246-247平面向量的线性运算(作业)-2021-2022学年九年级数学上(沪教版)(解析版)

1、24.6 -24.7平面向量的线性运算一、单选题1 .已知非零向量 a ?e2 ,则下列说法正确的是（）.a. w 2,则 e /b. a 2,则e二2c. ei 2e2,则e /苞d.以上说法都不正确【答案】A【分析】由向量的等式关系，可得到两个向量的方向相同，从而得到答案.【解析】耳2最，则高与e?方向相同，即&区,故选项a正确，选项b错误;G 2e2 ,无法判断目和苞的方向，故选项C错误；选项A正确，故选项 D错误故选：A.【点睛】本题考察了向量的知识；求解的关键是熟练掌握向量的性质，从而完成求解.2 . 3a与2a a的长度与方向的关系是（）A.长度相等，方向相同B.长度相等，

2、方向相反C.长度不等，方向相同D.长度不等，方向相反根据向量的线性运算解题即可 .【解析】,.1 2a a 3a3a与2a a相等向量长度相等，方向相同故选：A【点睛】本题考查向量的线性运算，其中涉及向量的长度和方向，是基础考点，掌握相关知识是解题关键3 .下列说法错误的是（）A.如果OA OB，那么A与B重合 B.若OA 2OB，则B是OA的中点C.若OA 2OB ,则 若OA 2OB D. B是OA的中点则 OA 2OB【答案】C【分析】根据共线向量的倍数关系和方向判断即可.【解析】因为OA=OB且方向相同，所以 A与B重合，此选项正确；B、因为OA 2OB且方向相同，所以 B是OA的中点

3、，此选项正确，C、因为OA 2OB,但方向不明确，所以 OA 2OB或oA2OB，此选项错误；D、因为B是OA的中点，所以OA 2OB，此选项正确，【答案】C符合题意的选项是C,故选：C.【点睛】本题考查共线向量的表示，熟练掌握共线向量的表示，注意两个共线向量的方向是解答的关键.4 .对于非零向量a与b,下列命题是假命题的是（）A.若a b，则同,bB.若4同，则a bc,若 ab,则 a , bd.若 a, 6,则 a, , b【答案】B【分析】根据向量的概念可得出正确答案.【解析】解：根据向量的概念，知：A、C、D正确；B、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误.故选：B.【

4、点睛】本题考查了向量的概念，熟练掌握理解向量的概念是解题的关键.5 .以下说法错误的是（）A.零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量A根据平行向量定义解题；B根据单位向量定义解题；C根据平行向量定义解题；D根据平行向量定义解题.【解析】A.零向量与任一非零向量平行，故A.正确；B.零向量与单位向量的模不相等，故B.正确；C.平行向量方向相同，平行向量方向可能相同也可能相反，故C错误.；D.平行向量一定是共线向量，满足向量共线与平行的定义，故 D.正确，故选C.【点睛】本题考查单位向量、平行向量与共线向量等知识，是基础考点，掌握相关知

5、识是解题关键.6.如果a b 2c，a b 3c，而且c 0，那么a与b是（）a. a与b是相等向量；b. a与b是平行向量；C. 2与b方向相同，长度不同；D. a与b方向相反，长度相同.【答案】B【分析】5 一 1 首先根据二元一次方程组的求解方法，可以得到a 5c, b c,又由向量的意义，可得 a与b方向22a b相反，长度不同，是平行向量.【解析】rris酎Aa b 2c，a b 3c，- 5 .a -c, b2，a与b方向相反，长度不同，是平行向量.故选：B.本题考查了向量的知识.解题的关键是对向量知识的理解.7.在 oABCD 中,AC与BD相交于点OAB aADb，那么OD等于

6、（）A. -a21 - 1 - B. a b22C. 1a2D.1a2由四边形ABCD是平行四边形，可得OD1 2BD ,又由 BDBA AD，即可求得OD的值解：.四边形ABCD是平行四边形,1 OB=OD=2 BD,.ODBDBA AD a.OD-BD = - ( a 22b)故选：D.【点睛】此题考查了向量的知识.解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的.8.下面四个命题中正确的命题个数为（）.对于实数m和向量a、b ,恒有m a b ma mb对于实数m、n和向量a，恒有m n a ma na若ma mb（ m是实数）时，则有a b若ma' na （m、n是实数

7、，a 0）,则有m nA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据平面向量的性质依次判断即可.【解析】 对于实数 m和向量a、b ,恒有 m a b ma mb ,正确；对于实数 m、n和向量a，恒有 m n a ma na,正确；若ma mb（ m是实数）时，则有 a b，错误，当m=0时不成立；若ma na （m、n是实数，a 0）,则有m n,正确；故选C.本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键.1 . 1 一9 .在平行四边形 ABCD中，AC与BD交于点M ,若设AB a, AD b ,则下列选项与 一a b相22等的向量是（）.A. MA

8、B. MBC. MCD.而【答案】D【分析】 根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可解：,在平行四边形ABCD中，aB a , AD AC AB AD a b ,BDAD AB b a,M分别为AC、BD的中点，1 1 - r-.M AAC a b2211, a b ,故a不符合题意;221 1 - -MB BD b a221 - 1, a b ,故B不符合题意；221 -7 1 一MC -AC - a b221 1 -a b ,故C不符合题意;221 -1 L -MD -BD -ba221 -1 U二a 二b ,故D符合题意.2 2故选D.【点睛】此题考查的是平行四边形的

9、性质及向量的加、减法，掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键10.如图，在必BC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点g,设 ab a, AE b ,那么向量BG用向量台、b表示为()2 - 22 - 2 A. a b b . a b3333C.-a -b22d. -a2-b 2利用三角形法则求出 BE，再根据三角形中心的性质解决问题即可.解：-AB a, AE b， BE BA AE a b,.AD, BE是必BC的中线,G是BBC的重心,2 . BG= BE, 32 1 2 一-BE= 7a 7b, 33故选A.【点睛】 本题主要考查了平面

10、向量计算的三角形法则及三角形重心的知识，解题的关键是熟练掌握这些基本知识.二、填空题1 1-11 .计算2a 8b 4a 2b 3 2【答案】2b a【分析】根据实数与向量相乘法则依次计算即可.【解析】1 . 一 .一解：原式=a 4b 4a +2 b 31=-3a 6b 3=2b a，故答案为2b a.【点睛】本题是对实数与向量相乘的考查，熟练掌握实数与向量相乘法则是解决本题的关键12 .化简： AB BC CD (2) AB AD DC (3)(AB CD) (Ac BD) 【答案】AD CB 0【分析】(1)根据向量的运算法则进行计算，即可求出答案.(2)根据向量的运算法则进行计算，即可

11、求出答案.(3)根据向量的运算法则进行计算，即可求出答案.【解析】解：(1)AB, BC CD aC CD AD；(2)AB AD DC DB DC CB；(Ab CD) (Ac bd)AB BD CD ACAD DC CA0；故答案为：布；cB；。【点睛】本题考查了向量的运算法则，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则进行计算.13 .如图，在平行四边形 ABCD中，AC与BD相交于点。，点E、F分别是OA、OD的中点，如果AB =4,r、rBO = b，那么 EF=_-1 '【答案】-a b 2半求解即可.【分析】根据平行四边形法则表示出 BC，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于

12、第三边的解：由向量的平行四边形法则得，BA BC 2BO，所以，BC 2BO BA，AB a ，BA a，BC 2b a，点E、F分别是 OA、OD的中点,EF/ AD EF=-AD, 2EF/ EK EF= BC, 2一 1 - .EF -BC2 1 -.EF a b2本题考查了平面向量，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，向量的问题，熟练掌握平行 四边形法则和三角形法则是解题的关键，要注意方向.14 .如图，D、E 是，ABOi AB、AC上的两点，AD : DB=2 : 1, DE/ BC记 AB = g, AC = b，那么 DE =（用a，b表示）.【分析】由AB=a，A

13、C = b，利用三角形法则即可求得BC，然后由AD: DB=2: 1, DE/ BG根据平行线分线段、2成比例定理，可求得 DE -BC ,继而求得答案.3【解析】解：AB=a， AC=b，BC AC aB b a , DE/ BCDE BC=AD: AB, AD DB=2: 1,DE BC=2: 3,22 一一2 -2 一DE-BC二（b a）-ba3333222 - 2 f故答案为：2b 2a.3 3【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行线分线段成比例定理，注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键.15.如图，在aABC中，点d是边BC的中点，设AB a , AC b ,用a、b的线性组合

14、表示"AD是_“一 1- 1 【答案】一ab22【分析】先根据向量运算求出 BC，再根据线段中点的定义可得 BD,然后根据向量运算即可得.【解析】AB a，AC b，BC AC AB ba，,点D是边BC的中点,a酎彳aBD BC (b a) 22AD AB BD a1 (b a)21-a21b 2【点睛】 本题考查了向量的运算，掌握向量的运算法则是解题关键.16 .已知平行四边形 ABCD中，点M、N分别是边DC、BC的中点，AB a，AD b，那么MN关 于a、b的分解式是.11【答案】La 与 22【分析】首先由点 M、N分别是边DC、BC的中点，可以得到 MN=，BD,又由D

15、B AB AD ，代入数值即可求得 结果.【解析】解：如图：连接 BD,点M、N分别是边DC、BC的中点，1 1MNlBD,即 MN -DB ,22- DB AB AD，又AB a, AD b,酎彳I酎Lh'1Lh.MN DB (AB AD) -(a b) -a -b22222一 L1 -1 -故答案为：1a 1b 22【点睛】此题考查向量的知识.注意向量是有方向的.17.如图，在 kABC 中，点 D 在边 AB 上， ACD B, AD 2 , AC J6，设 bA a， BC b，那么cd （用向量a, b的式子表不'）心1 一【答案】-a b 3【分析】根据 ZA=/A

16、, /ACD=/B,可证 iACD aABC ,则有 AC2 AD ? AB ,可得 AB=3, BD= 1,可求得1 BD -a ,然后根据CD CB BD求解即可. 3【解析】解：- A= ZA, ZACD=/B, qACD aABC ,2 2 .AC2 AD?AB,.-6 2 2AB. AB= 3,. BD= 11. BD AB3.BD -a3，. CD CB BD BD BC ,1 ' , ' .'.CD a b .3一入1 故答案为：a b.3【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键.18.如图，在梯形 ABCD

17、中，AB/ CD / C=90； BC=CD=4, AD=2 75 ,若丽 a, DC b, 用£、b表示db =一一 1【答案】一ba 2【分析】过点A作AH DC,利用向量知识解题【解析】解：过点A作AH DC于巳 AEX 口CBC± DCAE/ BC又AB/ CD四边形AECB是矩形，AB= EC, AE= BC= 4,de=Jad2 ae2 = J 2芯F=2 ,1A AB=EC=2= DC,2DC b， 1 -.AB -b , 2AD a， da a,1 -.DB DA AB a b2,1-故答案为一b a . 2【点睛】向量知识只有使用沪教版 （上海）教材的学生

18、才学过，全国绝大部分地区将向量放在高中阶段学习.那么Irr19 .如图，在 口 ABCD中，点F是AB的中点，点 E在BC上，且BC=3BE,设BF a， BE b，将下列向量表示 a、b的分解式：（1）AD_ (2) BD_ EA_(4) OC【答案】3b 2a 3b2a ba 2b【分析】先利用平行四边形的性质求出各边之间的关系,再利用向量混合运算法则一一求出即可由平行四边形 ABCD可知：AD=BC,1OC=- AC,2因为点F是AB的中点，BC=3BE,所以 BA=2BF, BC=3BE.(1) AD BC 3BE3b；(2) BA 2BF 2aBD BA AD 2a3b； EA EB

19、BA (BE) BA(4) AC ABBC ( BA) AD2a 3b ，一 1 一OC = - AC2a 3b2本题考查向量的混合运算及其几何意义,是基础题.解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用.20 .如图，梯形 ABCD中，AD/BC , E、F分别是AB、CD上的点，且EF /BC ,AE BCBE AD53'若AB a，DC b，则向量EF可用a、b表示为【答案】17b 17a【分析】过点A作AH /CD交EF于点G,交AE ，一BC于H,可得AD=GF=CH,然后用BH表不出CH,再求出，根AB AE据相似三角形对应边成比例可得ABEG,再用BH表示出EG、EF,根

20、据向量的三角形法则求出BH,BH即可得解.解：如图，过点 A作AHCD交EF于点G,交BC于HAD/BC, EF/BC四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形AD GF CH.AEBEBCADBCAEBH BC CH 5 AD AD 2 AD 33CH 3BH 2: EF /BCAEG ABHAE 5 EGAB 8 bH_ _5317EF EG GF -BH BH BH828若 AB a，DC b则 BH AH AB' DC AB b a 17EF(b a)8“一 ，17 故答案为：一(b a).8【点睛】BH,熟记向量的本题考查了平面向量、梯形、平行四边形与相似三角形相结合，

21、关键在于作平行线表示出 平行四边形法则和三角形法则是解题的关键.三、解答题I-Hr r21 .计算：(2 a 3bc)2(3a2b c).【答案】7b 4a 3c【分析】根据向量的计算法则与实数运算基本相同，先去括号，再合并同类项即可解答.【解析】(2a 3b C) 2(3a 2b c)rrV yrV2a3bc 6a4b2c7b4a3c 【点睛】 本题考查了向量的运算，熟练掌握向量的运算法则是解答的关键.22 .如图，a,b是以点。为起点的两个非零向量，且 向|b| |a b| J3 ,在图中作a b, 2a b，并求a b的模长.【答案】作图见解析；a b的模长为3.如图1 ：过点A作AC

22、=b连接OC,则0c即为所求；如图2,作DO = a,过点A作AC=b ,连接DC,则DC即为所求;首先连接AB,由|a| |b|a b| J3 ,易得，OAB是等边三角形，LOAC等腰三角形，然后由三角函数的性质，求得答案.解：如图1 ：过点A作AC = b，连接OC,则oC=a b,oC即为所求；如图2,作do= a,过点A作ac = b,连接DC,则 DC=2a b，dC即为所求；连接AB,则 AB = b a, .同 |b| |a b| x3,OA=OB=AB= 3 , ./ AOB=6Q°AC OB，AC/ OBAC=OB,/ C=/ COB OA=OBOA=OC/ C=Z

23、 aOC1 ./ AOC=Z COB=Z AOB=30 , 2OD)± ABOD=OA?cos/ AOD=3 X 3 ， CD=AC?coS C= J3 x应 3 ,2222OC=3 a b的模长为3.本题考查平行四边形的性质，向量等知识，解题的关键是理解向量的定义以及向量和差定义，属于中考常 考题型.MN23 .如图，在平行四边形 ABCD中，点M是CD中点，BM与AC相交于N ,如果AB = a，AD b，求工UBM的值，并试用a,b表示AC,MN . MN 11咯案1加=3； AC a+b； MN 6a【分析】 根据平行线分线段成比例定理，已经三角形法则即可解决问题;解：.四边

24、形ABCD是平行四边形,CD/ ABCD=AB , DM=CMAB=2CMMNBNMNMB-ACAD+DC ，DCAB=a，AD b，ACa+b，-MBMC+CB，MC12a , CB b，.MB1 MNhMB, 3 11 .1.MNa b63【点睛】 本题考查平面向量、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型.24.如图，已知平行四边形 ABCD, BA = a，BC = b.（i）ac=；（用a，b的式子表示）（2）BD =；（用 a，b的式子表示） 若 ACL BD，| aC 1=4 , |BD|=6 ,则 | aC+丽尸.门BC【

25、答案】-a+b；（2）b + a；（3）2A.【分析】（1） （2）根据平面向量的加法法则计算即可解决问题;（3）利用勾股定理计算即可；【解析】解： AC AB BC = - a + b；（2）BD = BC CD = b + a；（3） . AClBD |ACI=4, |BDI=6,"AC + BD |= V42 622而故答案为(1) - a + b； (2) b + a； (3) 2A.【点睛】本题考查平行四边形的性质.平面向量的加法法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形加法法则，属于 中考常考题型.25 .如图，已知点 M、N分别是，ABCD勺边CD、BC上的中点. 设aB

26、a , AD b，求向量 BD、MN 关于a、b的分解式.i - i 【答案】bd a b ； MN - a -b【分析】根据三角形法则求出 BD即可解决问题.【解析】解析：BD BA AD a bM、N分另1J是，ABC曲边CD、BC上的中点MN/ DB MN= 1 BD21 一1 .1 -.MN BD-a-b2 22【点睛】本题考查平面向量、平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，学会添加常用 辅助线，构造三角形中位线解决问题.AD 126.如图，。为，AB6一点，点 D、E分别在 AB、AC上，且 AB 4AE 1 一 一不；若 ob a，OC EC 3求：用向量a

27、, b表不' de .【答案】DE-b -a44解:ADAB1 AE 14 , EC 3ADABAEAC根据三角形法则和平行线分线段成比例来求DE .DE/ BCDE _ AD _ 1BC AB 4BC b aDE此题考查了平面向量的知识. 此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用， 注意掌握数形结合思想的应用.27 .如图已知点 M是，ABCi BC上一点，设 AB = a，AC = b当MC=2时'AM=；（用a与b表示）(2)当 =m (m>0)时,AM =（用a、b与m表示）4 一 3 一,(3)当 AM =7 a+ 7 b时,BMMCA【分析】12(1) -a+-