空间曲面与空间曲线

1、6.6 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线xyzo1 2 0022221111DzCyBxADzCyBxAL空间直线的方程1、空间直线的一般方程2、空间直线的对称式方程、空间直线的对称式方程pzznyymxx000 xyzoL0M M s ptzzntyymtxx0003、直线的参数方程、直线的参数方程121121121zzzzyyyyxxxx 4、直线的两点式方程121212222222111222|cosm mn np pmnpmnp（两直线的夹角公式）（两直线的夹角公式）5、两直线的夹角6、直线与平面的夹角222222|sinpnmCBACpBnAm （直线与平面的夹角公式）（直线与平

2、面的夹角公式）定义定义: 若空间中的曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系:(1) S上任一点的坐标满足方程F (x, y, z) =0;(2) 不在S上点的坐标都不满足方程F (x, y, z) =0;那么, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的一般方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.F (x, y, z) = 0 Sxyzo例如：2x+3y 4z19=0.在空间解析几何中在空间解析几何中,曲面被看成曲面被看成空间点的几何轨迹空间点的几何轨迹(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 称此方程为球面的标准方程.特别: 当球

3、心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2 例：求三维空间中球心为M0(x0, y0,z0), 半径为R的球面的方程. 解：对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即 M0 M R222yxaz 上半球面上半球面xyz解: 原方程可改写为(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 的球面.5练习: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲面?以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知）已知曲

4、面方程曲面方程，研究曲面形状，研究曲面形状（1 1）求曲面方程）求曲面方程曲面的参数方程：曲面的参数方程：当球心在原点O(0, 0, 0)时,球面方程: x2 + y2 + z2 = R2 为参数为参数，如图，取如图，取 程程等等价价于于：则则球球心心在在原原点点的的球球面面方方 cossinsincossinRzRyRx 20 0的的球球面面的的参参数数方方程程。为为球球心心在在原原点点、半半径径为为 R M（x,y,z） RxyzPQN( , )( , )( , )xx u vyy u vzz u v一般地,曲面的参数方程可表示为： 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲

5、线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：空间曲线的一般方程 例例 方程方程 表示什么样的曲线？表示什么样的曲线？ 211222zzyxxyzO例例 方程方程 表示什么样的曲线？表示什么样的曲线？ 11yx解解交线如图交线如图:xozy11例例 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2

6、(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图. )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程(0,0,1)1CCz练习：曲线 是一圆心在、半径为的圆，圆 所在的平面与 轴垂直，求它的一般方程和参数方程。xyzO22221xyzz参考P27，例2 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay

7、sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 定义定义二、柱面二、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫柱面的叫柱面的母线母线.CLxzy0

8、母线母线F( x,y )=0z = 0准线准线 (不含不含z)M(x,y,z)N(x, y, 0)S曲面曲面S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程；曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程点点N满足方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程一般一般母线母线准线准线(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy0一般一般12222 byaxabzxyo椭圆椭圆zxy = 0y12222 bzaxo双曲双曲pxy22 zxyo抛物抛物三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的

9、曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴旋转旋转的方程的方程曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕 z轴轴.旋转旋转的方程的方程曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)旋转旋转的方程的方程.x S221yxy 曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy

10、 |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S221yxy 旋转旋转的方程的方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyfyoz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周yoxz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周yayxz22 .oxz. 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面.x zbyax 双曲线双曲线0

11、y绕绕 x 轴一周轴一周x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 bzyax. zbyax 双曲线双曲线.绕绕 x 轴一周轴一周axyo上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax axyoz上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax a.xyoz 得得单单叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 byazx.上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 222

12、2 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yozx yoz 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax.yxorR)0()222 rRryRx（ 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圆圆z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面22222)(ryRzx 环面方程环面方程.yxo.)0()222 rRryRx（ 圆圆4、椭圆锥面。为为母母线线，椭椭圆圆称称为为准准线线椭椭圆圆锥锥面面。这这些些直直线线称称

13、称称为为有有这这些些直直线线形形成成的的曲曲面面上上没没一一点点作作一一直直线线，所所和和上上的的定定点点，过过是是不不在在是是一一椭椭圆圆，定定义义：设设LPLPLox ),(1111zyxM),(zyxMzyLP的的移移动动一一周周的的动动直直线线形形成成且且沿沿换换角角度度：过过点点LP的椭圆锥面的方程。的椭圆锥面的方程。准线为准线为讨论顶点在原点，讨论顶点在原点，)0(12222 cczbyax),(),(1111zyxMLOMzyxM交于点交于点与准线与准线的连线的连线与与点点是锥面上的任一点，过是锥面上的任一点，过设设1/OMOM OMOM 1,使使 czbyaxLM1221221

14、11,上上在在又又222222czbyax 得：得：称为椭圆锥面的方程，也叫二次锥面。 ),(1111zyxM),(zyxMzyLP111,xx yy zz 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：空间曲线在坐标面上的投影如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类

15、似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy例例 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyxxyzO所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z例例 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上

16、的投影. 211222zzyxxyzO（3）同理在）同理在 面上的投影也面上的投影也为线段为线段.yoz.23|,021 yxzxyzO例例 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT小结旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(

17、母线、准线母线、准线).作业P32: 1,2,4,6,7,9P36: 2二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋

18、转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面