河科大振动力学第四章

1、2021年12月12日振动力学24.1 广义坐标4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式4.3 线性变换和坐标耦合4.4 无阻尼自由振动，特征值问题4.5 模态向量的正交性和展开定理4.6 系统对初始激励的响应多自由度系统振动的基本知识多自由度系统振动的基本知识2021年12月12日振动力学3先看一个例子先看一个例子 图示双摆，质量图示双摆，质量m1， m2在平面摆动。在平面摆动。可以取四个直角坐标可以取四个直角坐标 因此，只有两个坐标独立。因此，只有两个坐标独立。4.1 广义坐标广义坐标4.1 4.1 广义坐标广义坐标),(11yxL1L2xy12),(22yxm1m2),(11yx),(2

2、2yx来描述系统的运动。来描述系统的运动。但这四个直角坐标不独立，有：但这四个直角坐标不独立，有：212121Lyx=+22212212)-()-(Lyyxx=+能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。本例中，可选本例中，可选 作为广义坐标。作为广义坐标。),(21xx本例中，也可选本例中，也可选 作为广义坐标。作为广义坐标。),(212021年12月12日振动力学44.1 广义坐标4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式4.3 线性变换和坐标耦合4.4 无阻尼自由振动，特征值问题4.5 模态向量的正交性和展开定理4.6 系统对初始激励的

3、响应多自由度系统振动的基本知识多自由度系统振动的基本知识2021年12月12日振动力学5图示图示n自由度系统，取静平衡位置为原点，运动方程为：自由度系统，取静平衡位置为原点，运动方程为：4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式x1x2x3m1m2m3m1m2k2k3mnk1kncnc1m2c2c3xn其中，其中，m，c，k为为n维矩阵，分别为质量矩阵，阻尼矩维矩阵，分别为质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵。阵和刚度矩阵。0=+xkxcxm 其中，刚度矩阵为：其中，刚度矩阵为：111121221. .jnjnnnjnnkkkkkkkkkk4.2 4.2 线性系统的运动方

4、程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式2021年12月12日振动力学64.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式10(1,2., ,)jijirqkQqrn rj例如例如 m11Q11k 21k 11112kQkkm1m2m3m1m2k2k3mnk1kncnc1m2c2c32122kQk m22Q21k 2021年12月12日振动力学74.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式例如：例如：iikm1m2m3m1m2k2k3mnk1kncnc1m2c2c3im1.刚度矩阵的主对角线元素刚度矩阵的主对角线元素 为联结在质量为联结

5、在质量 上的所有弹上的所有弹簧刚性系数之和。簧刚性系数之和。1112kkk2223kkk2.刚度矩阵的非主对角线元素刚度矩阵的非主对角线元素 为直接联结在质量为直接联结在质量 上和上和质量质量 上的所有弹簧刚性系数之和，取负值。上的所有弹簧刚性系数之和，取负值。ijkimjm例如：例如：130k122kk 3.刚度矩阵为对称矩阵。刚度矩阵为对称矩阵。例如：例如：1221kk2021年12月12日振动力学84.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式例如：例如：m1m2m3m1m2k2k3mnk1kncnc1m2c2c34.阻尼矩阵和刚度矩阵规律相同。阻尼矩阵和刚度矩

6、阵规律相同。2223ccc233cc 5.取系统质心为坐标原点，则质量矩阵为对角矩阵。取系统质心为坐标原点，则质量矩阵为对角矩阵。例如：例如：123 . nmmmmm2021年12月12日振动力学9例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式2021年12月12日振动力学10直接写出矩阵形式的运动微分方程：直接写出矩阵形式的运动微分方程：m1m

7、2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式 ( )mxkxP t其中，质量矩阵为：其中，质量矩阵为：12 0 0 mmm位移向量为：位移向量为：12( ) ( )x txx t2021年12月12日振动力学11m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式刚度矩阵为：刚度矩阵为：122223 kkkkkkk激励向量为：激励向量为：12( ) ( )( )P tP tP t2021年12月12日振动力学12例例2： 直接写出图示系统的刚度矩阵。直接写出

8、图示系统的刚度矩阵。 1222233330 0kkkkkkkkkkm1m2k1k2m3k3x1x2x34.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式解：解： 系统的刚度矩阵为：系统的刚度矩阵为： 2021年12月12日振动力学13例例3： 直接写出图示系统的质量矩阵、刚度矩阵及运动方程。直接写出图示系统的质量矩阵、刚度矩阵及运动方程。 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式解：解： 系统的质量矩阵为：系统的质量矩阵为： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)123 0 0 0 00 0 mmmm2021年1

9、2月12日振动力学144.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式系统的刚度矩阵为：系统的刚度矩阵为： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)1222235633340 0kkkkkkkkkkkkk 2021年12月12日振动力学154.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式线性系统的运动方程及其矩阵表达式系统的运动方程为：系统的运动方程为： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t) )()()(00000000321321433365322221321321tPtPtPxxxkkkkkkkkkkkkxxxmmm

10、矩阵形式为：矩阵形式为： ( )mxkxP t2021年12月12日振动力学164.1 广义坐标4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式4.3 线性变换和坐标耦合4.4 无阻尼自由振动，特征值问题4.5 模态向量的正交性和展开定理4.6 系统对初始激励的响应多自由度系统振动的基本知识多自由度系统振动的基本知识2021年12月12日振动力学174.3 线性变换与坐标耦合线性变换与坐标耦合对于无阻尼系统的运动方程对于无阻尼系统的运动方程12 ,.,Tn 为为nxn常数矩阵，则有常数矩阵，则有: ( )mxkxP t4.3 4.3 线性变换与坐标耦合线性变换与坐标耦合可以通过线性变换，将广义坐标转变

11、为自然坐标。可以通过线性变换，将广义坐标转变为自然坐标。 为系统的另一组广义坐标，有：为系统的另一组广义坐标，有： ( ) ( )x tut u ( ) ( )x tut代入运动方程，则有代入运动方程，则有: ( )m uk uP t2021年12月12日振动力学184.3 线性变换与坐标耦合线性变换与坐标耦合左乘左乘 分别为广义坐标分别为广义坐标 下的质量矩阵、刚度矩阵及力向量。下的质量矩阵、刚度矩阵及力向量。 ( )TTTum uuk uuP t记记( ) ( )TN tuP t Tu ( )t则有则有: ( ) ( )( )MtKtN t TMum u TKuk u2021年12月12日

12、振动力学194.3 线性变换与坐标耦合线性变换与坐标耦合例：例： 广义坐标广义坐标 下的系统运动方程为下的系统运动方程为2221122222 0 000 mLmgLkakamLkamgLka 1 1 ( ) ( )1 1tt ( )t若有线性变换若有线性变换: 计算变换以后的质量矩阵和刚度矩阵。计算变换以后的质量矩阵和刚度矩阵。 解：解： 22 0 0 mLmmL2222 mgLkakakkamgLka2021年12月12日振动力学204.3 线性变换与坐标耦合线性变换与坐标耦合则则: 1 1 1 1u1 1 1 1Tu222 0 0 2TmLMum umL2 0 0 2TmgLKuk umg

13、L运动方程已解耦。运动方程已解耦。 2021年12月12日振动力学214.1 广义坐标4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式4.3 线性变换和坐标耦合4.4 无阻尼自由振动，特征值问题4.5 模态向量的正交性和展开定理4.6 系统对初始激励的响应多自由度系统振动的基本知识多自由度系统振动的基本知识2021年12月12日振动力学224.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼系统的运动方程：无阻尼系统的运动方程：11( )( )0 1,2.,nnijjijjjjm x tk x tin设其有同步解设其有同步解: ( ) ( )0mx tkx t4.4 4.4 阻尼自由振动

14、，特征值问题阻尼自由振动，特征值问题一般形式为：一般形式为：( )( ) 1,2.,jjx tu f tjn其中，其中， 是一组常数。是一组常数。(1,2., )jujn同步振动：同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动间变化的规律都相同的运动 即为同步振动即为同步振动: ( )=const , 1,2.,( )jjiix tui jnx tu2021年12月12日振动力学234.4无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题同步振动：同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时系统在各个坐标上除了运

15、动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动间变化的规律都相同的运动 振动形式振动形式1振动形式振动形式2振动形式振动形式3三自由度系统三自由度系统2021年12月12日振动力学244.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题11( )( )0 1,2.,nnijjijjjjf tm uf tk uin将同步解代入运动方程将同步解代入运动方程: 则有：则有：211( ) (1,2., )( )nijjjnijjjk uf tinf tm ut 的函数的函数与与t 无关无关2( )( )0f tf t1()0 (1,2., )nijijjjkm uin2021年12月12日振动力

16、学254.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题对于方程对于方程: 本式称为系统的频率方程，该行列式叫特征行列式。本式称为系统的频率方程，该行列式叫特征行列式。2( )( )0f tf t1()0 (1,2., )nijijjjkm uin其解为其解为: ( )cos()f tCt将方程将方程 写为矩阵形式：写为矩阵形式： 2 0kum u或：或： 2( ) 0kmu其有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零，即：其有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零，即： 22()0ijijkm2021年12月12日振动力学264.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问

17、题展开的频率方程为展开的频率方程为: 2221111121211222212122222222211220nnnnnnnnnnnnkmkmkmkmkmkmkmkmkmn 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立A 0若系统的质量矩阵和刚度矩阵正定，则有频率方程可解得若系统的质量矩阵和刚度矩阵正定，则有频率方程可解得 n个个正实根：正实根： 12.n最小的最小的 称为基频。称为基频。 1 称为第称为第i阶自然频率。阶自然频率。 i2021年12月12日振动力学274.4 无阻尼

18、自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题将特征根将特征根: 无阻尼自由振动的通解为：无阻尼自由振动的通解为：2rr自然频率自然频率 和模态向量和模态向量 构成第构成第r阶自然模态。阶自然模态。 ( )ru代入方程：代入方程： 2( ) 0kmu同步解可写为：同步解可写为：r可求得相应的可求得相应的 ，称为模态向量或振型向量。，称为模态向量或振型向量。 ( )ru( )( ) ( )cos()rrrrx tut( )( )11 ( ) ( )cos()nnrrrrrrrrx tCx tC ut2021年12月12日振动力学284.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题例例

19、: 求图示系统的自然频率。求图示系统的自然频率。解：系统的质量矩阵为解：系统的质量矩阵为m2kmmk2kkx1x2x300 0000mmmm 系统的刚度矩阵为系统的刚度矩阵为30 203kkkkkkkk 2021年12月12日振动力学294.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题系统的频率为系统的频率为22()0ijijkm即：即：222302003kmkkkmkkkm00 0000mmmm30 203kkkkkkkk 解得：解得：mk/1 mk/32. 12mk/232021年12月12日振动力学30例：两自由度弹簧质量系统例：两自由度弹簧质量系统m2m2kkkx1x2 4

20、.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题求：自然频率和模态向量。求：自然频率和模态向量。2021年12月12日振动力学31解：解：00322002121xxkkkkxxmm 动力学方程：动力学方程：222032kmkkkm频率方程：频率方程： m2m2kkkx1x24.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题22()0ijijkm解得：解得： mkmk581. 1,212021年12月12日振动力学32第一阶模态向量为：第一阶模态向量为：222032kmkkkm由频率方程：由频率方程： 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题12,1kum

21、有：有： 212(2)0kmuku当当 时，得时，得 (1)11u(1)11u 当当 221.581,1kum时，得时，得 (2)12u 第二阶模态向量为：第二阶模态向量为：(2)21u2021年12月12日振动力学33(1)11u 第一阶模态向量第一阶模态向量221u（ ）第二阶模态向量第二阶模态向量画图：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值 第一阶振型图第一阶振型图:114.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题m2m2kkkx1x2mk /1mk /581. 12两个质量以两个质量以1为振动频率，同时

22、经过各自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同同，而且每一时刻的位移量都相同 aa同向运动同向运动2021年12月12日振动力学34(1)11u 第一阶模态向量第一阶模态向量221u（ ）第二阶模态向量第二阶模态向量画图：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值 -214.3 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题m2m2kkkx1x2第二阶振型图第二阶振型图: mk /1mk /581. 12两个质量以两个质量以2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相为振动

23、频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍 异向运动异向运动 2aa2021年12月12日振动力学35例：三自由度弹簧质量系统例：三自由度弹簧质量系统2kmmmk2kkx1x2x34.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题求：自然频率和振型（模态向量）。求：自然频率和振型（模态向量）。2021年12月12日振动力学36解：解：动力学方程：动力学方程：00030203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm 222302003kmkkkmkkkm2kmmmk2kkx

24、1x2x34.3 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题频率方程：频率方程： 22()0ijijkm解得：解得： mkmkmk/2,/732. 1,/3212021年12月12日振动力学37有：有：取取222302003kmkkkmkkkm4.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题由频率方程：由频率方程： 可得模态向量：可得模态向量： 31u 212223(3)0(3)0kmukukukmu(1)121u (2)101u(3)111u 当：当： mkmkmk/2,/732. 1,/321第二阶模态有第二阶模态有 1 个节点，第三阶模态有个节点，第三阶模态有 2

25、个节点，这由主振型个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出内元素符号变号的次数可以判断出2021年12月12日振动力学38模态图形：模态图形：1121-11-11第一阶模态：第一阶模态：第二阶模态：第二阶模态：第三阶模态：第三阶模态：2kmmmk2kkx1x2x34.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点mk /23mk /732. 12mk /1(1)121u (2)101u(3)111u 2021年12月12日振动力学39单自由度系统单自由度系统4.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题2021年12月

26、12日振动力学40两自由度系统两自由度系统第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态一个节点一个节点无节点无节点节点位置节点位置4.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题2021年12月12日振动力学41第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态三自由度系统三自由度系统节点位置节点位置无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点4.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题2021年12月12日振动力学42第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态四自由度系统四自由度系统一个节点一个节点两个节点两个节点三个节

27、点三个节点节点位置节点位置无节点无节点4.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题2021年12月12日振动力学434.4 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题小结：小结： n自由度系统有自由度系统有n个固有频率和个固有频率和n个模态，由特征值方程个模态，由特征值方程求出求出 自然频率按自然频率按升序排列升序排列，最低阶自然频率称为，最低阶自然频率称为基频。基频。 模态的节点模态的节点 对于正定系统，可以通过对于正定系统，可以通过 特征方程求得相应的振型。特征方程求得相应的振型。22()0ijijkm2021年12月12日振动力学444.1 广义坐标4.2 线性

28、系统的运动方程及其矩阵表达式4.3 线性变换和坐标耦合4.4 无阻尼自由振动，特征值问题4.5 模态向量的正交性和展开定理4.6 系统对初始激励的响应多自由度系统振动的基本知识多自由度系统振动的基本知识2021年12月12日振动力学454.5 模态向量的正交性与展开定理模态向量的正交性与展开定理4.5 4.5 模态向量的正交性与展开定理模态向量的正交性与展开定理( )rru( )ssu两式相减：两式相减：( )2( )( )2( ) rrrssskum ukum u22( )( )() 0rTsijum uji ji若若 时，时， 均满足：均满足：第一式转置第一式转置( )sTu左乘左乘( )

29、rTu左乘左乘 正交性正交性( )( )2( )( ) sTrsTrrukuum u( )( )2( )( ) rTsrTsrukuum u( )( ) 0 ( ,1,2., ;)rTsum ur sn rs代回转置式，得代回转置式，得( )( ) 0 ( ,1,2., ;)rTsukur sn rs上面两式表明模态向量关于质量矩阵和刚度矩阵正交上面两式表明模态向量关于质量矩阵和刚度矩阵正交( )( )2( )( ) rTsrTssukuum u2021年12月12日振动力学464.5 模态向量的正交性与展开定理模态向量的正交性与展开定理 模态质量与模态刚度模态质量与模态刚度若系统质量矩阵和刚

30、度矩阵正定，记若系统质量矩阵和刚度矩阵正定，记( )( ) (1,2., )rTrrum uMrn( )( ) (1,2., )rTrrukuKrn 和和 称为第称为第r阶模态质量和模态刚度。阶模态质量和模态刚度。rMrK( )2( ) rrrkum u对于对于左乘左乘( )rTu( )( )2( )( ) rTrrTrrukuum u2rrrKM则则2 (1,2., )rrrKrnM2021年12月12日振动力学474.5 模态向量的正交性与展开定理模态向量的正交性与展开定理 正规化正规化模态向量模态向量 可正规化：可正规化：不引起混淆的情况下，正规化后的模态向量仍然记为不引起混淆的情况下，

31、正规化后的模态向量仍然记为( )ru正规化后有：正规化后有：( )( ) 1rTrum u( )ru( )( )1 rrruuM( )ru( )( )2 rTrruku模态向量的正交性和正规化条件可表示为：模态向量的正交性和正规化条件可表示为：( )( ) rTsrsum u( )( )2 (r,s=1,2.,n)rTsrsruku 其中：其中：1 () ( ,1,2., )0 ()rsrsr snrs2021年12月12日振动力学484.5 模态向量的正交性与展开定理模态向量的正交性与展开定理 模态矩阵模态矩阵n模态向量模态向量 构成的构成的nxn矩阵为模态矩阵矩阵为模态矩阵( )ru(1)

32、(2)( ) ,.,nuuuu 1Tum u 模态向量的正规化条件也可表示为矩阵形式：模态向量的正规化条件也可表示为矩阵形式：其中：其中： u212222 . rn特征值问题可表示为：特征值问题可表示为：2 Truk u2 rk um u2021年12月12日振动力学494.5 模态向量的正交性与展开定理模态向量的正交性与展开定理 坐标基坐标基n维线性空间中任一时刻的位形向量维线性空间中任一时刻的位形向量u可写成模态向量的可写成模态向量的组合：组合：左乘左乘由正交性可得：由正交性可得：(1)(2)( ),nuuu模态向量模态向量相互正交相互正交 可以表明它们是线性独立的，可用于构成可以表明它们

33、是线性独立的，可用于构成 n 维空间的基维空间的基 。 展开定理展开定理(1)(2)( )12 nnuc ucucu( ) rTum( )( )( )1 nrTrTiiiumuc um u( ) rTrcumu以上两式即为展开定理。以上两式即为展开定理。展开定理表明位形向量可唯一的表示为各模态向量的线性组合展开定理表明位形向量可唯一的表示为各模态向量的线性组合（正规化的模态向量）（正规化的模态向量）2021年12月12日振动力学504.5 模态向量的正交性与展开定理模态向量的正交性与展开定理 系统的通解系统的通解任一时刻任一时刻不失一般性，有不失一般性，有展开定理展开定理(1)(2)( )12

34、 nnuc ucucu( )111 ( )( )nrrrx ttu( ) rTrcumu1 ( )x t的位形向量的位形向量1t( )11( ) ( )rTrtumx t( )1 ( )( )nrrrx ttu( )( ) ( )rTrtumx t记记12 ( )( ),( ),.,( )Tntttt则则 ( ) ( )x tut其中其中u是模态矩阵。是模态矩阵。2021年12月12日振动力学514.5 模态向量的正交性与展开定理模态向量的正交性与展开定理代入运动方程代入运动方程 ( ) ( )0mx tkx t Tu得得将将 ( ) ( )x tut其解为：其解为： ( ) ( )0m ut

35、kut左乘左乘 ( ) ( )0TTum utukut2 ( ) ( )0 rtt1 模态向量必须正规化模态向量必须正规化。2( )( )0 (1,2,., )rrrttrn ( )cos() (1,2,., )rrrrtCrn振动方程的通解为：振动方程的通解为：( )1 ( )cos() nrrrrrx tCu提示提示 ( )t2 就是自然坐标。就是自然坐标。2021年12月12日振动力学524.1 广义坐标4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式4.3 线性变换和坐标耦合4.4 无阻尼自由振动，特征值问题4.5 模态向量的正交性和展开定理4.6 系统对初始激励的响应多自由度系统振动的基本知

36、识多自由度系统振动的基本知识2021年12月12日振动力学534.6 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应4.6 4.6 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应无阻尼自由振动的通解：无阻尼自由振动的通解：本节采用模态分析的方法，将物理坐标转换为自然坐本节采用模态分析的方法，将物理坐标转换为自然坐标，可避免求解方程组。标，可避免求解方程组。( )1 ( )cos() nrrrrrx tC u有初始条件：有初始条件： (0) oxx (0) oxx代入通解，联立代入通解，联立2n个方程，可求得常数个方程，可求得常数rCr2021年12月12日振动力学544.6 系统对初始激励的响应系统对初始

37、激励的响应对于自然坐标对于自然坐标( )( ) ( ) rTrtumx t( )1 ( )cos() nrrrrrx tC u(4.6.1)( ) rt对于自然坐标的通解对于自然坐标的通解( )cos() (1,2,., )rrrrtCrn对于物理坐标的通解对于物理坐标的通解有初始条件有初始条件 (0) oxx (0) oxx代入（代入（4.6.2），做三角变换，可得），做三角变换，可得( )(0) rTroumx( )(0) rTroumx(4.6.2)代入（代入（4.6.1）可得自然坐标下的初始条件）可得自然坐标下的初始条件( )cos rTrroCumx( )1sin rTrrorCum

38、x(4.6.3)代入三角变换的（代入三角变换的（4.6.3）式，可得对初始激励的响应）式，可得对初始激励的响应2021年12月12日振动力学554.6 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应( )( )( )11 ( ) cos sin nrTrTrororrrx tumxtumxtu提示：提示：计算过程中模态向量必须正规化计算过程中模态向量必须正规化例：图示三自由度系统，例：图示三自由度系统，1 k2 k3 k1 m2 m3 m12313 ,2 ,2 ,kk kk kk mm231.5 ,mm mm，求系统对初始条件，求系统对初始条件12(0)1,(0)0,xx3123(0)0,(0)0,(0)0,(0)1xxxx的响应。的响应。2021年12月12日振动力学564.6 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应1）求系统的自然频率）求系统的自然频率1 k2 k3 k1 m2 m3 m2 1.5 mmmm系统频率方程为：系统频率方程为：质量矩阵为：质量矩阵为：刚度矩阵为：刚度矩阵为：5 2 0 2 3 0 kkkkkkkk 222252 2 0()2 31.5 00 kmkkkmkkkm 解得：解得：10.592845/k m21.267517/k m31.882003/k