正弦电流电路

1、 交流电路中，电流的大小和方向，电压的大小和极性都随时间的变化而变动，在任瞬时，时变的电流或电压的数值，称为它的瞬时值，并用小写字母表示，例如瞬时电流记作i(t)，瞬时电压记作u(t)，也可简写为i和u，这同样表示时间的函数。由于在不同的瞬时，瞬时值不仅大小不同，正负也不同。因此我们仍规定，电流的实际方向与参考方向或电压的实际极性与参考极性致时取正，否则取负。 当时变的电流(或电压)经过相等的时间间隔，瞬时值以同样的次序重复出现，这种时变电流(或电压)称为周期电流(或电压)，如图3.l所示。其解析表达式为式中k为任意正整数，T为周期。它表示电流(或电压)的波形重复出现时，所经过的最短时间间隔。

2、在SI中，主单位为秒(s)。 )()(kTtftfiTtiT0d1 如图3.2(a)所示电路表示段正弦电路，当正弦电流在指定参考方向下通过该电路时，其解析表达式为imtIisin该式称为正弦电流的瞬时值表达式。式中三个量Im、 称为正弦量的三要素。 i Im称为正弦电流的振幅。它表示正弦电流变化过程中所能达到的最大值，如 时，i=Im。通常用下标“m”标注。 1sinit 称为正弦电流的角频率。它表示正弦量的对应的角度随时间变化的速度，或者说，表示单位时间增加的角度，即 。它反映了正弦量变化的快慢。在SI中，主单位是弧度每秒(即rads)。正弦量变化的快慢还可以用周期(T)和频率(f)表示。

3、ittddfT1因为正弦量在个周期内对应的角度变化为2弧度，所以角频率和周期T及频率f的关系为fT22 称为正弦电流的初相位或初相角，简称初相。它是正弦量在计时起点(t=0)时刻的相角，即 ，它又反映正弦量的初始值，即t=0时刻的值，如 ，即反映正弦量在t=0时的状态。而 这个电角是确定正弦量每瞬间状态的，决定了正弦量变化的进程，称之为相位角，简称相位。iitit0imtIisin0iit 相位角和初相角均为电角，故有相同单位弧度(rad)，工程中还习惯以度为单位，在计算时，t与 应为相同的单位。画正弦量的波形时，可以用时间t为横坐标，也可以用t为横坐标(见图3.2)。 i 正弦电流电路中，电

4、流与电压都是同频率的正弦量，但是它们的相位并不定都相同，并且经常遇到频率相同的正弦量要比较相位差。设两个同频率正弦量分别为 111sintIim222sintIim它们之间的相位之差 ，称为相位差，用字母表示，即2121tt 两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相位之差，它是个与时间无关的常数，且与计时起点无关。应当注意，对于两个不同频率的正弦量，相位差是个随时间变化的数，讨论已无意义。 当时 ，称i1在相位上比i2超前角 ，即在时间上，i1比i2先由负值至正值经过零点，或先到达正的最大值。反过来也可以说i2在相位上比i1滞后角 。如图3.4(a)所示。0图3.4 同频率正弦量的相位差 当时

5、，称i1与i2同相位（可简称同相），这时i1与i2同时达到正的最大值，或同时通过零点，如图3.4(b)所示。0 当时 ，称i1与i2反相，如图3.4(c)所示。2当时 ，称i1与i2正交，如图3.4(d)所示。 相位差 的单位仍是弧度，习惯上也用度表示，其取值范围规定为220,dTIiQKI RT QKRit（式中K为系数）如果在周期T内，直流电流I和正弦电流i所产生的热量相等，即QI=Qi，则规定直流电流I的量值即为正弦电流i的有效值。即有TtiTI02d1 周期量的有效值是瞬时值的平方在个周期内的平均值再开方。所以有效值又称方均根值。 将正弦电流 代入可得正弦电流的有效值为 imtIisi

6、n 22200111dsind0.7072TTmimmIitIttIITT同样对正弦电压、正弦电动势的有效值为mmUUU707. 021mmEEE707. 021即正弦量的有效值等于其最大值的 倍。 21 工程上凡是谈到周期电流、电压或电动势的量值时，若无特殊说明，都是指有效值而言。在交流测量仪表上指示的电流或电压也都是有效值。但在分析各种电子器件的击穿电压或电气设备的绝缘耐压时，要按最大值考虑。 当采用有效值时，正弦电流、电压的瞬时值表达式可表示成uitUutIisin2sin2 在交流电路中，除要考虑电阻外，还要考虑电感和电容的作用。由于电路中的电压和电流随时间变动，使得电路周围的电场和磁

7、场也随时间变动。变动的磁场将在电感中产生感应电动势，变动的电场将在电容中产生位移电流，影响整个电路中电压与电流的分布。因此研究交流电路时必须引入电感元件和电容元件来建立电路模型。Cuq 式中，C定义为电容元件的电容。即uqC C取决于电容器极板的尺寸及其间介质的介电常数。 图3.6 电容元件库伏特性 电容元件也简称为电容，所以电容这术语及其代表符号C，既表示电容元件，又表示电容元件的参数电容量。 当作用于电容器的电压变动时，电容器极板上的电荷也随之变动，联接电容的导线中就会有电流通过，若电压与电流取关联参考方向时，则 tuCidd为电容元件上电压与电流的伏安关系式电容元件上的电压与电流的另种关

8、系式为 ttttiCutiCtiCtiCu000d1)0(d1d1d1式中 体现了起始时刻t=0之前电流对电容电压的全部贡献，称为电容元件的初始电压或初始状态。而 体现了从t=0到时间t电流的贡献。若 ，则0d1)0(tiCuttiC0d10)0(uttiCu0d1 电容电流是指与电容极板相联接的导线中的传导电流，它是不能通过电容器极间的绝缘介质的，但这并不违背电流的连续性。因为根据电磁场理论，当电场变动时，在介质中要产生位移电流。可以证明：这个位移电流恰好等于联接导线中的传导电流，从而保证了电流的连续性。 由于我们只分析理想电容元件，不考虑电容器内部的漏电损耗和极化损耗，所以充电过程中电源所

9、做的功全部储存在电容器的电场之中。当电容器的电压与电流取关联参考方向，则电容C在某瞬间吸收的功率为 uip 从t0到t电容吸收的能量为 02201( )d( )( )2ttW tp tC utut如果u(t0)=0，即电容从零电压开始充电到u(t)，则在时刻t所储存的能量为)(21)(2tCutW上式说明，电容元件是种储能元件，某时刻t的储能只取决于电容C及这时刻的电容电压，并与其上电压的平方成正比。当电压的绝对值增加时，电容从外界吸收能量，储存于电场中；电压的绝对值减小时，电容向外界释放储存于其电场的能量，可见电容元件并不消耗能量。同时，电容元件在任何时刻不可能释放出多于它吸收的能量，因此，

10、它是种无源元件。 使用实际的电容器，当电容量不够时，可将几个电容器并联使用。图3.8(a)所示是两个电容器并联。21221121CCuuCuCuqquqCCCCCC两个并联的电容看成是个等效电容C，如图3.8(b)所示。当n个电容并联，则等效电容为nkkCC1（a） （b）图3.8 电容的并联 若单个电容耐压不够，可以将几个电容串联使用。图3.9(a)是两个电容器的串联，根据电荷守恒原理和KVL 有qCCuuuCCC212111把两个串联的电容看成个等效电容C，如图3.9(b)所示 12111CCC当n个电容串联，则等效电容为nkkCC111（a） （b）图3.9 电容的串联N21图3.10

11、实际电感器及电感元件的符号 式中 分别为与对应线匝相交链的磁通。如果线圈绕制得很紧密，穿过线圈各匝的磁通近似为相等的，即N21、N21则磁链为 N 电感线圈是种储存磁场能量的电路器件，如果线圈的电阻和匝间电容都很小，消耗的能量和电场储存的能量可以忽略不计，这时实际的电感线圈可用种理想电路元件电感元件作为它的电路模型，其电路图形符号如图3.10（b）所示。电感元件表征实际电感线圈的磁场特性。 如果规定电流i的参考方向和磁链 的参考方向之间符合右手螺旋定则，即i、 的参考方向相关联(图3.10(a)，则电感元件的磁链 与元件中的电流i有以下关系Li 式中L定义为电感元件的电感，亦称自感，即iLL取

12、决于线圈的几何形状、尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能。 在国际(SI)单位制中，电感的主单位是亨利，记作亨(H)。常用的单位有毫亨和微亨，其换算关系为1毫亨(m H)=103亨(H) 1微亨(H)=106亨(H)当线圈附近没有铁磁材料时，电感L为常量，这种电感称做线性电感。如果在线圈中放入铁磁材料，则磁链 与电流i的比值不等于常量，这种电感称做非线性电感。 i在直角坐标系中，以电感元件的自感磁链 为纵坐标（或横坐标），电流i为横坐标（或纵坐标），对于系列的自感磁链和电流值可得到条代表自感磁链与电流之间的函数关系曲线，称做电感的韦安特性曲线，简称为韦安特性。线性电感的韦安特性是条通过坐标原点的

13、直线，如图3.11(a)所示。非线性电感的韦安特性是通过坐标原点的条曲线，如图3.11(b)所示。电感元件也简称为电感，所以电感这术语及其代表符号L，既表示电感元件，也表示电感元件的参数电感量。 在电感元件中电流i随时间变化时，磁通 、磁链 也随时间变化，在元件中产生感应电动势（亦称自感电动势）。这种现象称为电磁感应。感应电动势e的大小与磁链的变化率 成正比，感应电动势的方向由楞次定律判定（即感应电动势总是试图产生感应电流和磁通来阻碍（即反对）原磁通的变化）。tdd 如果选定感应电动势e的参考方向与磁链 的参考方向符合右手螺旋定则，即e与 的参考方向相关联，如图3.10(a)所示，则根据法拉第

14、电磁感应定律得 tiLtedddd 由感应电动势而使电感元件两端具有的电压称为感应电压(亦称自感电压)，用u表示。如果选取电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋定则，这时u、e和i参考方向相同，如图3.10(a)、(b)所示。如1、2节所述，u为电位降，e为电位升，u与e的参考方向相同时，u=-etiLtudddd所以 为电感元件上电压与电流的伏安关系式。它表明，电感元件任时刻的电压不是决定于此时刻的电流值，而是决定于这时刻电流的变化率，故称电感元件为动态元件。电流变化越快，电感电压越大；电流变化越慢，电感电压越小；当电流不随时间变化时，电感电压等于零，这时电感元件相当于短路。 ttttu

15、LituLtuLtuLi000d1)0(d1d1d1将上式两边积分，便可得出电感元件上的电压与电流的另种关系式，即式中 体现了起始时刻t=0之前电压对电感电流的全部贡献，称为电感元件的初始电流或初始状态。而 体现了从t=0到时间t电压的贡献。若 ，则0d1)0(tuLittuL0d10)0(ittuLi0d1 当电感中的电流与两端电压取关联参考方向时，则电感在某瞬间吸收的功率为uip 从t0到t电感吸收的能量为02201( )d( )( )2ttW tp tL itit如果i(t0)=0，即电感从电流为零值开始充磁到i(t)，则在时刻t所储存的能量为 )(21)(2tLitW上式说明，电感元件

16、也是种储能元件，某时刻t的储能只取决于电感L及这时刻的电感的电流值，并与其中电流的平方成正比。当电流的绝对值增加时，电感从外界吸收能量，储存于磁场中；电流的绝对值减小时，电感向外界释放储存于其磁场的能量。可见，电感元件并不消耗能量。同时，电感元件在任何时刻不可能释放出多于它吸收的能量，因此，它也是种无源元件。式中A为复数。a、b为实数，a称为A的实部，b称为A的虚部，j= 称为虚数单位，数学上用i表示，电工中为了与电流i相区别而改用j来表示。复数的代数形式便于对复数进行加、减运算。1 sincostanarg22AbAaabbaA图3.14 复数的矢量表示法 复数A又可用三角形式表示，即 si

17、njcossinjcosAAAA根据欧拉公式，复数又可表示为指数形式，即 jsinjcoseAAA在电工中常把复数写成极坐标形式，即 AA复数的指数形式或极坐标形式便于对复数进行乘、除运算。 应用以上各式可以对复数的代数形式和极坐标形式进行相互转换。要注意的是，在计算辐角时，必须根据复数的实部和虚部的正负符号，判断 角所在象限，并统取绝对值小于的辐角。 两个复数相等时，其实部和实部，虚部和虚部应分别相等，或者说模和模、辐角和辐角分别相等。如果两个复数的实部相等而虚部等值异号，则这两个复数互为共轭复数。两个共轭复数的模相等，辐角互为相反数。 设 A1=a1+jb1 A2=a2+jb2则 A1A2

18、=(a1a2)+j(b1b2)复数的加减运算也可用几何作图法平行四边形法和三角形法。图3.15(a)、(c)分别表示求A1+A2和A1-A2的平行四边形法，图3.15(b)、(d)分别表示求A1+A2和A1-A2的三角形法 图3.15 复数的加减运算（a） （b） （c） （d） 111 AA222 AA设2121221121AAAAAA则1111122222AAA-AAA用代数形式也可进行复数的乘除运算，例如A1A2=(a1+jb1)(a2+jb2)=(a1a2b1b2)+j(a1b2+a2b1)，这里利用了j2= 1的关系。有时我们还需用到j3= j 、j4=1等关系。但在般情况下用指数形

19、式较简便，因此在复数四则运算中，常需进行复数形式的转换。 复数 对应于具有单位长度的矢量，其模为1，辐角为 。个复数乘以 ，就相当于把表示这个复数的矢量逆时针方向旋转 角，因此复数 称为旋转因子。例如当 =90， ，即j为90的旋转因子，如图3.16所示。1jejejej90je图3.16 j旋转因子 由于在正弦电流电路中，所有响应都是与激励同频率的正弦量，所以在分析正弦电流电路时，只要计算电路各处响应的有效值（或振幅）和初相位就可以了。个复数可以同时表达个正弦量的有效值（或振幅）和初相位，相量表示法就是用复数表示正弦量的方法。 imtItisin)(它由角频率、振幅（有效值）和初相位三个要素

20、决定，因此只要能表达它的三个要素，那么这个正弦量就被确定地表示出来了。 为了便于说明相量法，这里构造个复指数函数 。根据欧拉公式，它可以写作 )( jitmeI。 )sin(j)cos()( jimimtmtItIeIi比较上两式可知，正弦电流i(t)恰好是复指数函数 的虚部，可记为)( jitmeI)( jIm)sin()(itmimeItIti式中是Im取虚部的符号。上式表明，复指数函数 与正弦电流具有对应的关系，可用以表示正弦电流。图3.17可以清楚地看出该式的几何意义。 )( jitmeI图3.17 旋转矢量与正弦波有对应关系 由于正弦电流电路中各正弦量都具有相同的角频率 ，所以在每个

21、表示正弦量的旋转矢量中均含有相同的旋转因子 。因此，在 中可以略去 ，即可以只用 表示正弦电流(或者说，用t=0时的旋转矢量来表示正弦电流i)。 是个能反映正弦量的振幅和初相位的复数，称为正弦电流的振幅相量，并用下列极坐标形式表示tej)( jitmeItejieImjieImjimmmIeIIij类似地，正弦电流的有效值相量为 2jmiIIIeIi表示正弦量的相量用上面带小圆点的大写字母表示，如 、 等是为了与普通的复数相区别，这种记法的目的是强调它是正弦量的代表，但在运算过程中与普通的复数并无区别。mII则在电阻元件两端产生的电压降为u。当取电流i、电压u参考方向为关联参考方向，如图3.2

22、0(a)所示，则在任瞬间由欧姆定律得 imtIisin图3.20电阻元件的交流电路、相量模型、电压与电流波形图、相量图及瞬时功率波形图 sin()sin()mumuuRiRItUt其中 iummmRIUURIU2或电压u是与电流i同频率的正弦量，其最大值为RIm，而且，其相位也与电流相位相同，即电压、电流同时达到最大值或零值，如图3.20(c)所示。 若用相量表示，则 iuRIUIRU电阻中电压、电流的相量关系仍服从欧姆定律。其相量图如图3.20(d)。 瞬时功率的单位仍是瓦特。 1-cos(22) upuiUIt 瞬时功率由两部分组成。前部分是常量UI，它与时间无关；后部分是正弦量UIcos

23、(2t+2 )，它的频率是正弦电流（或电压）频率的2倍，如图3.20(e)所示。由于电压和电流同相位，所以电压、电流同时为零，及同时达到最大值。电压、电流为零时，瞬时功率也为零；电压、电流达最大值时，瞬时功率也达最大值。而且，在电压、电流均为负值时，瞬时功率也是正，由于任何瞬间，恒有p0，所以，电阻是耗能元件。 u瞬时功率在周期内的平均值，称平均功率，用大写字母P表示，即000002211dd1cos(22) d11dcos 22dTTTuTTuPp tui tTTUIUIttTUI tUIttTTUII RU G图3.21电感元件的交流电路图、相量模型、电压与电流波形图、相量图及瞬时功率波形

24、图在时域中，当通过电感元件的正弦电流为 时，则在电感元件两端感应出的电压为u。若设电流i、电压u的参考方向为关联参考方向，如图3.21(a)所示，则由电感元件的电压与电流关系得 sin()miiIt= sin(+ )2sin( )mimudiuLLItdtUt 其中2iummLIULIU或 由上式知，电感电压u是与电流i同频率的正弦量，其最大值为UmLIm，其相位则超前于电流 或90，也就是说，电压u到达最大值和通过零值都比电流i早 周期。这是因为决定电感电压u的不是电流i，而是电流i对时间t的导数，即 ，所以电压与电流之间才有相位差存在。其波形如图3.21(c)所示。 241tidd式中XL

25、称为电感元件的感抗，具有阻止电流通过的性质。当L的单位为亨利，f的单位为赫兹时，XL的单位为欧姆。当L定时，XL随频率f增大而增大，所以在高频电流作用时，电感线圈有扼流作用。当f时，感抗相当于开路；当f=0（即直流）时感抗相当于短路。因此，可以得出电感元件具有“阻交流、通直流”或“阻高频、通低频”的特性。电压与电流的最大值或有效值之比为=2mmUULXLfLII感抗的倒数称为感纳，用BL表示，即111=2LLBXLfL单位为西门子（S）。 值得指出，感抗只能代表电压与电流最大值或有效值之比，不代表它们的瞬时值之比。而且感抗只对正弦交流电才有意义。 电感中电流与电压的关系表达成相量形式有 ULI

26、LIUILUiu1j2j或其相量图如图3.21(d)所示。 电感L吸收的瞬时功率为 p sin(22)iuiUIt电感储存磁场能量为 2211= 1-cos(22)22LiWLiLIt 由上式知，瞬时功率是个正弦波，其最大值为UI，频率为电流或电压频率的两倍。而且在第个1/4周期内电流由零开始上升到最大值，由于此期间电流、电压的实际方向相同，瞬时功率p为正值，表示电感在吸收能量，并把吸收的能量转化为磁场能量。所以磁场能量WL由零上升到最大值。当电流达到最大值时，由于电压为零，瞬时功率为零。在第二个1/4周期内，电流由最大值逐渐减小到零，由于电流、电压的实际方向相反，瞬时功率p为负值，表示电感在

27、发出功率，原先储存在磁场中的能量逐渐释放直到全部放完。以后过程与前相似，如图3.21(e)所示。电感元件是储能元件，它并不消耗功率，即它的平均功率为零。 0011dsin 22d0TTiPp tUIttTT但它的瞬时功率却不为零。工程上常把它的瞬时功率的最大值称为无功功率。即22LLLUQUII XX 表示外部能量转换为磁场能量的最大速率。 图3.23电容元件的交流电路图、相量模型、电压与电流波形图、相量图及瞬时功率波形图 在时域中，当作用于电容元件两端的正弦电压为sin( )muuUt时，则在电容中通过的电流为i。若设电流i、电压u的参考方向为关联参考方向，如图3.23(a)所示，则由电容元

28、件的电压与电流关系得sin(+)sin()2mumiduiCCUtItdt 其中 2uimmCUICUI或2由上式可知，通过电容的电流i是与电压u同频率的正弦量，其最大值为ImCUm。其相位超前于电压或90(或电压滞后于电流2因为，决定电容电流i的不是电压u，u对时间t的导数，即tudd，所以电流与电压之间)。这是而是电压才有相位差存在。其波形如图3.23(c)所示。电压与电流的最大值或有效值之比为112mCmUUXIICfC式中XC称为电容元件的容抗，具有阻止电流通过的性质。当C的单位为法拉，f的单位为赫兹，XC的单位是欧姆。当C定时，XC随频率f的增大而减小。当f时，容抗相当于短路；当f=

29、0（即直流）时，容抗相当于开路。因此，可以得出电容元件具有“通交流、阻直流”或“通高频、阻低频”的特性。容抗的倒数称为容纳，用BC表示，即12CCBCfCX 单位是西门子（S）。 值得指出，容抗只能代表电压与电流最大值或有效值之比，不能代表瞬时值之比。而且，容抗只对正弦交流电才有意义。电容中电流与电压的关系表达成相量形式有 ICUCUIUCIui1j2j或其相量图如图3.23(d)所示。 电容C吸收的瞬时功率为 sin(22)upuiUIt电容储存的电场能量为 22111-cos(22)22CuWCuCUt 由上式知，瞬时功率是个正弦波，其最大值为UI，频率为电压或电流频率的两倍，而且在第个1

30、/4周期内，电压由零开始上升到最大值，由于此期间电压、电流的实际方向相同，瞬时功率p为正值，表示电容在吸收能量，并把吸收的能量转化成电场能量。所以电场能量WC由零上升到最大值。当电压达到最大值时，由于电流为零，瞬时功率为零。在第二个1/4周期内，电压由最大值逐渐减小到零，由于电压、电流的实际方向相反，瞬时功率为负值，表示电容在发出功率，原先储存在电场中的能量逐渐释放直到全部放完。以后过程与前面类似，如图3.23(e)所示。 电容元件是储能元件，它并不消耗功率，即它的平均功率为零。0011dsin 22d0TTuPp tUIttTT电容瞬时功率的最大值 22=CCCUQUII XX 称为无功功率

31、，它代表外部能量转化为电场能量的最大速率。在SI制中其主单位为无功伏安，记作乏(var)。应用KCL时，般对参考方向流出节点的电流相量取正号，反之取负号。01nkkI基尔霍夫电流定律(KCL)的相量表达式 01nkkU基尔霍夫电压定律(KVL)的相量形式为 图3.28 RLC串联交流电路 假设通过它的电流为 itIisin2各电压、电流取关联参考方向，由KVL和VCR得 1jj1jjjjjRLCLCUUUURILIICRLIRXXIRX IC设Z= R+jX，则IZU称为欧姆定律的相量形式，式中复数Z称为复阻抗，它等于电压相量除以对应端点的电流相量。 复阻抗的实部就是电路的电阻R；复阻抗的虚部

32、 CLXXX是电路中感抗与容抗之差，称电抗。感抗和容抗总是正的，而电抗为代数量，可正可负。电路可用阻抗Z来等效，如图3.28(c)所示。 复阻抗也可以表达成指数形式、极坐标形式和三角形式，如 sinjcosjZZZeZZ式中22221XRCLRZ是复阻抗的模，称为RCLRX1arctanarctan阻抗的辐角，称为阻抗角，可正可负，视X的正负而定。显然Z和R、X的单位相同，都是。由上两式知，复阻抗的模Z与其实部R和虚部X构成个直角三角形，称为阻抗阻抗模，总是正值。是复三角形，如图3.29所示。图3.29 RLC串联电路的阻抗三角形 由于电抗CLXXXCL1与频率有关，因此，在不同的频率下，RL

33、C串联电路有不同的性质，下面分别进行说明。 1. 当 时，X0， ，电压 超前电流 ，电路中电感的作用大于电容的作用，这时电路呈现电感性。电路阻抗可以等效成电阻与电感串联的电路。CL10UI2.当 时，X=0， ，电压 与电流 同相，电路中电感的作用与电容的作用相互抵消，这时电路呈现电阻性。电路阻抗等效成电阻R。3.当 时，XXC，ULUC时，电压 等于三个电压相量之和，画出相量图，如图3.30(a)所示。由图可知，电压 超前电流 ，超前的角度即 。2. 当XL=XC，UL=UC时，电压 的模等于电阻上电压 的模，即U=UR，而且 与电流 同相。相量图如图3.30(b)所示。这种情况称为RLC

34、串联电路发生串联谐振，亦称为电压谐振。3. 当XLXC，UL0， ，电流 超前电压 ，电路中电容的作用大于电感的作用，这时电路呈现电容性。电路导纳可以等效成电阻与电容并联的电路。LC10IU2. 当 时，B=0， ，电流 与电压 同相，电路中电感的作用与电容的作用相互抵消，这时电路呈现电阻性。电路导纳可等效成电导G。3. 当 时，BBC时，ICIL ，电流 等于三个电流相量之和，画出相量图，如图3.35(a)所示。由图可知，电流 超前电压 ，超前的角度即 。2. 当BL=BC时，IC=IL ，电流 的模等于电导上电流 的模，即I=IG，而且与电压 同相。相量图如图3.35(b)所示。这种情况称

35、为RLC并联电路发生并联谐振，亦称为电流谐振。IIGIUUI3. 当 时， ，电流 等于三个电流相量之和，画出相量图，如图3.35(c)所示。由图可见，此时电流 滞后电压 ，滞后的角度即 。LCBBLCIIIU在相量图中不难看出，电流相量 、 、 可以组成个直角三角形，称为电流三角形，如图3.35(d)所示。 IGIBII这说明并联电路端电流的有效值并不等于各并联元件上电流有效值直接相加。各电流有效值之间存在的关系为 GBBGIIIIIarctan22比较图3.34与图3.35(d)，可以看出，同电路的导纳三角形与电流三角形是相似的，因为将导纳三角形的每边乘以U，即得电流三角形。 由于这两种等

36、效电路有相同的伏安关系(VCR)，即 和 ，显然有ZY=1，利用这关系可进行两种等效电路参数的互换。IUZUIYBGXRXXRRXRZYjjj112222若已知负载的等效阻抗Z=R+jX,则它的等导纳为2222XRXBXRRG即同理，若已知负载的等效导纳Y=G+jB，则它的等效阻抗为 XRBGBBGGBGYZjjj1122222222BGBXBGGR即上两式就是负载串联电路与并联电路等效互换的条件 从以上两式看出：等效电导G，并不等于电阻R的倒数，并且还与电抗及频率有关；等效电纳B，也不是电抗X的倒数，并且也与电阻R及频率有关。这就是说，按某频率由上两式算出的等效参数，只有在该频率电源作用下才

37、是正确的。还应注意B与X的符号总是相反的。图3.39 实际电阻器的电路模型 图3.40 实际电感器的电路模型 图3.41 实际电容器的电路模型及其相量图 图3.42 两阻抗串联及等效电路 根据基尔霍夫电压定律可以写出它的相量表示式 IZZIZIZUUU212121 两个串联阻抗可用个等效阻抗Z来代替，在同样电压的作用下，电路中电流的有效值和相位保持不变。即IZU式中Z=Z1+Z2，称为串联电路的等效阻抗。等效电路如图3.42(b)所示。 同理可得，对于n个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗为 12nZZZZ阻抗的串联存在分压关系。当两个阻抗Z1和Z2串联时，两个阻抗的电压分配为 UZZZUUZZZ

38、U21222111式中U是总电压，1U、2U分别为Z1和Z2上的电压。图3.45 两阻抗并联及等效电路 根据基尔霍夫电流定律可以写出它的相量表示式21212111ZZUZUZUIII两个并联阻抗可用个等效阻抗Z来代替，在同样电压的作用下，电路中电流的有效值和相位保持不变。即 ZUI式中21111ZZZ，即2121ZZZZZ，Z称为并联电路的等效阻抗。等效电路如图3.45(b)所示。 同理可得，对于n个阻抗并联而成的电路，其等效阻抗为 12nYYYY或12n1111ZZZZ阻抗的并联存在分流关系。当两个阻抗Z1和Z2并联时，两个阻抗的电流分配为 IZZZIIZZZI21122121式中I是总电流

39、，1I、2I分别为Z1和Z2上的电流。 例3.25 图3.48(a)示测量电感线圈的参数R和L的电路。若已知三个电压表的读数分别为U=149V，U1=50V，U2=121V，且R1=5 ，f1=50Hz。求线圈的参数。（a） （b）图3.48 例3.25电路及相量图解：由相量图应用余弦定理计算 418. 0121502149121502cos2222122221UUUUU线圈的阻抗角3 .657 .1141807 .114电路中电流 1055011RUIA 2cos5.06URI电阻2sin35mH22LXULfIf电感 （1）选择个参考相量。对于串联电路，选电流为参考相量；对于并联电路，选电

40、压为参考相量；对于混联电路，可根据已知条件选定电路内部某并联部分电压或某串联部分电流为参考相量；对较复杂的混联电路，常选末端电压或电流为参考相量。用相量图求解正弦电流电路的方法大体归纳如下： （3）根据题给的条件，把所给的电气条件转化成相量图中的几何关系，准确地得出电路的相量图，最后根据相量图中的相量关系，利用三角函数定律及几何知识进行求解。（2）以参考相量为基准，根据电路的具体结构及参数，利用R、L、C元件VCR和KCL、KVL的相量形式定性地画出电路的电压、电流相量图。要注意KCL和KVL的相量形式反映在相量图上应为闭合的三角形或多边形。设二端网络的端电压和端口电流的参考方向如图3.50(a)所示。为简便起见，设电流为参考正弦量，即 ，电压超前于电流的相角为 ，即该无源二端网络的等效阻抗的阻抗角，则0iuiutIisin2utUusin2该网络吸收的瞬时功率为 2sinsincoscos 2coscos 2upuiUIttUItUIUIt式中 为恒定分量，它与时间无关为常量； 为正弦分量，它的频率是电流或电压频率的两倍，其波形图如图3.50(b)所示。 cosUItUI2cos图3.50 无源二端网络及p、 i、 u波形图 为了便于说明二端网络的有功功率和无功功率，由前式可得 tUItUIp2sinsin2cos1co