦定理得中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcos =5 4cos .max3112sin(54cos)245 32sin().345 35,2.32645 32.4OPCPCDySSyOPDC 当当即即时时所所以以四