第12章动量矩定理

1、 动量定理描述了物体的运动和力之间的关系动量定理描述了物体的运动和力之间的关系, 但但并不完整并不完整. 在运用动量定理时在运用动量定理时, 不能求力偶或力矩不能求力偶或力矩,运动量也不能涉及角速度和角加速度运动量也不能涉及角速度和角加速度. 而动量矩定理描述了质点系或刚体的运动和力而动量矩定理描述了质点系或刚体的运动和力矩之间的关系矩之间的关系. 这两个定理一并可完整地描述外这两个定理一并可完整地描述外力系与受力体运动之间的定量关系力系与受力体运动之间的定量关系.12 1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1. 质点的动量矩质点的动量矩xyzrvmvmrvmMO )(:定义式定义式 k

2、yvxvmjxvzvmizvyvmxyzxyz kvmMjvmMivmMzyx vmMvmMvmMvmMvmMvmMzzOyyOxxO )vm(MOoxy)vm()vm(Mz zyxOmvmvmvzyxkjivmrvmM)(:表表达达式式在在直直角角坐坐标标系系下下的的分分量量2. 质点系的动量矩质点系的动量矩iin1iiiin1ioOvmr)vm(ML )(:,1 niiizZvmML如如影影式式注注意意相相应应的的坐坐标标轴轴的的投投 : 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 如图示我们有如图示我们有: z2i2ii2ii2iiiiiiizzJ)yx(mrmrmrvm)vm

3、(MLJZ : 刚体对刚体对z 轴的转动惯量轴的转动惯量.OzimiviryxO1: 平动刚体的动量矩平动刚体的动量矩 刚体平动时刚体平动时, 可将全部质量集中于质心可将全部质量集中于质心, 作为一个质点计算其对作为一个质点计算其对 某一点或某一轴的动量矩某一点或某一轴的动量矩. 1. 质点的动量矩定理质点的动量矩定理xyzovmF)vm(MOr)F(MO.)F(M)vm(Mdtd:Frvmvamr)vmr (dtd)vm(MdtdOOO影影式式注注意意相相应应的的坐坐标标轴轴的的投投即即为为 12 2 动量矩定理动量矩定理( 对固定点对固定点)2. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理设有一

4、个质点系设有一个质点系 mi i = 1、2、3任一个质点对同一固定点的动量矩定理是任一个质点对同一固定点的动量矩定理是: 请注意写出相应的直角坐标投影形式请注意写出相应的直角坐标投影形式 .).()(:)()()(:)()()()(11点点之之矩矩的的矢矢量量和和外外力力偶偶矩矩和和外外力力对对即即矢矢点点的的主主矩矩称称为为系系统统的的外外力力对对便便可可得得对对同同一一点点之之矩矩的的和和为为零零并并考考虑虑系系统统的的内内力力交交换换微微分分符符号号和和求求和和号号的的动动量量矩矩定定理理为为整整个个质质点点系系对对同同一一点点OOFMFMdtLdFMFMvmMdtdOFMFMvmMd

5、tdeiOnieinioOeiOiiOiiOeiOiiOiiO 3. 质点和质点系的动量矩守恒质点和质点系的动量矩守恒 (1) 全方位守恒全方位守恒: 对于所研究的力学系统对于所研究的力学系统, 如果外力系对某定点的主矩如果外力系对某定点的主矩(矢矢)为零为零 , 则系统对此定点的动量矩是常矢量则系统对此定点的动量矩是常矢量. (2) 对某一轴对某一轴(方向方向)守恒守恒: 对于所研究的力学系统对于所研究的力学系统 , 如果外力系对某定轴的主矩为零如果外力系对某定轴的主矩为零, 则则 系统对此轴的动量矩是常量系统对此轴的动量矩是常量. (2) 对于所研究的平面力学系统对于所研究的平面力学系统

6、, 如果外力系对某定点的主矩为如果外力系对某定点的主矩为 零零, 则系统对此点的动量矩是常量则系统对此点的动量矩是常量.: 动量矩定理本质上也是一个矢量定理动量矩定理本质上也是一个矢量定理, 但是在处理刚体的定轴转但是在处理刚体的定轴转动和平面运动问题时动和平面运动问题时, 动量矩定理可视为代数量定理动量矩定理可视为代数量定理.例一例一. 人造卫星沿椭圆轨道运行时人造卫星沿椭圆轨道运行时, 地心地心O处于椭圆的一个焦点上处于椭圆的一个焦点上 . 我国发射的我国发射的 第一颗人造地球卫星第一颗人造地球卫星 , 发射初期在近地点发射初期在近地点A的速度为的速度为8.1(km/s) . 已经测得已经

7、测得 卫星在卫星在 近地点的高度是近地点的高度是hA =439km , 在远地点的高度是在远地点的高度是hC =2384km . 已知已知 地球的半径地球的半径R= 6371km. 求求: 卫星在轨道上的卫星在轨道上的B 、C 处的速度处的速度.s/km14. 7vbhRvkm7722cabkm973)hR(ackm77835 . 0)hR2h(a,bvv)hR(s/km3 . 61 . 8238463714396371vv)hR(v)hR(.O,:AAB22AACBAACCCAA 又又动动量量矩矩守守恒恒点点的的故故卫卫星星对对地地心心引引力力作作用用地地球球的的卫卫星星在在轨轨道道运运行行

8、中中只只受受解解FVAVVBVCABCOhAhCabO2Rc例二例二. 质量为质量为m 的小球的小球 悬挂在一绳索下端且以匀速率在水平面内作圆周运动悬挂在一绳索下端且以匀速率在水平面内作圆周运动.试分析小球对试分析小球对O, A 两点的动量矩及其守恒问题两点的动量矩及其守恒问题.AOmRgmTrv.A.)vm(M.o)vm(M0)Tgm(RTRgmR)F(Mgmr)F(MvmR)vm(Mvmr)vm(M:AOOAOA点的动量矩不守恒点的动量矩不守恒小球对小球对常矢量常矢量点的动量矩守恒点的动量矩守恒小球对小球对常矢量。常矢量。而而取小球分析取小球分析解解 结论结论: 动量矩是否守恒动量矩是否守

9、恒, 与矩心的选择有关与矩心的选择有关.12 3 刚体绕定轴转动的微分方刚体绕定轴转动的微分方 程程动动的的微微分分方方程程上上式式称称为为刚刚体体绕绕定定轴轴转转用用角角坐坐标标的的导导数数可可写写成成去去掉掉微微分分符符号号即即是是写写为为对对转转轴轴的的动动量量矩矩定定理理可可转转动动的的刚刚体体而而言言轴轴不不妨妨设设为为对对绕绕定定轴轴)(:)()()(,)(111inizzniizzinizzFMJFMJFMJdtdz 例一例一 . (书上书上 习习12 9 )通风机的转动部分以初角速度通风机的转动部分以初角速度o 绕中心轴转动绕中心轴转动 , 空气的阻力矩与角速度空气的阻力矩与角

10、速度成正比成正比, 即即 M = k , k为常数为常数. 若转动部分对转轴的转动惯量为若转动部分对转轴的转动惯量为J .问问: 经过多少时间其转动的角速度减少为初角速度的一半经过多少时间其转动的角速度减少为初角速度的一半 ? 又在此时间内共转了又在此时间内共转了多少转多少转 ? Mo )2()1(0)1(:00tJkoottJkotJkotJkooottJkekJkJEEekJedtdeDDeCtJkLndtJkdkdtdJkJ 得得由由即即得得由由即即由由题题意意解解 k4J2nk2J)2(kJ2LntkJ2Lnt)1(21ooo式式可可得得代代入入将将式式可可得得代代入入令令 12 4

11、刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量. 对比一下对比一下: 刚体的质量是刚体平动时惯刚体的质量是刚体平动时惯性的度量性的度量. 所以所以, 不妨称刚体的质量为平动惯量不妨称刚体的质量为平动惯量, 以此强调一下这两种运动的不相以此强调一下这两种运动的不相容性容性.xzyOirimiyixiz n1i2iizrmJ:定义式定义式在如图示的坐标系下在如图示的坐标系下, 刚体对三刚体对三个坐标轴的转动惯量分别为个坐标轴的转动惯量分别为:)yx(mJ)zx(mJ)zy(mJ2i2in1iizn1i2i2iiy2i2in1iix 平行

12、轴定理平行轴定理:刚体对于任意轴的转动惯量刚体对于任意轴的转动惯量, 等于刚体对于通过质心且与该轴平行的等于刚体对于通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量轴的转动惯量, 加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.Cmiriid2zzMdJJ1 这里的这里的Jz 是刚体对过质心轴的转动惯量是刚体对过质心轴的转动惯量.:002)()2()()(22222222212121所所以以有有系系中中而而在在由由于于 CCiiiiiiiiiiiiiiiiiizyxyzyMymmdymdyxmddyyxmdyxmyxmmJii2zzMdJJ1 x1y1z1O1xzOy(0、0、zc

13、 ): (1) 笼统地说某刚体的转动惯量是没有意义的笼统地说某刚体的转动惯量是没有意义的; 转动惯量只有对确定的轴才转动惯量只有对确定的轴才具有力学意义具有力学意义. (2)所谓所谓 确定的轴确定的轴 并非仅指真实的转动轴并非仅指真实的转动轴, 只要具有空间的几何意义即只要具有空间的几何意义即可可. (3) 同一刚体对于诸多的平行轴来讲同一刚体对于诸多的平行轴来讲, 以过其质心的轴之转动惯量最小以过其质心的轴之转动惯量最小.例一例一. 均质矩形板质量为均质矩形板质量为m , 尺寸如图尺寸如图. 已知板对已知板对z2 轴的转动惯量为轴的转动惯量为J2 . 试求板对试求板对z1 轴的转动惯量轴的转

14、动惯量. z1z2aa43Czca21241CZC)a(mJJJ:2 的表达式的表达式先求先求解解21612maJJC 2163224121612221)(1maJmamaJmaJJCZ 例二例二. 已知图示均质三角形薄板的质量为已知图示均质三角形薄板的质量为m , 高为高为h . 求对底边的转动惯量求对底边的转动惯量Jx . xyhAOBa h y u解解: 设三角板的面密度为设三角板的面密度为 , 底边长为底边长为a .由转动惯量的定义得由转动惯量的定义得 h02xyudyJ由三角形相似比可知由三角形相似比可知h)yh(auhyhau 于是便有于是便有:23h022h0 xh6m12had

15、yy)yh(hadyyh)yh(aJ 12 5 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理1质点系相对质心的绝对动量矩和相对动量矩质点系相对质心的绝对动量矩和相对动量矩 设一设一运动的运动的 质点系质点系 mi ; i = 1、2、3n C: 质量中心质量中心CmiOriViVCVCViri rcr对质心的绝对动量矩对质心的绝对动量矩: 对质心的相对动量矩对质心的相对动量矩: n1iiiiCvm rL n1iriiirCvm rLrCCCrCniCiininiriiiCiiniriCiiCLvrMLvrmvmrvmrvvmrL )(1111CmiOriViVCVCViri rcr!

16、r,C r:Ci当当然然恒恒为为零零为为原原点点的的质质心心的的矢矢径径以以质质心心的的原原点点就就是是质质心心相相对对矢矢径径注注意意所以所以, 对质心的绝对动量矩就等于相对动量矩对质心的绝对动量矩就等于相对动量矩.rCCLL 即即但是但是 , 对除了质心以外的任何动点对除了质心以外的任何动点 , 其绝对动其绝对动量矩和相对动量矩是不相等的量矩和相对动量矩是不相等的.rOOCOLVMrLO:, 矩的关系是矩的关系是绝对动量矩和相对动量绝对动量矩和相对动量如果对于任何动点如果对于任何动点rCCCCLvrML rCCCCLvMrL 即是即是二二. 质点系对任意定点的动量矩与对质心的动量矩之间的关

17、系质点系对任意定点的动量矩与对质心的动量矩之间的关系.CmiOriViVCVCViri rcrCCCCniiiCCniiiCniiiiCniiiiOLVMrLVmrLVmrVmrrVmrL 1111)(质点系对任意定点的动量矩等于质点系对任意定点的动量矩等于 作用于质心作用于质心上的上的 系统动量对于该点的动量矩与对质心动系统动量对于该点的动量矩与对质心动量矩的矢量和量矩的矢量和.CmiOiVCViri rcr eiF三三. 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 刚才我们已经得知刚才我们已经得知, 对任意固定点对任意固定点O的动量矩和运动系统的质的动量矩和运动系统的质心的动量矩

18、心的动量矩, 它们之间的关系是它们之间的关系是:CCCOLVMrL n1ieiiCn1ieiCCCn1ieiin1ieiCCCCCCn1ieiiCCCCn1ieiiOF rdtLd:FaM0VMV:F rFrdtLdaMrVMVF) rr ()LVMr (dtdFrdtLd所所以以得得注注意意展展开开后后得得即即是是CmiOiVCViri rcr eiF .)F(M.,F r,)e(in1iCein1ii表表示示也也可可用用矩矩也也称称外外力力系系对对质质心心的的主主的的矩矩的的矢矢量量和和就就是是系系统统的的外外力力对对质质心心其其中中 )F(MdtLd:n1i)e(iCC 即即: (1)

19、无论质心作什么运动无论质心作什么运动, 质点系相对质心的动量质点系相对质心的动量矩定理都具有最简单的形式矩定理都具有最简单的形式. (2) 有质量对称面的刚体在作平行此平面的运动有质量对称面的刚体在作平行此平面的运动时时, 对过质心且垂直于对称面的轴的动量矩定理为对过质心且垂直于对称面的轴的动量矩定理为:)F(M)J(dtdn1i)e(iCC 例一例一. 均质圆轮半径为均质圆轮半径为r, 质量为质量为m , 沿水平面作纯滚动沿水平面作纯滚动. 设圆轮对质心的惯性半径设圆轮对质心的惯性半径为为 , 作用于圆轮的力偶为作用于圆轮的力偶为M. 求轮心的加速度求轮心的加速度. 如果圆轮与地面间的静如果

20、圆轮与地面间的静摩擦系数是摩擦系数是FS . 问问M 应该满足什么条件才不致使圆轮滑动应该满足什么条件才不致使圆轮滑动? C MCMCCagmNFF xy取圆轮分析其运动和受力如图取圆轮分析其运动和受力如图:)2() 1 (2FrMmFrMJFxmCCC )3(rx:C 由由纯纯滚滚动动可可知知由由 (1) 、(2) 、(3)22C22CCCrMrF)r(mMrax 12 6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程由前面的质心运动定理我们得知由前面的质心运动定理我们得知 )1(FaMeiC )()(1)( nieiCCFMJdtd刚才我们得到刚才我们得到(1) 、(2)式一并是可描述刚体

21、平面运动的动力学方程式一并是可描述刚体平面运动的动力学方程. 写成相应坐写成相应坐 标下的投影形式有标下的投影形式有: )F(MJFyMFxMCCYCXCii 这就是刚体的平面运动微分方程这就是刚体的平面运动微分方程 . 为了表达简洁为了表达简洁, 这里省掉了上下的这里省掉了上下的一些标号一些标号.去掉微分符号去掉微分符号 )2()(eiCCFMJ MCCagmNFF xy由纯滚动的力学条件由纯滚动的力学条件:sNfFF mgF,N 又又r)r(mgfMmgfrMrF22Css22C 例二例二. 均质圆柱轮半径为均质圆柱轮半径为r , 质量为质量为m . 受到干扰后在半径为受到干扰后在半径为R

22、的圆弧槽内运动的圆弧槽内运动. 设槽设槽 面足够粗糙面足够粗糙 , 轮子只滚不滑轮子只滚不滑. 求质心的运动微分方程求质心的运动微分方程.解解:取均质圆柱轮为研究对象取均质圆柱轮为研究对象. 质心的运动是绕质心的运动是绕O 点的圆周点的圆周运动运动, 用角坐标用角坐标可描述质心可描述质心C的运动的运动. O RCr) rR(2 ) rR( FgmNF)3(Frmr)2(cosmgF)rR(m)1(Fsinmg)rR(m221N2 由质心运动定理和对质心的由质心运动定理和对质心的动量矩定理动量矩定理S)3(Frmr)2(cosmgF)rR(m)1(Fsinmg)rR(m221N2 )4(rrR)

23、rR(r: 由只滚不滑可得由只滚不滑可得由由(1) 、(3) 、(4) 可得可得:0sin)rR(3g2 )5(0)rR(3g2: 对于微幅摆动对于微幅摆动0S)rR(3g2S)5()rR(S)rR(S,S 式式可可得得代代入入如如果果取取弧弧坐坐标标ORCr) rR(2 ) rR( FgmNFO例三例三. 均质杆均质杆AB 长长L重重P , 与水平面成与水平面成角角. 杆端杆端A放在光滑水平面上放在光滑水平面上, 初始静止初始静止. 如无初速度释放如无初速度释放B端端, 求此瞬时杆对地面的压力求此瞬时杆对地面的压力. .ABCPFNxy解解: 本题为动力学的初瞬时问题本题为动力学的初瞬时问题

24、由对质心的动量矩定理由对质心的动量矩定理 2cos2LFmL121N2 由水平面约束及杆的运动特点可得由水平面约束及杆的运动特点可得 cos2Lsin2Lycos2Lysin2Ly2CCC)3(cos2Ly0C 本题中本题中 2Ncos31PF:)3()2()1(联立联立由由)1(PFygPNC 由质心运动定理由质心运动定理Fm1g2SFmax1SF1NF2NF1x m2g2SF2NF2x O取圆柱体分析取圆柱体分析)2(rFrm)1(Fxm22S2221S22 例四例四. 板板 的质量为的质量为m1 , 受水平力受水平力 F 的作用而沿水平面运动的作用而沿水平面运动. 板与平面间的动板与平面

25、间的动摩擦系数为摩擦系数为f . 在板上放一质量为在板上放一质量为 m2 的均质实心圆柱的均质实心圆柱 , 此圆柱在板上只滚不此圆柱在板上只滚不滑滑 . 求板的加速度求板的加速度 . 取平板分析取平板分析即是即是max12SS11FFFxm )3(gf)mm(FFxm21S112 以圆柱质心以圆柱质心O 为动点为动点 , 平板为动系平板为动系 , 则有则有:)4(xxrrxx2112 即是即是由由 (1) 、(2) 、(3) 、(4) 得得21211mm3gf)mm(F 3x 1x 2x OF例五例五. 半径为半径为r 的均质圆柱体的质量为的均质圆柱体的质量为m , 放在粗糙的水平面上放在粗糙

26、的水平面上. 设其中心设其中心C 的初的初速度为速度为VO , 方向水平向右方向水平向右; 同时圆柱的初角速度为同时圆柱的初角速度为o , 方向如图示方向如图示 , 且有且有or VO . 若圆柱体与水平面的摩擦系数为若圆柱体与水平面的摩擦系数为f , 问经过多少时间圆柱体才能只滚不滑地向前问经过多少时间圆柱体才能只滚不滑地向前运动运动 ? 并求该瞬时圆柱体中心并求该瞬时圆柱体中心C 的速度的速度.VOoCmgCx NFmaxF解解: 取圆柱体分析取圆柱体分析 o r 2mgr BCB TmgCa例七例七. 质量为质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动的偏心轮在水平面上作平面运动, 轮心为轮心

27、为A , 质心为质心为C , 偏心距偏心距 AC = e . 轮子的半径为轮子的半径为R , 对轮心对轮心A轴轴 的转动惯量为的转动惯量为JA . 图示运动瞬时图示运动瞬时, C、A、B 三点同在一铅直线上三点同在一铅直线上. 求求: (1) 当轮子只滚不滑时当轮子只滚不滑时 , 若若VA 已知已知, 求轮子的动量和对地面求轮子的动量和对地面B 点的动量矩点的动量矩 . (2) 当轮子又滚又滑时当轮子又滚又滑时 , 若若VA 、 已知已知 , 求轮子的动量和对地面求轮子的动量和对地面B点的动量矩点的动量矩.解解: (1) 由只滚不滑可得由只滚不滑可得)eR(mmVp)eR(VRVCRVCCA

28、RV)mRe2mRJ(JLmRe2mRJm)eR(JJmeJJA2ABB2A2CB2AC 又又ACBRAVCVeACBRAVCV(2) )meJ() eR() eV(mL) eV(mmVp2AABAC例八例八. 均质杆均质杆AB = L , 质量为质量为m1 , 杆的杆的B端固连一质量为端固连一质量为m2 的小球的小球 , 其大小不计其大小不计 . 杆上杆上D点连一弹簧点连一弹簧 , 其刚度系数为其刚度系数为k , 并使杆在水平位置保持平衡并使杆在水平位置保持平衡 . 求求: 系统的微振动微分方程系统的微振动微分方程.L3LkABDLm1gm2gABD3LkF 杆与小球绕杆与小球绕 A 点运动

29、点运动, 对对A 点有矩的力如图示点有矩的力如图示. 3LFgLm2Lgm)LmLm31(212221 由题目所给的条件可得由题目所给的条件可得:)()(03 LstkkF注意注意: 在静平衡的位置有在静平衡的位置有03LkgLm2Lgm021 则对则对A 点的动量矩定理可写成点的动量矩定理可写成093:9)31(2122221 mmkLkLmLm 整理得整理得解解: 整体分析整体分析, 取过取过A点的水平线为点的水平线为 角起始线角起始线. 由对由对A 点的动量矩定理点的动量矩定理思考题思考题 均质轮均质轮 沿水平面只滚不滑沿水平面只滚不滑, 如作用一水平力如作用一水平力 F , 问力作用在什么问力作用在什么 位位 置能使地面摩擦力等于零置能使地面摩擦力等于零? 在什么情况下在什么情况下, 地面的摩擦力与力地面的摩擦力与力F 同方向同方向? 解解: ( 分析分析 ) 如果轮只滚不滑向右运动而地面的如果轮只滚不滑向右运动而地面的 摩擦力为零摩擦力为零, 则则 力力F 不应过质心不应过质心C , 也不也不应在质心以下应在质心以下,( 想一想想一想 为什么为什么? ) 设轮子的半径为设轮子的半径为 R , 力力F 作用线在作用线在C 点之上点之上 的的 x 处处. 轮子的受力与运动分析如图轮子的受力与运动分