圆锥曲线几何性质精华

1、圆锥曲线的几何性质四川省仪陇新政校区魏登昆x y2、椭圆的几何性质（以a2+=1（a>b>0）为例）1、" ABF2的周长为4a（定值）证明：由椭圆的定义AF1 AF2 2aBF1BF2即 CABF2 4a2a2、焦点"PF1F2中:(1)2s" PF1F2=b ?tan 2(2)(S"PF1F2) max= bc(3)证明:AF1当P在短轴上时，/ F1PF2最大(1)在AF1F2 中COS2 PF1PF1Spf/2BF1x2 PF2I2 4c2PF12 PF1 |PF2PF2PF2S" PF1F2 max cos当x0=0时co

2、s2b21 cos2b2PF1sin1 cos22c也pFIPF2P 4c22PF1 PF?PF22 PF1PF2b2 costan-2bca ex)a ex)2 4c24a2 4c22 a2e2x022 12a2 2e02x02cos有最小值a 2"a即/ F1PF2最大3、过点Fi作"PF1F2的/ P的外角平分线的垂线，垂足为则M的轨迹是x2+y2=a2证明：延长FiM交F2P于F，连接0M由已知有0MPFiFPM为FiF中点1 1尹2 =- PF1 PF2 =ax所以M的轨迹方程为x2 y2 a24、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆2 2 2x +y =a内切证

3、明：取PF1的中点M，连接0M。令圆M的直径OM =-|PF22丄 2a PF12a -|PF12Ph，半径为F圆M与圆0内切以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆2 2 :x +y =a2内切5、任一焦点"PF1F2的内切圆圆心为I，连结则 I IR l：l IP I =e证明：证明：连接FI,F2l由三角形内角角平分线性质有IRPIPF1F2R F1R F2R 2cePF2 PF1 PF2 2aPI延长交长轴于IRPI6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令A x1, y, , B x2, y2到准线的距离为以为直径的圆的圆心为 MAF2 ec,BF2 ed2AF2BF2

4、 e d, d2AB 2R e d1 d2R -e d1 d22到准线的距离为d。1d di d22eYi以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则:(I PAI + I PF2 I ) max =2a+I AF(I PAI + I PF2 I ) min =2a-I AFi证明：连接 AP,AFi,PFiAP PF2AP2aPFi2aAPPFiAFiAPPFiAFi2a AFiAPPF22aAFi(I PAI + I P爲 I ) max =2a+ I AF I(I PAI + I PR I )min =2a- I AFi I8、A为椭圆内一定点,P是椭圆上的动

5、点，则(I PA I +证明:PF( IPF2)mine到右准线的距离设到右准线的距离PFd,由椭圆的第二定义有PA Id e)min =PA d9、焦点"PFiF2的旁心在直线证明：令oPMPFiFiF2min = A到右准线的距离.x= ± a 上。与/ PFF2三边所在的直线相切于 M N、APNPNF2NFiMFiAf2aFM1F1APF1PNf1f2f2nF2NF2APF1PNf2nrf2f2nf2af2nF2A2a 2c 2 F2Aa c F2A 即为椭圆顶点。/.焦点"PF1F2的旁心在直线 x= ± a上10、P是椭圆上任意一点，PF2的

6、延长线交右准线于上另一任意点，连结 PK交椭圆于Q则KF2平分/11AF证明：令ABFX1,%偸定值）,B X2,y2当AB的斜率存在时，设直线y k2xax cy2b2b2x2AB方程为y k xa2(k2x2 2k2cx c2PF2-ed1PF2QF2PF2QF2ed1d2QF2d2PF2d2QF2PKd2QK证明：令P,Q到准线的距离为d1,d2PKQK由三角形外角平分线性质定理有KF平分/EF2Q(b2 a2k2)x2 2a2k2cx a2k2c2 a2b20XiX2,22 a k c2?2a kX-|X22222, 2a k c a b2 a kAFBFex.AF2a2k2caVBF

7、ex-!a ex22a e x1 x222a ae x X?e %x22a e 2b22 2 2 2 22-22 2a k c 2 a k c a ba ae 2 2 e 2 2 2b a kb a k2a22a2k2ca ae-22 2b2 a2k2c 2a2k2c a b_a2k2（a）a2 2 2 2 22 a k c a b2 2 2b a ka4k2 a2b23 222 22a k 2ab 2ak cc2a2k2c4 2"c22 2 22ak a cak2b42ab2222b b c2ak2 2a-2c2a k2 1b2 k2 12ab7当AB的斜率存在时，AFBF2aAF

8、BF12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点,则 K ab ? Kopb22 a（定值）证明：令AX1,%,BX2,y2， Pxo, y°x222X12 ab222X2y22 ab2y1y11X1X2x-ix2则12y1Y2厂yoy2 .b2b22ay1y2X1X2h， kop皿X1X2Xo1b2ab2a213、椭圆的短轴端点为 B、B2，P是椭圆上任交长轴于N、M两点,证明：B, 0,b , B20, b , N X!0 ,P Xo，yoX2,xi,b由于B2、则有 I OM * I ONI =aX2b由于F忒Xoyo bX1bOMON22Xoyo2 ab2OMONXoyo bbX

9、oX2 CXo,y。,c Xo,y。、P、N共线XibXoyo b2 2Xo b2Z2yob2Xo2a14、椭圆的长轴端点为Al、连结AiP、AP并延长,Z 2Xo bb2 . 2 yob2 yo2AB22b Xo22byoA 2，P是椭圆上任一点,交一准线于N、M两点,则M N与对应准线的焦点张角为9oo2 a 证明：令M丄，* , N, y2c,P xo,yo ， A a,oMAiNA2 a,oA1P由于A1、Xo aacyoyi共线Xo a, yo ,2 aa, y2 cXo a, yo ,2 a a, yiyi由于A2,P,N共线Xoayoy2y2YoYiY22(a-cXoa)yoyo

10、yo2Xoayo2a2YiY22 afNo2za .(a)cX a2za .(a) caXo2 (乞 cXo2yo2Xo2a c 2 cc, Yic, y2a)b2b4c2M、N与对应准线的焦点张角为9o°2Yo2Xob42c15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦该准线对应的焦点。a2证明：设M, yoca242 2a a c2cYiY22a x则AB的方程为鼻ayoy 1歹1b21必过点c,016、椭圆的光学性质:过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设P xo, yo，则过P点的切线lXoX2ayoy1，直线I的法线x交轴于Q直线I的法向量为:Xoyoab2Xo,y

11、o ,pf2 cXo,yo2Xo2Xo2cxo b22c Xo2a同理同理PFicosyo2 2cXo22a cxocos.22b Xo2- a2acXd2acxo2a2CXo Xo2a2aCXo2 y。b2CXoa2Xob2.22b Xo2 a2a ex。2anF2PQ2 aFiPQ即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。22、双曲线的几何性质(均以笃a(1)焦点三角形面积：S b2 cot 2(2)、过作/ F1PF2的内角平行线的重线垂足2a外切。(4)pMCN= 2arccos 1e、A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=PA +(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点,

12、离Ax(9)、焦点到渐近线的距离等于b(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值(10)(6)焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值/xb2(11 )、P是弦AB中点Kab . Kop = p定值a(12)、P为双线上任一点过 P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值-ab2x(13)、过P的切线平分/ F1PF2(光学性质)即经过一焦点的光线被双曲线反射,反射光线的下长线过另一焦点(14)双曲线与渐近线把平面分成5部分2x双曲线上的点a2x渐近线上的点2a2 y b2(14)2区域的点x22W 12 2区域的点二21a2 2区域的点0xyia22过渐近线上的点（除中心）只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域 的点作切线分别在两支上，过区域的点作切线切点在同一支上，过区域的点没切线，双曲线的K切线斜率k ,区域、的点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上（除中 a心），双曲线上，区域的点不可能是弦中点（15）直线L与双曲线的渐近线2 x2 a2y21交于A B两点，与双曲线交于 C D两点，则AC=BD2三、抛物线的几何性质均以抛物线y 2px p o为例(1) 如图:过抛物线yiy2X1X2ABAB imin12卫42PAFA为抛物线内一定点,y2 2px